Les suites numériques

$$\lim~\sqrt{n}=+\infty$$

Montrons que: $$~\lim \sqrt{n}= +\infty\\[0.2cm]$$ c'est à dire on doit montrer que: $$ ~(\forall A>0) (\exists p \in N) ~(n \ge p \Rightarrow \sqrt{n} >A)$$

Soit $$A > 0$$, il suffit de trouver un élément $$p$$ de $$\mathbb{N}$$ tel que $$~(n \ge p \Rightarrow \sqrt{n} >A)$$

Posons $$~p = E(A^2)+1 ,~$$ d'où $$~p>A^2$$.

On a alors: $$~n \ge p \Rightarrow n>A^2~$$ avec $$~n\in \mathbb{N} \Rightarrow \sqrt{n}>A$$

d'où le résultat: $$~\lim \sqrt{n} = +\infty$$

1- Soient $$(U_n)_{n \ge n_0}~$$ et $$~(V_n)_{n \ge n_0}~$$ deux suites numériques telles que: $$\\ \forall n \ge n_0\quad$$ $$U_n \le V_n \quad$$ et $$\quad \lim U_n = +\infty \\[0.2cm]$$ Montrons que: $$~\lim V_n = +\infty~$$ c'est à dire on doit montrer que:$$~ (\forall A>0) (\exists p \in N)~ (n \ge p \Rightarrow V_n >A)\\[0.2cm]$$ Soit $$~A>0~$$ puisque $$~\lim~U_n= +\infty~$$ donc $$~(\exists q \in N)~ (n\ge q \Rightarrow U_n >A$$)

et puisque $$~\forall n \ge n_0$$ $$\quad U_n \le V_n \\$$

Alors: posons $$p= Sup(n_0, q) \\[0.2cm]\left\{ \begin{array}{lll} n \ge p \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{lcl} n\ge n_0\\ n \ge q \\ \end{array} \right. \Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl} V_n \ge U_n\\ U_n > A  \end{array} \right. \Rightarrow\left\{ \begin{array}{lcl} V_n > A\\ \end{array} \right.$$

d'où le résultat: $$~\lim\limits_{V \rightarrow n}= \infty$$

Preuve des deux premier résultats:

1- Soit $$~a>1~$$ donc $$~a-1> 0~$$, on a: $$~a= 1+ (a-1) \\[0.2cm]$$ Posons: $$~a-1 = \alpha \Rightarrow a= 1+\alpha \\[0.2cm]$$ Par Récurrence on peut montrer facilement le résultat suivant:

$$\forall n \in \mathbb{N}\quad (1+ \alpha)^n \ge 1+n.\alpha$$

(ce résultat s'appelle l'inégalité de Bernoulli)

d'où: $$~\forall n \in \mathbb{N} \quad a^n \ge 1+n.\alpha$$

on a: $$~\lim~1+n.\alpha = +\infty$$

Alors: $$ ~\lim~ a^n = +\infty$$

2- Si $$~a=0 \Rightarrow a^n=0 \Rightarrow \lim \,\,a^n=0 \\[0.2cm]$$ $$\begin{aligned}0<a<1 &\Rightarrow \frac{1}{a}>1 \\ &\Rightarrow \lim (\frac{1}{a})^n = +\infty\\ &\Rightarrow \lim \frac{1}{a^n} = +\infty \\ &\Rightarrow \lim~~ a^n= 0\end{aligned} \\[0.2cm]$$ Si $~-1<a<0\\$ Alors:$~\exists b>1~$ tel que : $~a=-\frac{1}{b}\\[0.2cm]$ puisque $0<\frac{1}{b}<1\\$ Alors: $~\lim \frac{1}{b} = 0~ \Rightarrow ~\lim - \frac{1}{b}=0 \quad $ d'où le résultat

$${\lim \frac{1}{n^2}= 0}\\[0.2cm]$$ Montrons que: $$~\lim \frac{1}{n^2}= 0 \quad $$ c'est à dire on doit montrer que:

$$ (\forall \epsilon>0) (\exists p \in N)~~(n \ge p \Rightarrow |\frac{1}{n^2}|< \epsilon)$$

Soit $$\epsilon > 0$$, il suffit de trouver un élément $$p$$ de $$\mathbb{N}$$ tel que :

$$(n \ge p \Rightarrow |\frac{1}{n^2}|< \epsilon)$$

Posons $$~p = E(\frac{1}{\sqrt{\epsilon}})+1 $$,

d'où $$~p>\frac{1}{\sqrt{\epsilon}} $$.

On a alors: $$~n \ge p \Rightarrow n>\frac{1}{\sqrt{\epsilon}} ~(n\in \mathbb{N}^*) \Rightarrow n^2 > \frac{1}{\epsilon} \Rightarrow \frac{1}{n^2}< \epsilon$$

d'où le résultat: $$~~\lim~ \frac{1}{n^2}=0$$

Raisonnement par l'absurde Supposons qu'il existe une suite $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ posséde deux limites distinctes $$l_1$$ et $$l_2$$.

Posons $$\epsilon =\frac{|l_1 - l_2|}{2},~$$ en appliquant la définition de la limite, on obtiendra:

$$\left\{ \begin{array}{lcl} (\forall n \in N)~~(\exists p \in N)~~ (n\ge p \Rightarrow |U_n - l_1| < \frac{|l_1-l_2|}{2}) \\[0.2cm] (\forall n \in N)~~(\exists q \in N)~~ (n\ge q \Rightarrow |U_n - l_2| < \frac{|l_1-l_2|}{2}) \\ \end{array} \right. \ \\[0.2cm]$$

Cela implique: $$~\left\{ \begin{array}{lll} (n\ge p \Rightarrow |U_n - l_1| < \frac{|l_1-l_2|}{2}) \\[0.2cm] (n\ge q \Rightarrow |l_2- U_n| < \frac{|l_1-l_2|}{2}) \\ \end{array} \right. \ \\[0.2cm]$$ Soit $$~R= Sup( p,q) \cdot n \ge R \\[0.2cm] \Rightarrow $$ $$\left\{ \begin{array}{lcl} -\frac{|l_1-l_2|}{2}< U_n - l_1 < \frac{|l_1-l_2|}{2} \\ -\frac{|l_1-l_2|}{2}< -U_n + l_2 < \frac{|l_1-l_2|}{2} \\ \end{array} \right. \\[0.2cm] \Rightarrow -|l_1-l_2|< l_2-l_1 < |l_1-l_2| \Rightarrow |l_2-l_1| < |l_1-l_2| \\[0.2cm]$$ Ce qui est absurde. D'où le résultat