Dérivabilité des fonctions numériques

Vidéo Le concept de la dérivation
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Dérivabilité d'une fonction en un point

تعريف

Soit $$f$$ une fonction numérique définie sur l'intervalle ouvert $$\\ \left]a-r;a+r\right[$$ (r$$>$$0). On dit que $$f$$ est dérivable en $$\textbf{a}$$ si la limite:

 $$\lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}~$$ ou $$~\lim \limits_{h\rightarrow 0} \frac{f(h+a)-f(a)}{h}$$

existe et est finie. Cette limite est appelée nombre dérivé de $$f$$ en $$\textbf{a}$$ et est notée $f'(a)$.

Dérivabilité à droite

تعريف

Soit $$f$$ une fonction numérique définie sur l'intervalle ouvert $$\\ \left]a;a+r\right[$$ (r$$>$$0). $\\[0.2cm]$ On dit que $f$ est dérivable à droite de $$\textbf{a}$$ si et seulement si la limite:

$$\lim\limits_{x \to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}~$$ ou $$~\lim\limits_{h\to 0^+} \frac{f(h+a)-f(a)}{h}\\$$

existe et est finie. cette limite est appelée nombre dérivé de $$f$$ en $${a^+}$$ et est notée $$~{f'_d(a)}$$

Dérivabilité à gauche

تعريف

Soit $$f$$ une fonction numérique définie sur l'intervalle ouvert $$\\ \left]a-r;a\right[$$ (r$$>$$0). $\\[0.2cm]$ On dit que $$f$$ est dérivable à gauche de $${a}$$ si et seulement si la limite:

$$ \lim\limits_{x \to a^-} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}~$$ ou $$~\lim\limits_{h\to 0^-} \frac{f(h+a)-f(a)}{h}\\$$

existe et est finie. $$\\$$ cette limite est appelée nombre dérivé de $$f$$ en $${a^-}$$ et est notée $$~{f'_g(a)}$$

خاصية

Soit $$f$$ une fonction définie sur un intervalle ouvert de centre $${a}~$$: $$\\f$$ est dérivable en $${a}$$ si et seulement si elle est dérivable à droite et à gauche de $${a}~$$ et $$~{f'_g(a)}={f'_d(a)}$$

Vidéo La dérivabilité d'une fonction en un point
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Dérivabilité d'une fonction sur un intervalle

خاصية

  • Soit $$f$$ une fonction numérique définie sur un intervalle $$I.\\$$ On dit que $$f$$ est dérivable sur $$I$$ si elle est dérivable en tout point $$x$$ de $$I$$.
  • On note $$f'$$ la fonction qui à tous $$x \in I$$ associe le nombre dérivé de $$f$$ en $$x$$. On l'appelle la fonction dérivée de $$f$$, et on écrit:

$$ f'(x)= \frac{df}{dx}$$

Vidéo Dérivabilité d'une fonction sur un intervalle
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Opérations sur les fonctions dérivables

خاصية

Soient $$f$$ et $$g$$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $$I$$ et ($$ \alpha \in \mathbb{R}$$) , on a:

  1. $$(f+g)'=f'+g'$$
  2. $$(\alpha f)'=\alpha f'$$
  3. $$(f.g)'=f'.g+g'.f$$
  4. $$(f^n)'=n.f'.f^{n-1}$$
  5. Si la fonction $$g$$ ne s'annule pas sur $$I$$ alors: $$\\ (\frac{1}{g})'=-\frac{g'}{g^2}~~$$ et $$~~(\frac{f}{g})'=\frac{f'.g-g'.f}{g^2}$$
  6. Si la fonction $$f$$ est strictement positive sur $$I$$ alors: $$(\sqrt{f})'=\frac{f'}{2\sqrt{f}}$$

Dérivation et continuité

نظرية

soit $$f$$ une fonction numérique définie sur un intervalle $$I$$ et $${a}$$ un $$\\$$élément de $$I$$.

  1. si $$f$$ est dérivable en a alors elle est continue en a
  2. Si $$f$$ est dérivable sur l'intervalle I alors elle est continue sur I .

ما يجب معرفته

  • $$f$$ continue en $${a}$$ n'implique pas que f est dérivable en a .
  • $$f$$ est continue sur un intervalle $$I$$ n'implique pas que $$f$$ est dérivable sur $$I$$

تطبيق

Soit $f$ une fonction définie par: $$\forall x \in \mathbb{R}~$$ $$f(x)=x \\ $$ $$f$$ est continue en $0$ mais non dérivable en $0$.

Dérivée de la fonction composée

نظرية

Soient $$f$$ une fonction définie sur un intervalle $$I$$ et $$g$$ une fonction définie sur un intervalle $$J$$ tels que $$f(I)\subset J$$ et $$\textbf{a}$$ un élément de $$I$$.

  1. Si $f$ est dérivable en $$\textbf{a}~$$ et $$~g$$ dérivable en $$\textbf{b = f(a)} \\$$ alors: $$\displaystyle g\circ f$$ est dérivable en $$\textbf{a}~$$ et $$~(\displaystyle g\circ f(a))' = f'(a) g'(f(a))\\[0.2cm]$$
  2. Si $$f$$ est dérivable sur $$I~$$ et $$~g$$ dérivable sur $$f(I) \\$$ alors: $$\displaystyle g\circ f$$ est dérivable sur $I~$ et $$~\textbf(\forall x\in I)$$ on a :

$$(\displaystyle g\circ f(x))'= f'(x).g'(f(x))$$

تطبيق

Soit $$f$$ une fonction numérique définie par: $$~h(x)=sin(\sqrt{x+1})\\$$ On a: $$~h= g \circ f~$$ telle que

$$f:x \rightarrow \sqrt{x+1}~~$$ et $$~~g:x \rightarrow sin(x)$$

La fonction $$f$$ est dérivable sur $$~]-1;+\infty[~$$ et $$~g~$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}\\$$ et on a $$~f(]-1;+\infty[) \subset \mathbb{R}\\$$ Par conséquent, la fonction $$h$$ est dérivable sur $$]-1;+\infty[$$ et on a:

$$\forall x \in ]-1;+\infty[$$ $$~~h'(x)=f'(x).g'(f(x))=\frac{cos(\sqrt{x+1})}{2\sqrt{x+1}}$$

 

la Fonction réciproque

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