المتتاليات الحسابية

المتتاليات الحسابية :

ما هي متتالية حسابية ؟

ماذا نلاحظ في سلسلة الأرقام التالية : 1, 3, 5, 7, 9, 11 ؟

• 1+2=3
• 3+2=5
• 5+2=7
• 7+2=9
• 9+2=11

الملاحظة الهامة هي أن الحدود المتتابعة، الفرق بينها هو 2
كل مرة نضيف 2.

يعني أن إذا كانت الأعداد السابقة الحدود الأولى لمتتالية عددية ما :

$$\begin{gathered} \mathrm{على} \mathrm{سبيل} \mathrm{المثال} : \\ 1{=}_{0}u \\ 3{=}_{1}u \\ \mathrm{الخ}.... \\ آن ذاك : \\ 1{+}_{n}u{=}_{1+n}u : \mathrm{\mathbb{N}}\ni n\forall \\ \mathbf{بصفة}\mathbf{ }\mathbf{عامة}\mathbf{ }\mathbf{:}\mathbf{ } \\ \mathrm{نقول} \mathrm{أن} \mathrm{المتتالية}{ }_{ \mathrm{\mathbb{N}}\ni n}{(}_{n}u) \mathrm{حسابية} \mathrm{لما} : \\ \mathrm{يوجد} \mathrm{عدد} \mathrm{حقيقيقي} r \mathrm{بحيث} : \\ r{+}_{n}u{=}_{1+n}u : \mathrm{\mathbb{N}}\ni n\forall \\ و \mathrm{يسمى} \mathrm{العدد} r \mathrm{أساس} \mathrm{المتتالية} \mathrm{الحسابية} { \\ }_{ \mathrm{\mathbb{N}}\ni n}{(}_{n}u) \end{gathered}$$

 

خاصيات المتتاليات الحسابية :

الخاصية 1 :

• $r. (k–n){+}_{k}u{=}_{n}u :\mathrm{\mathbb{N}}\ni n\forall \mathrm{\mathbb{N}}\ni k\forall$

تطبيق :

$$\begin{gathered} \mathrm{نعتبر} \mathrm{المتتالية} \mathrm{العددية} \mathrm{الحسابية} \mathrm{التالية} \mathrm{بحيث} : \\ 7{–}_{n}u{=}_{1+n}u \\ و 1{=}_{0}u \\ \mathrm{احسب} { }_{6}u \end{gathered}$$

الحل :

$$\begin{gathered} \mathrm{بتطبيق} \mathrm{الخاصية} \mathrm{أعلاه} : \\ 41–=42–1=(7–).6{+}_{0}u{=}_{6}u \end{gathered}$$

الخاصية 2 :

• $\frac{{}_{1+n}u{+}_{1–n}u}{2}{=}_{n}u : 1\le n\forall$

تطبيق :

$$\begin{gathered} \mathrm{نعتبر} \mathrm{المتتالية} \mathrm{العددية} \mathrm{الحسابية}{ }_{\mathrm{\mathbb{N}}\ni n}{(}_{n}u) \mathrm{بحيث} : \\ 7{=}_{5}u \\ 13{=}_{7}u \\ \mathrm{احسب}{ }_{6}u \end{gathered}$$

الحل :

$$\begin{gathered} \mathrm{بما} \mathrm{أن} \mathrm{المتتالية} { }_{\mathrm{\mathbb{N}}\ni n}{(}_{n}u) \mathrm{حسابية،} \mathrm{يمكن} \mathrm{تطبيق} \mathrm{الخاصية} \mathrm{أعلاه} \\ و \mathrm{بالتالي} : \\ \frac{{ }_{5}u +{ }_{7}u}{2}={ }_{6}u \end{gathered}$$

الخاصية 3 :

الآن سوف نهتم بمجموع حدود متتالية حسابية :

$$\begin{gathered} \mathrm{نضع} { }_{n}u+.......{+}_{1+k}u{+}_{k}u{=}_{n}S \\ (1+k–n).\frac{{(}_{n}u{+}_{k}u)}{2}{=}_{n}S \end{gathered}$$

الخاصية 3 هي تعميم للخاصية 2

و ها هي بعض الملاحظات باش تعقلو عليها مزيان :

• n-k+1 يمثل عدد الحدود التي تدخل في المجموع
• $$\begin{gathered} \mathrm{يعني} \mathrm{شحال} \mathrm{من} \mathrm{عنصر} \mathrm{كاين} \\ \mathrm{في} \mathrm{المجموعة} :{ }_{k}u ,{ }_{1+k}u..{.}_{n}u \end{gathered}$$

تطبيق :

$$\begin{gathered} \mathrm{نعتبر} \mathrm{المتتالية} \mathrm{الحسابية} \mathrm{المعرفة} ب : \\ 7{–}_{n}u{=}_{1+n}u \\ 1{=}_{0}u \\ \mathrm{احسب} : { }_{15}u+.....{+}_{1}u{+}_{0}u{=}_{15}S \end{gathered}$$

الحل :

$$\begin{gathered} \mathrm{باستعمال} \mathrm{الخاصية} 4 \mathrm{نحصل} \mathrm{على} : \\ (1+0–15).\frac{{(}_{0}u{+}_{15}u)}{2}{=}_{15}S \\ \mathrm{باستعمال} \mathrm{الخاصية} 1 ، \mathrm{لدينا} : (7–).(0–15){+}_{0}u{=}_{15}u \\ إذن 104–=105–1{=}_{15}u \\ و \mathrm{منه} 824–=\left(16\right).\frac{103}{2}–{=}_{15}S \end{gathered}$$