Rappels

Vidéo Rappel sur les suites numériques
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Commençons par une définition simple et amusante des suites numériques $\\$ Suite Arithmétique ! Suite Géométrique ! Le principe des suites numériques.. simple et énervant !  merci "Les Maths en Tongs" pour la caricature 😀

Suite Arithmétique et suite Géométrique

Et maintenant les choses sérieuses commencent 😀

Suite Arithmétique Suite Géométrique
1-Définition : On dit que $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ est une suite arithmétique s'il existe un réel $$r$$ (appelé raison de la suite ($$U_n$$)) tel que $$\\ \forall$$n$$\ge n_0$$ $$\quad U_{n+1}$$= $$U_n$$+r 1-Définition : On dit que:  $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ est une suite Géométrique s'il existe un réel $$q$$ (appelé raison de la suite ($$U_n$$)) tel que $$\forall n \ge n_0\quad U_{n+1}= U_n.q$$
2- $$U_n$$ en fonction de $n$ : $$\\ \forall$$ n $$\in \mathbb{N} ~~ $$ $$U_n$$= $$U_0$$+n.$$r \\ $$ $$\forall n,p \in \mathbb{N}~~$ $$U_n$$= $$U_p +(n-p)\cdot r$$ 2- $$U_n$$ en fonction de n: $$\forall  n  \in \mathbb{N} ~~U_n= U_0 \cdot q^n \\$$ $$\forall n,p \in \mathbb{N} ~~ U_n= U_p \cdot q^{n-p}$$
3-propriété caractéristique : $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ Arithmétique $$\\ \Leftrightarrow$$ $$\forall n> n_0~$$ $$2U_n$$=$$U_{n-1}+U_{n+1}$$ 3-propriété caractéristique: $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ Géométrique $$\\ \Leftrightarrow$$ $$\forall n> n_0~$$ $$U^2_n=U_{n-1}\cdot U_{n+1}$$
4-La somme : $$q \ne 1 \\$$  $$U_p+U_{P+1}+....+U_n= n-p+1 \over 2 (U_p+U_n)$$ 4-La somme : $$\\ U_p+U_{p+1}+...+U_n$$= $$1- q^{n-p+1} \over 1-q$$

La monotonie

Soit $$a$$ un nombre réel tel que: $$~U_{n+1}-U_n = a\\[0.2cm]$$ si $$~a>0 \Rightarrow (U_n)_{n \ge n_0}~$$ est strictement croissante $\\[0.2cm]$ si $$~a< 0 \Rightarrow (U_n)_{n \ge n_0}~$$ est strictement décroissante $\\[0.2cm]$ Si $$~a=0 \Rightarrow (U_n)_{n \ge n_0}~$$ est constante.

Suite Minorée, Suite Majorée, suite Bornée

1- On dit que la suite $$(U_n)_{n \ge n_0}~$$ est minorée s'il existe un réel $$m$$ tel que:

$$\\ \forall n\in \mathbb{N}  \quad U_n \ge m \\[0.2cm]$$

2- On dit que la suite $$(U_n)_{n \ge n_0}~$$ est majorée s'il existe un réel $$M$$ tel que:

$$\\ \forall n \in \mathbb{N} \quad U_n \le M \\[0.2cm]$$

3- On dit que la suite $$(U_n)_{n \ge n_0}~$$ est bornée si elle est à la fois minorée et majorée

Limite d'une suite numérique

Vidéo La limite d'une suite numérique
15 min
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Suite divergente

تعريف

Soit $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ une suite numérique $\\$ 1- On dit que la suite $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ $$\textbf{diverge}$$ vers $$+\infty$$ (quand n tend vers +$$\infty$$) si elle vérifie:

$$(\forall A>0) (\exists p \in \mathbb{N})~$$ tq   (si $$n\ge p \Rightarrow U_n >  A$$)

Et on écrit:

$$\lim\limits_{n \to +\infty}U_n= +\infty \\$$

2-On dit que la suite $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ $$\textbf{diverge}$$ vers $$-\infty$$ (quand $n$ tend vers $$+\infty$$) si elle vérifie:

($$\forall$$ A$$>$$0) ($$\exists$$ p$$\in$$N) tq ( n$$\ge$$p $$\Rightarrow$$ $$U_n$$ $$<$$ -A)

Et on écrit:

$$\lim_{n\to +\infty}U_n = -\infty$$

ما يجب معرفته

  • L'expression ( quand $n$ tend vers $$+\infty$$ ) est superflu car l'étude de la limite d'une suite c'est toujours quand $n$ tend vers $$+\infty$$ et on se contente d'écrire :

$$\lim U_n= +\infty$$

  • On a les équivalences suivantes:

$$\lim U_n= +\infty \Leftrightarrow  \lim(-U_n)= -\infty\\$$

$$\lim U_n= -\infty \Leftrightarrow  \lim(-U_n)= +\infty$$

Suite convergente

تعريف

On dit que $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ est une suite convergente s'il existe un réel $l$ tel que:

$$ \lim U_n= l$$

c-à-d:

$$ ( \forall \epsilon > 0)  (\exists p \in \mathbb{N})$$  tel que  $$(n \ge p  \Rightarrow  |U_n -l| <\epsilon)$$     

ما يجب معرفته

  1. Une suite qui n'est pas convergente est une suite divergente.
  2. Dire qu'une suite est divergente signifie qu'elle $$\textbf{n'admet pas de limite}$$ ou $$\textbf{qu'elle tend vers l'infini}$$.

Les limites de références

Vidéo Les limites de référence
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خاصية

Les suites du terme générale $$\sqrt{n}; n; n^2; n^3...$$ divergent vers $$+\infty$$

برهان

$$\lim~\sqrt{n}=+\infty$$

Montrons que: $$~\lim \sqrt{n}= +\infty\\[0.2cm]$$ c'est à dire on doit montrer que: $$ ~(\forall A>0) (\exists p \in N) ~(n \ge p \Rightarrow \sqrt{n} >A)$$

Soit $$A > 0$$, il suffit de trouver un élément $$p$$ de $$\mathbb{N}$$ tel que $$~(n \ge p \Rightarrow \sqrt{n} >A)$$

Posons $$~p = E(A^2)+1 ,~$$ d'où $$~p>A^2$$.

On a alors: $$~n \ge p \Rightarrow n>A^2~$$ avec $$~n\in \mathbb{N} \Rightarrow \sqrt{n}>A$$

d'où le résultat: $$~\lim \sqrt{n} = +\infty$$

خاصية

Soient $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ et $$(V_n)_{n \ge n_0}$$ deux suites numériques tels que:

$$\forall n \ge n_0 \quad U_n \le V_n$$

Alors on a:

  1. $$\lim U_n = +\infty ~\Rightarrow ~\lim V_n = +\infty$$
  2. $$\lim V_n = -\infty ~\Rightarrow ~\lim U_n= -\infty $$

برهان

1- Soient $$(U_n)_{n \ge n_0}~$$ et $$~(V_n)_{n \ge n_0}~$$ deux suites numériques telles que: $$\\ \forall n \ge n_0\quad$$ $$U_n \le V_n \quad$$ et $$\quad \lim U_n = +\infty \\[0.2cm]$$ Montrons que: $$~\lim V_n = +\infty~$$ c'est à dire on doit montrer que:$$~ (\forall A>0) (\exists p \in N)~ (n \ge p \Rightarrow V_n >A)\\[0.2cm]$$ Soit $$~A>0~$$ puisque $$~\lim~U_n= +\infty~$$ donc $$~(\exists q \in N)~ (n\ge q \Rightarrow U_n >A$$)

et puisque $$~\forall n \ge n_0$$ $$\quad U_n \le V_n \\$$

Alors: posons $$p= Sup(n_0, q) \\[0.2cm]\left\{ \begin{array}{lll} n \ge p \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{lcl} n\ge n_0\\ n \ge q \\ \end{array} \right. \Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl} V_n \ge U_n\\ U_n > A  \end{array} \right. \Rightarrow\left\{ \begin{array}{lcl} V_n > A\\ \end{array} \right.$$

d'où le résultat: $$~\lim\limits_{V \rightarrow n}= \infty$$

خاصية

Soit $$a$$ un réel :

  1. $$\forall ~a>1~$$ on a  $$~\lim a^n= +\infty$$
  2. $$\forall ~ |a|<1~$$ on a $$~\lim a^n = 0$$
  3. $$\forall ~ a\le-1~$$ la suite ($$a^n)$$ n'admet pas de limite

برهان

Preuve des deux premier résultats:

1- Soit $$~a>1~$$ donc $$~a-1> 0~$$, on a: $$~a= 1+ (a-1) \\[0.2cm]$$ Posons: $$~a-1 = \alpha \Rightarrow a= 1+\alpha \\[0.2cm]$$ Par Récurrence on peut montrer facilement le résultat suivant:

$$\forall n \in \mathbb{N}\quad (1+ \alpha)^n \ge 1+n.\alpha$$

(ce résultat s'appelle l'inégalité de Bernoulli)

d'où: $$~\forall n \in \mathbb{N} \quad a^n \ge 1+n.\alpha$$

on a: $$~\lim~1+n.\alpha = +\infty$$

Alors: $$ ~\lim~ a^n = +\infty$$

2- Si $$~a=0 \Rightarrow a^n=0 \Rightarrow \lim \,\,a^n=0 \\[0.2cm]$$ $$\begin{aligned}0<a<1 &\Rightarrow \frac{1}{a}>1 \\ &\Rightarrow \lim (\frac{1}{a})^n = +\infty\\ &\Rightarrow \lim \frac{1}{a^n} = +\infty \\ &\Rightarrow \lim~~ a^n= 0\end{aligned} \\[0.2cm]$$ Si $~-1<a<0\\$ Alors:$~\exists b>1~$ tel que : $~a=-\frac{1}{b}\\[0.2cm]$ puisque $0<\frac{1}{b}<1\\$ Alors: $~\lim \frac{1}{b} = 0~ \Rightarrow ~\lim - \frac{1}{b}=0 \quad $ d'où le résultat

مثال

  1. $$\lim~ (\sqrt{5})^n = +\infty \quad$$ car $$~ \sqrt{5}>1$$
  2. $$\lim~ 8^n = +\infty \quad$$ car $$~8>1$$
  3. $$\lim~ (\frac{2}{5})^n = 0 \quad$$ car $$~ -1<\frac{2}{5}<1$$  

Limites des suites usuelles :

خاصية

Les suites de terme général $$~\frac{1}{\sqrt{n}};\frac{1}{n}; \frac{1}{n^2};\frac{1}{n^3}...$$ convergent vers $$0$$

برهان

$${\lim \frac{1}{n^2}= 0}\\[0.2cm]$$ Montrons que: $$~\lim \frac{1}{n^2}= 0 \quad $$ c'est à dire on doit montrer que:

$$ (\forall \epsilon>0) (\exists p \in N)~~(n \ge p \Rightarrow |\frac{1}{n^2}|< \epsilon)$$

Soit $$\epsilon > 0$$, il suffit de trouver un élément $$p$$ de $$\mathbb{N}$$ tel que :

$$(n \ge p \Rightarrow |\frac{1}{n^2}|< \epsilon)$$

Posons $$~p = E(\frac{1}{\sqrt{\epsilon}})+1 $$,

d'où $$~p>\frac{1}{\sqrt{\epsilon}} $$.

On a alors: $$~n \ge p \Rightarrow n>\frac{1}{\sqrt{\epsilon}} ~(n\in \mathbb{N}^*) \Rightarrow n^2 > \frac{1}{\epsilon} \Rightarrow \frac{1}{n^2}< \epsilon$$

d'où le résultat: $$~~\lim~ \frac{1}{n^2}=0$$

Proposition : Unicité de la limite

Soit $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ une suite convergente de limite $$l$$ Alors $$l$$ est unique

برهان

Raisonnement par l'absurde Supposons qu'il existe une suite $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ posséde deux limites distinctes $$l_1$$ et $$l_2$$.

Posons $$\epsilon =\frac{|l_1 - l_2|}{2},~$$ en appliquant la définition de la limite, on obtiendra:

$$\left\{ \begin{array}{lcl} (\forall n \in N)~~(\exists p \in N)~~ (n\ge p \Rightarrow |U_n - l_1| < \frac{|l_1-l_2|}{2}) \\[0.2cm] (\forall n \in N)~~(\exists q \in N)~~ (n\ge q \Rightarrow |U_n - l_2| < \frac{|l_1-l_2|}{2}) \\ \end{array} \right. \ \\[0.2cm]$$

Cela implique: $$~\left\{ \begin{array}{lll} (n\ge p \Rightarrow |U_n - l_1| < \frac{|l_1-l_2|}{2}) \\[0.2cm] (n\ge q \Rightarrow |l_2- U_n| < \frac{|l_1-l_2|}{2}) \\ \end{array} \right. \ \\[0.2cm]$$ Soit $$~R= Sup( p,q) \cdot n \ge R \\[0.2cm] \Rightarrow $$ $$\left\{ \begin{array}{lcl} -\frac{|l_1-l_2|}{2}< U_n - l_1 < \frac{|l_1-l_2|}{2} \\ -\frac{|l_1-l_2|}{2}< -U_n + l_2 < \frac{|l_1-l_2|}{2} \\ \end{array} \right. \\[0.2cm] \Rightarrow -|l_1-l_2|< l_2-l_1 < |l_1-l_2| \Rightarrow |l_2-l_1| < |l_1-l_2| \\[0.2cm]$$ Ce qui est absurde. D'où le résultat

ما يجب معرفته

  1. La suite $$U_n$$= $$(-1)^n$$ est divergente.
  2. Une suite peut être convergente sans qu'elle soit monotone.
  3. Si $$~\lim \Vert U_n\Vert =0~$$ Alors $~\lim U_n= 0$

مثال

$$U_n=\frac{(-1)^n}{n}$$ n'est pas monotone mais elle est convergente. 

Opérations sur les limites des suites

Vidéo Les opérations sur les limites des suites numériques
15 min
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Proposition

Si $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ et $$(V_n)_{n \ge n_0}$$ sont deux suite convergentes et $$\alpha$$ un réel quelconque $\\$ Alors les suites: $$~ (U_n+V_n)_{n \ge n_0}~~$$; $$~~(U_n .V_n)_{n \ge n_0}~~$$; $$(\alpha U_n)_{n \ge n_0}~~$$ convergent. $$\\[0.2cm]$$ Si de plus $$~lim (V_n)\ne 0 , ~$$ alors la suite: $$~(\frac{U_n}{V_n})_{n \ge n_0} ~$$ converge.$\\[0.2cm]$ Et on a:

  1. $$\lim (U_n + V_n)= \lim (U_n)+\lim(V_n) \\[0.2cm]$$
  2. $$\lim (U_n.V_n) = \lim (U_n)\cdot \lim(V_n) \\[0.2cm]$$
  3. $$\lim (\alpha U_n) = \alpha \lim(U_n)\\[0.2cm]$$
  4. $$\lim (\frac{U_n}{V_n}) = \frac{\lim U_n}{\lim V_n}$$

مثال

1-$$\lim \frac{3n^2-n+1}{2n^2+n-1} = \lim \frac{n^2(3-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})}{n^2(2+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2})} = \lim \frac{3-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{2+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}= \frac{3}{2}\\[0.2cm]$$ 2- $$\lim 4-\frac{3}{\sqrt{n}}+\frac{1}{2n}= \lim 4 - \lim \frac{3}{\sqrt{n}} + lim\frac{1}{2n} = 4$$

تطبيق

Montrer que: $$~\lim~(3^n-2^n) = +\infty \quad $$ et $$\quad  \lim ~\frac{5^n+2^n}{3^n+4^n}= +\infty$$  

Limites de la somme

$$ \lim U_n$$ $\ell$ $$+\infty$$ $$-\infty$$ $\ell$ $\ell$ $$+\infty$$
$$\lim V_n$$ $ell'$ $$+\infty$$ $$-\infty$$ $$+\infty$$ $$-\infty$$ $$-\infty$$
$$ \lim (U_n+V_n)$$ $\ell + \ell '$ $$+\infty$$ $$-\infty$$ $$+\infty$$ $$-\infty$$ F I

 

Limites du produit

$$\lim U_n$$ $$ \ell \ne 0 $$ $\ell$ $$\infty$$ 0
$$\lim V_n$$ $$\infty$$ $\ell '$ $$\infty$$ $$\infty$$
$$\lim U_n \cdot V_n$$ $$\infty$$ $\ell \cdot \ell '$ $$\infty$$ F I

Limites du quotient

$$\lim U_n$$ $\ell$ $\ell$ $$\ell \ne 0 $$ $$\infty$$ $$\infty$$ $0$ $$\infty$$
$$V_n$$ $$\ell '\ne 0$$ $$\infty$$ $0$ $0$ $\ell$ $0$ $$\infty$$
$$\lim \frac{U_n}{V_n}$$ $$\frac{\ell}{\ell'}$$ $0$ $$\infty$$ $$\infty$$ $$\infty$$ F I  F I

Les limites et l'ordre

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