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Fonction logarithme népérien

تعريف

La fonction primitive de: $$(\forall x \in ]0; +\infty[)     x  \rightarrow \frac{1}{x}$$ et qui s'annule en 1 est appelée la fonction logarithme népérien, notée $$ln(x)$$

ما يجب معرفته

ln(1)=0   et $$ ln'(x)=\frac{1}{x}$$ 

خاصية

  1. La fonction ln est continue (car elle est dérivable) et strictement croissante sur $$]0;+\infty[$$
  2. ($$\forall x>0$$) ($$\forall y>0$$) ln(x)=ln(y) $$\Leftrightarrow $$ x=y
  3. ($$\forall x>0$$) ($$\forall y>0$$) $$ln(x)>ln(y)$$ $$\Leftrightarrow $$ $$x>y$$
  4. ($$\forall x>0$$) ln(x) $$\ge$$ 0 $$\Leftrightarrow $$ x$$\ge$$ 1
  5. ($$\forall x>0$$) ln(x) $$\le$$ 0 $$\Leftrightarrow $$ x $$\le$$ 1

تطبيق

Soit f la fonction définie par: $$f(x)= ln(1+\sqrt{x})$$ Déterminer $$D$$ l'ensemble de définition de f $$\\$$ Solution: $$D=\{x\in \mathbb{R}/ 1+\sqrt{x}> 0 et x\geq 0\}= \{x\in \mathbb{R}/ x\geq 0\}= \mathbb{R}^{+}$$

تطبيق

Résoudre dans $$\mathbb{R}$$ l'équation suivante: $$2ln^{2}(x)-3ln(x)+1= 0 \\$$ Solution: Posons: $$X= ln(x)\\$$ On a: $$(x> 0)$$ $$2X^{2}-3X+1= 0$$   $$\Delta =1$$ donc: $$X_1= 1$$ et $$X_2= \frac{1}{2}\\$$ $$ln(x)= \frac{1}{2}$$ et $$ln(x)= 1$$ $$\Longrightarrow$$ $$ln(x)= ln(e^{\frac{1}{2}})$$ et $$ln(x)= ln(e) \\$$ Donc: $$x= e$$ et $$x= e^{\frac{1}{2}}$$ $$S= \{e; e^{\frac{1}{2}}\}$$

خاصية

Propriétés Algébriques

  1.  ($$\forall x>0$$) ($$\forall y>0$$) ln(x.y)=ln(x)+ln(y)
  2. ($$\forall y>0$$) ln($$\frac{1}{y})=-ln(y) $$
  3. ($$\forall x>0$$) ($$\forall y>0$$) ln($$\frac{x}{y}$$)=ln(x)-ln(y)
  4. ($$\forall x>0$$) ln($$x^r$$)=$$r.ln(x)$$

تطبيق

Résoudre dans $$\mathbb{R}$$ l'équation suivante: $$ln(4x+2)-ln(x-1)=2ln(x)$$ Solution:$$\\$$ Soit $$x\in \mathbb{R}\\$$ $$x\in D$$ $$\Longleftrightarrow$$ ($$4x+2> 0$$ et $$x-1> 0$$ et $$x> 0)\\$$ $$\Longleftrightarrow$$ ($$x> -\frac{1}{2}$$ et $$x> 1$$ et $$x> 0)\\$$ $$\Longleftrightarrow$$ $$x> 1\\$$ Donc : $$D=]1;+\infty [\\$$ Soit $$x\in D$$: $$ln(4x+2)-ln(x-1)=2ln(x)$$ $$\Longleftrightarrow$$ $$ln(\frac{4x+2}{x-1})=ln(x^{2}) $$ Donc: $$\frac{4x+2}{x-1}=x^{2}$$ $$\Longleftrightarrow$$ $$x^{3}-x^{2}-4x-2= 0\\$$ Il est clair que -1 est une solution et on a: $$x^{3}-x^{2}-4x-2= (x+1)(x^{2}-2x-2)$$ Les solutions de $$x^{2}-2x-2=0$$ sont: $$1-\sqrt{3}$$ et $$1+\sqrt{3}$$,  or: $$-1\notin D$$ et $$1-\sqrt{3}\notin D$$ mais $$1+\sqrt{3}\in D\\$$ donc: $$S=\{1+\sqrt{3}\}$$

ما يجب معرفته

  1. ($$\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2$$) ($$ab>0$$ $$\Rightarrow$$ ln(ab) = $$ln(|a|)+ln(|b|)$$
  2. ($$\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2$$) ($$ab>0$$ $$\Rightarrow$$ ln($$\frac{a}{b}$$) = -ln($$\frac{b}{a})$$
  3. $$(\forall a>0)$$ ln($$\sqrt{a}$$)=$$\frac{1}{2}$$ln(a)

Les limites usuelles

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