Détermination d'un ensemble

Ensemble défini en compréhension

تعريف

On dit qu'un ensemble est défini en compréhension, si l'on dispose d'une propriété qui permet de déterminer l'appartenance ou la non appartenance d'un élément à cet ensemble.

Ensemble défini en extension

تعريف

On dit qu'un ensemble est défini en extension, si l'on dispose de la liste des éléments de cet ensemble.

تطبيق

Soient A un ensemble définit en extension et B un ensemble définit en compréhension tels que:\ $A=\{-3,1,a,*\}$ et $B=\{x \in \mathbb{Z} / |x| \le 3\}\\$

  1. Définir l'ensemble B en extension
  2. Donner le diagramme de Venn des deux ensembles A et B $\\$

-Solution dans la vidéos du cours

Égalité de deux ensembles

تعريف

Soient A et B deux ensembles. On dit que les ensembles A et B sont égaux (ou identique) s'ils sont composés des mêmes éléments. On écrit A=B

ما يجب معرفته

(A=B) $\Leftrightarrow (A \subset B~~et~~B \subset A)$

خاصية

Soient A,B et C des ensemble, on a:

  1. A=A
  2. (A=B) $\Rightarrow$ (B=A)
  3. (A=B et B=C) $\Rightarrow$ (A=C)

تطبيق

Soit F l'ensemble définit par:

$F=\{x\in \mathbb{R} / \frac{-1}{2} < \frac{x}{x^2+4}<\frac{1}{2}\}$

  • Montrons que: F=R

$F=\{x\in \mathbb{R} / \frac{-1}{2} < \frac{x}{x^2+4}<\frac{1}{2}\}\\ = \{x\in \mathbb{R} / \frac{-1}{2} < \frac{x}{x^2+4} ~$ et $\frac{x}{x^2+4}<\frac{1}{2}\}\\ =\{x\in \mathbb{R} / 0<(x+1)^2+3 $ et $0<(x-1)^2+3\}\\$

  • Tous les éléments de l'ensemble $\mathbb{R}$ vérifient les deux conditions suivantes\\ $0<(x+1)^2+3 $ et $0<(x-1)^2+3$
  • Alors: F=R

Inclusion

تعريف

Soient A et B deux ensembles. On dit que l'ensemble A est inclus dans l'ensemble B (ou A est une partie de B, ou A est un sous-ensembles de B) si tout élément de A est un élément de B.

  • On écrit A $\subset$ B

ما يجب معرفته

Soient A et B deux ensembles, on a:

$(A \subset B ) \Leftrightarrow (\forall x ~~on~ a~~ x \in A \Rightarrow x \in B )$

خاصية

Soient A, B et C 3 ensembles:

  1. $A \subset A$ et $\oslash \subset A$
  2. Si $A \subset B$ et $B\subset C $ Alors $A \subset C$
  3.  $A=B \Leftrightarrow (A\subset B$ et $B \subset A)$

تطبيق

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

Ensemble des parties d'un ensemble

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