Arithmétique 1BAC

Fiche de cours

Les nombres premiers

تعريف

On appelle nombre premier, tout nombre entier naturel supérieur ou égale à $2$, dont les seuls diviseurs positifs sont $1$ et lui-même

خاصية

Pour déterminer si un nombre entier naturel $n$ supérieur ou égal $2$ est un nombre premier, on doit chercher un diviseur de $n$ parmi les nombres premiers successifs $~(2,3,5,7,11 \ldots)~$ jusqu'à la valeur $\sqrt{n}$.

Si $n$ n'admet aucun diviseur parmi les nombres premiers successifs jusqu'à la valeur $\sqrt{n}$, c'est donc un nombre premier.

مثال

Est ce que le nombre $2011$ est premier ?

On a: $~~\sqrt{2011}=44,84$

Les nombres premiers inférieurs a $44$ sont:

$2-3-5-7-11-13-17-12-23-29-31-37-$ $41-43$

On a : $2011$ n' admet aucun diviseur parmi ces nombres. Alors $2011$ est un nombre premier

نظرية

Tout entier naturel supérieur ou égale à $2$, est soit premier, soit un produit de facteurs premiers.

نظرية

Tout nombre entier naturel non nul et différent de $1$, se décompose d'une manière unique sous la forme:

$\mathbf{n}=\mathbf{p}_1^{\alpha_1} \cdot \mathbf{p}_{ 2}^{\alpha_2} \ldots \mathbf{p}_{\mathrm{m}}^{\alpha_{\mathrm{m}}}$

Où les nombres $p_i$ sont des nombres premiers et les $\alpha_i$ sont des entiers naturels non nuls.

تطبيق

Trouver la décomposition de $144$

144 | 2
72 | 2
36 | 2
18 | 2
9 | 3
3 | 3

Donc : $~144=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3= 2^4 \cdot 3^2$

avec $2$ et $3$ des nombres premiers.

نظرية

Soit $a$ et $b$ deux entiers naturels tels que $a \geq 2$ et $b \geq 2$

$b$ est un diviseur de $a$ si et seulement si tout diviseur premier de $b$, apparait dans la decomposition de $a$, avec un exposant plus grand ou égal à l'exposant avec lequel il apparait dans la décomposition de $b$.

Vidéo Les nombres premiers et leurs propriétés

15 min

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Divisibilité dans Z

تعريف

Soit $a$ et $b$ de $\mathbb{Z}$

On dit que $b$ divise $a~$ (ou $b$ est un diviseur de $a$) et on écrit $b|a$, s'il existe un nombre $k$ de $\mathbb{Z}$ tel que : $~ a= b \cdot k$

Autrement dit : $$~b|a \Leftrightarrow (\exists k \in \mathbb{Z}) \quad a=b \cdot k $$

Vocabulaire :

$\mathbf{b}$ divise $\mathbf{a} \Leftrightarrow \mathbf{b}$ est un diviseur de $\mathbf{a} \Leftrightarrow \mathbf{a}$ est divisible par $\mathbf{b} \Leftrightarrow \mathbf{a}$ est un multiple de $\mathbf{b}$

مثال

$-5 | 30~~$ car $~\exists k \in \mathbb{Z} / ~~30=-5 \cdot k$

Pour $~k=-6~$ on a $~(30=-5 \times(-6))$

$7 | 0~~$ car $~\exists k \in \mathbb{Z} / ~~0=7 \cdot k$

Pour $~k=0~$ on a $~(0=7 \times 0)$

$0 | 0~~$ car $~\exists k \in \mathbb{Z} / ~~0=0 \cdot k$

Pour $~k=1~$ on a $~(0=0 \times 1)$

تطبيق

Soit $a \in \mathbb{N}^*$, montrons que

$$(\forall d \in \mathbb{N}) \quad d \mid a \Rightarrow d \leqslant a$$

on a $~ d \mid a \Rightarrow)\left(\exists k \in \mathbb{N}^*\right) \quad a=d \cdot k$

$\left(k \in \mathbb{N}^*\right.~~$ car $~~ \left.a \in \mathbb{N}^*\right)$

$\begin{aligned} \text{On a } : ~~k \geqslant 1 & \Rightarrow d k \geqslant d \\ & \Rightarrow a \geqslant d \end{aligned}$

Vidéo Divisibilité dans Z

15 min

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Les propriétés de la divisibilité dans $~\mathbb{Z}$

خاصية

Soit $~a, b~$ et $~c~$ de $\mathbb{Z}$, on a :

1. $~a |a$

2. $\begin{array}{clc}\left\{\begin{aligned}& a / b \\& b / c \end{aligned} \Rightarrow a / c \right.\end{array}$

3. $\begin{array}{clc}\left\{\begin{aligned}& a / b \\ & b / a\end{aligned} \quad \Rightarrow |a|=|b|\right.\end{array}$

4. $a / b \Rightarrow a / b c$

5. $\left\{\begin{array}{clc} a / b \\ a / c\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a / \alpha b+\beta c \quad\left(\forall(\alpha, \beta) \in \mathbb{Z}^2\right) \\ a / b c \\ a / b+c \\ a / b-c\end{array}\right.\right.$

تطبيق

Montrer que : $~\forall ~a, b, c, x, y~ \in \mathbb{Z}~~\left\{\begin{array}{clc}a / x-y \\a / b-c\end{array} \Rightarrow a / b x-y c\right.$

On a : $~~\left\{\begin{array}{clc}a / x-y \\a / b-c\end{array} \Rightarrow a ~/ ~\alpha (x-y) + \beta (b-c) \right.$

Posons; $~\alpha=b~$ et $~\beta=y$

$\Rightarrow a / b(x-y)+y(b-c)$

$\Rightarrow a / b x-b y+y b-y c$

$\Rightarrow a / b x-y c$

Vidéo Les propriétés de la divisibilité dans ℤ

15 min

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La division Euclidienne dans Z

نظرية

Soit $a$ de $\mathbb{Z}$ et $b$ de $\mathbb{Z}^*$

II existe un seul couple $(q, r)$ de $\mathbb{Z}^2$ tel que:

$$a=b q+r \quad \text { et } \quad 0 \leq r<|b|$$

Effectuer la division euclidienne d'un nombre relative $a$ par un entier relative $b$, revient à déterminer les deux nombres entiers relatifs $q$ et $r$, qui sont appelés, respectivement, le quotient et le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$.

Les nombres $a$ et $b$ sont appelés, respectivement, le dividende et le diviseur.

تطبيق

$\begin{array}{ll}a=-4294 & b=12 \\ a=3521 & b=-10\end{array}$

1- Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$

2- Trouver $a$ de $\mathbb{N}^*$ tel que la division euclidienne de $4294$ et $3521$ par $a$ donne respectivement $10$ et $12\\[0.2cm]$

1- En posant la division euclidienne de $4294$ par $12$ on trouve que :

$4294=12 \times 357+10~~$ avec $~q=357~$ et $~r=10$

Alors $~-4294=-12 \times 357-10$

Et puisque le reste doit être positif donc : $~-4294=-12 \times 357-10+12-12$

$-4294=12(-357-1)+2$

Alors $~q=-358~$ et $~r=2$

En posant la division euclidienne de $3521$ par $10$ on trouve que :$~3521=10 \times 352+1$