Fiche de cours

L'ENSEMBLE DES NOMBRES COMPLEXES

NOTION DE NOMBRE COMPLEXE

نظرية

Il existe un ensemble noté $\mathbb{C}$ contenant $\mathbb{R}$ :

$\bullet ~$ muni d'une addition notée $+$ et d'une multiplication notée $*$, ou le plus souvent implicitement (c'est-à-dire sans symbole, comme dans $\mathbb{R}$ ) possédant les mêmes propriétés comme dans $\mathbb{R}$.

$\bullet ~$ possédant un élément noté $i$ dont le carré vaut $-1: i^{2}=-1$.

$\bullet ~$ où tout élément $z$, appelé nombre complexe ou complexe, s'écrit de manière unique sous la forme $z=x+i y$, avec $x$ et $y$ réels.

image/svg+xml Remarque

- On a alors: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$

- L'addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les règles de calcul restent les mêmes.

- Contrairement à $\mathbb{R}$, l'ensemble $\mathbb{C}$ n'est usuellement muni d'aucune relation d'ordre et nous ne pourrons donc pas dire qu'un nombre complexe est inférieur à un autre ou non plus qu'il est positif.

- Les nombres complexes $~x+i y~$ et $~x+y i~$ où $~(x ; y) \in \mathbb{R}^{2}~$ représentent le même nombre complexe.

On a: $\quad \mathbb{C}=\left\{x+i y /(x ; y) \in \mathbb{R}^{2}\right\}$

LA FORME ALGÉBRIQUE D'UN NOMBRE COMPLEXE

تعريف

Étant donné $z \in \mathbb{C}$, il existe un unique couple $(x ; y) \in \mathbb{R}^{2}$ tel que

$z=x+i y$.

- L'écriture $x+i y~$ s'appelle la forme algébrique du nombre complexe $z$,

- Le nombre $x$ est la partie réelle de $z$, notée $\operatorname{Re}(z)$.

- Le nombre $y$ est la partie imaginaire de $z$, notée $\operatorname{Im}(z)$.

- Un nombre complexe est réel lorsque sa partie imaginaire est nulle:

$z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \operatorname{Im}(z)=0$

- Un nombre complexe est dit imaginaire pur si sa partie réelle est nulle :

$z \in i \mathbb{R} \Leftrightarrow \operatorname{Re}(z)=0$

مثال

On considère le nombre complexe: $z=5+2 i(1-3 i)$

On a$:~ z=5+2 i-6 i^{2}=5+2 i+6=11+2 i$ .

On a alors: $\operatorname{Re}(z)=11~$ et $~\operatorname{Im}(z)=2$.

Vidéo Notion de nombre complexe
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ÉGALITÉ DE DEUX NOMBRES COMPLEXES

خاصية

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes parties réelles et les mêmes parties imaginaires. En d'autres termes:

$ \left(\forall\left(z ; z^{\prime}\right) \in \mathbb{C}^{2}\right) \quad z=z^{\prime} \Leftrightarrow\left(\operatorname{Re}(z)=\operatorname{Re}\left(z^{\prime}\right) \text { et } \operatorname{Im}(z)=\operatorname{Im}\left(z^{\prime}\right)\right) $

image/svg+xml Remarque

- Le résultat de la proposition est une conséquence immédiate de l'unicité de la forme algébrique d'un nombre complexe.

- Pour tout nombre complexe $z: \quad z=0 \Leftrightarrow(\operatorname{Re}(z)=0~$ et $~\operatorname{Im}(z)=0)$

مثال

On considère deux nombres complexes:

$z_{1}=x-1+(y+2) i~~$ et $~~z_{2}=-2 x i+y~~$ où $~~(x ; y) \in \mathbb{R}^{2}$

Déterminons $x$ et $y$ pour que $z_{1}=z_{2}:$

On a:

$ \begin{aligned} z_{1}=z_{2} &\Leftrightarrow(x-1=y \quad \text{et} \quad y+2=-2 x) \\[0.2cm] &\Leftrightarrow x-y=1 \quad \text{et} \quad 2 x+y=-2 \\[0.2cm] & \Leftrightarrow(x=-\frac{1}{3}\quad \text{et } \quad \left.y=-\frac{4}{3}\right)\end{aligned}$

OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES COMPLEXES : ADDITION ET MULTIPLICATION DANS C

خاصية

Soit $z$ et $z^{\prime}$ deux nombres complexes tels que : $~z=x+i y~$ et

$~z^{\prime}=x^{\prime}+i y^{\prime} \\$ avec $~\left(x, x^{\prime}, y, y^{\prime}\right) \in \mathbb{R}^{4}$.

On a: $~~z+z^{\prime}=x+x^{\prime}+i\left(y+y^{\prime}\right)~$

et $~~z \times z^{\prime}=x x^{\prime}-y y^{\prime}+i\left(x y^{\prime}+x y^{\prime}\right)$.

- Pour tout $\lambda \in \mathbb{R}: \quad \lambda z=\lambda x+i(\lambda y)$.

مثال

On considère les nombres complexes suivants:

$z_{1}=5-4 i \quad ; \quad z_{2}=3+6 i \quad ; \quad z_{3}=3+i \sqrt{2}$

Écrivons les nombres complexes suivants sous forme algébrique :

$z_{1}+z_{2} \quad ; \quad z_{1} \times z_{2} \quad ; \quad z_{1} \times z_{3}\quad ; \quad -5 z_2$

$\cdot z_{1}+z_{2}=5-4 i+3+6 i=8+2 i \\[0.2cm]$

$\cdot z_{1} \times z_{2}=(5-4 i)(3+6 i)=15+30 i-12 i+24=39+18 i \\[0.2cm]$

$\begin{aligned}\cdot z_{1} \times z_{3} &=(5-4 i)(3+i \sqrt{2})\\ &=15+5 \sqrt{2} i-12 i+4 \sqrt{2}\\ & =(15+4 \sqrt{2})+(-12+5 \sqrt{2}) i \end{aligned}\\[0.2cm]$

$\cdot-5 z_{2}=-5(3+6 i)=-15-30 i$

image/svg+xml Remarque

Pour tout $\left(z ; z^{\prime}\right) \in \mathbb{C}^{2}$ et pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$ on a :

$ \operatorname{Re} ( z + z' ) = \operatorname{Re} ( z ) + \operatorname{Re} ( z' ) \quad \text { et } \quad \operatorname{Re}(\lambda z)=\lambda \operatorname{Re}(z) \\[0.2cm] \operatorname{ Im } ( z + z') = \operatorname{ Im } ( z ) + \operatorname{ I m } ( z')\quad \text{et} \quad\operatorname{Im}(\lambda z)=\lambda \operatorname{lm}(z)$

Si $k$ $\in \mathbb{N}, ~~$ alors $~~i^{2 k}=\left(i^{2}\right)^{k}=(-1)^{k}$.

Il en résulte donc: $~~i^{4 k}=1  \quad, \quad i^{4 k+1}=i \quad, \quad i^{4 k+2}=-1,$

$i^{4 k+3}=-i$

OPPOSÉ D'UN COMPLEXE - DIFFÉRENCE DE DEUX COMPLEXES

خاصية

Tout nombre complexe $~z=x+i y,~$ où $x$ et $y$ sont des réels, possède un opposé dans $\mathbb{C}$, noté $-z$, qui est le nombre complexe $-x-i y$,

et on écrit : $~-z=-x-i y$.

Donc:

$ \operatorname{Re}(-z)=-\operatorname{Re}(z) \quad \text { et } \quad \operatorname{Im}(-z)=-\operatorname{Im}(z) $

تعريف

La différence de deux nombres complexes $z$ et $z^{\prime}$ est le nombre :

$\quad z-z^{\prime}=z+\left(-z^{\prime}\right)$

image/svg+xml Remarque

- Si $x, x^{\prime}, y$ et $y$ ' sont des nombres réels alors:

$(x+i y)-\left(x^{\prime}+i y^{\prime}\right)=x-x^{\prime}+i\left(y-y^{\prime}\right)$ .

Les identités remarquables vues dans $\mathbb{R}$ restent aussi valables dans $\mathbb{C}$. Ainsi, pour tous nombres complexes $z_{1}$ et $z_{2}$, on a :

$ \left(z_{1}+z_{2}\right)^{2}=z_{1}^{2}+2 z_{1} \cdot z_{2}+z_{2}^{2} \\[0.2cm] \left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}=z_{1}^{2}-2 z_{1} \cdot z_{2}+z_{2}^{2} \\[0.2cm] \left(z_{1}+z_{2}\right)\left(z_{1}-z_{2}\right)=z_{1}^{2}-z_{2}^{2} $

En particulier, on a les égalités suivantes, valables pour tout $(a ; b) \in \mathbb{R}^{2}$ :

$ (a+i b)^{2}=a^{2}-b^{2}+2 a b i $

$(a-i b)^{2}=a^{2}-b^{2}-2 a b i $

$(a+i b)(a-i b)=a^{2}+b^{2} $

On a aussi :

$\left(z_{1}+z_{2}\right)^{3}=z_{1}^{3}+3 z_{1}^{2} \cdot z_{2}+3 z_{1} \cdot z_{2}^{2}+z_{2}^{3} \\[0.2cm] \left(z_{1}-z_{2}\right)^{3}=z_{1}^{3}-3 z_{1}^{2} \cdot z_{2}+3 z_{1} \cdot z_{2}^{2}-z_{2}^{3}$

$ z_{1}^{3}-z_{2}^{3}=\left(z_{1}-z_{2}\right)\left(z_{1}^{2}+z_{1} \cdot z_{2}+z_{2}^{2}\right) \\[0.2cm] z_{1}^{3}+z_{2}^{3}=\left(z_{1}+z_{2}\right)\left(z_{1}^{2}-z_{1} \cdot z_{2}+z_{2}^{2}\right) $

- Un produit de nombres complexes est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul.

En particulier: $\quad\left(\forall\left(z ; z^{\prime}\right) \in \mathbb{C}^{2}\right) \quad z \times z^{\prime}=0 \Leftrightarrow\left(z=0\right.$ ou $\left.z^{\prime}=0\right)$

مثال

Pour tout $z \in \mathbb{C}$, on pose: $z_{1}=5-i z~$ et $~z_{2}=z+i\left(z^{2}+1\right)$

Écrivons les nombres $z_{1}$ et $z_{2}$ sous leur forme algébrique dans chacun des cas suivants :
a) $z=i$

b) $z=2+3 i$

c) $z=(1-3 i)^{2}$

solution

a) On a : $~~z_{1}=5-i^{2}=5-(-1)=6$

et $~z_{2}=i+i\left(i^{2}+1\right)=i+i(-1+1)=1$

b) On a : $~z_{1}=5-i(2+3 i)=5-2 i-3 i^{2}=5-2 i+3=8-2 i$

et: $~z_{2}=2+3 i+i\left((2+3 i)^{2}+1\right)=2+3 i-i(-4+12 i)=-10-1$

c) On a : $~z_{1}=5-i(1-3 i)^{2}=5-i(-8-6 i)-5+8 i-6=-1+8 i$

$\begin{aligned} \text {et :} ~~z_{2}=(1-3 i)^{2}+i\left((1-3 i)^{4}+1\right)&=-8-6 i+i\left((-8-6 i)^{2}+1\right)\\[0.2cm] &=-8-6 i+i(29+96 i) \\[0.2cm] &=-104+23 i \end{aligned}$

2) On considère le nombre complexe: $~t=1+\sqrt{3}+i(1-\sqrt{3})$

Calculons puis mettons sous forme algébrique les nombres $t^{2}, t^{4}$ et $t^{6}$:

- On a :

$\begin{aligned} t^{2}&=(1+\sqrt{3})^{2}-(1-\sqrt{3})^{2}+2 i(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})\\ &=4(\sqrt{3}-i) \\ &=4 \sqrt{3}-4 i \end{aligned}$

- On a :

$ \begin{aligned}t^{4}=[4(\sqrt{3}-i)]^{2} &=16(\sqrt{3}-i)^{2}\\ &=16(2-2 i \sqrt{3})\\ &=32-32 \sqrt{3} i \end{aligned}$

- On a :

$ \begin{aligned}t^{6}=t^{2} \times t^{4}&=4(\sqrt{3}-i) \times 32(1-i \sqrt{3}) \\&=128(\sqrt{3}-i)(1-i \sqrt{3})=128(-4 i)=-512 i\end{aligned}$

- On a: $~t^{12}=\left(t^{6}\right)^{2}=(-512 i)^{2}=\left(-2^{9} i\right)^{2}=-2^{18}$.

INVERSE D'UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL QUOTIENT DE DEUX NOMBRES COMPLEXES

خاصية

Soit $z=x+i y$ un nombre complexe non nul tels que $\\ (x ; y) \in \mathbb{R}-\{(0,0)\}$.

L'inverse du nombre $z$ est le nombre complexe noté $\frac{1}{z}$ ou $z^{-1}$ tel que :

$ \frac{1}{z}=\frac{1}{x+i y}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}(x-i y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}-i \frac{y}{x^{2}+y^{2}} $

مثال

1) Déterminons l'inverse du nombre complexe $z=(1-2 i)(3+2 i)$ :

On a : $~z=3+2 i-6 i+4=7-4 i . $

Donc: $\frac{1}{z}=\frac{1}{7-4 i}=\frac{7+4 i}{7^{2}+(-4)^{2}}=\frac{7}{65}+\frac{4}{65} i$

2) Écrivons sous forme algébrique le nombre complexe : $z=\frac{1}{1+2 i}+\frac{1}{3-4 i}$

On a :

$\begin{aligned}z=\frac{1}{1+2 i}+\frac{1}{3-4 i}&=\frac{1-2 i}{1^{2}+2^{2}}+\frac{3+4 i}{3^{2}+(-4)^{2}}\\ &=\frac{1-2 i}{5}+\frac{3+4 i}{25}\\ &=\frac{5-10 i+3+4 i}{25}\\ &=\frac{8}{25}-\frac{6}{25} i \end{aligned}$

3) L'inverse du nombre complexe $i$ est le nombre : $\frac{1}{i}=-i$

تطبيق

1. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe suivant :

$Z=(2+i \sqrt{3})(3-4 i)+\left(1+\frac{1}{2} i\right)^{2}$.

2. Déterminer la forme algébrique du nombre $u=\frac{1}{z}-\frac{1}{z^{\prime}}$ sachant que:

$z=1-3 i\quad $ et $\quad z^{\prime}=\frac{3}{2}+5 i$.

3. Soit: $~j=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i$

a) Calculer $j^{2}$ et $j^{3}$.

b) Soit $k \in \mathbb{N}$. Calculer $j^{k}$ selon les valeurs de $k$.

c) Vérifier que : $1+j+j^{2}=0$.

d) Calculer la somme : $1+j+j^{2}+\ldots+j^{2018}$.

4. Pour tout $z \in \mathbb{C}$ on pose : $f(z)=z^{2}-z+2$

Déterminer tous les complexes $z$ tels que $f(z) \in \mathbb{R}$. (Indication: Poser $\left.z=x+i y \operatorname{ avec }(x ; y) \in \mathbb{R}^{2}\right)$.

5. Soit $z$ un nombre complexe différent de $-i$. Prouver que :

$\frac{1}{z+i} \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \operatorname{Im} z=-1$.

خاصية

Soit $z=x+i y$ et $z^{\prime}=x^{\prime}+i y^{\prime}$ deux complexe où $x, x^{\prime}, y$ et $y^{\prime}$ des réels tels que $(x, y) \neq(0,0)$.

Le quotient de $z^{\prime}$ par $z$ est le nombre complexe noté $\frac{z^{\prime}}{z}$ tel que : $\frac{z^{\prime}}{z}=z^{\prime} \times \frac{1}{z} \\ $ et on a :

$ \frac{z^{\prime}}{z}=\frac{x^{\prime}+i y^{\prime}}{x+i y}=\frac{x x^{\prime}+y y^{\prime}}{x^{2}+y^{2}}+i \frac{x y^{\prime}-y x^{\prime}}{x^{2}+y^{2}} $

مثال

1) Calculons le nombre: $z=\frac{\sqrt{3}+2 i}{\sqrt{3}-2 i}+\frac{\sqrt{3}-2 i}{\sqrt{3}+2 i}$

On a immédiatement: $z=\frac{(\sqrt{3}+2 i)^{2}+(\sqrt{3}-2 i)^{2}}{(\sqrt{3}-2 i)(\sqrt{3}+2 i)}=\frac{-1+2 i \sqrt{3}-1-2 i \sqrt{3}}{3+4}=-\frac{2}{7}$

2) Résolvons dans $\mathbb{C}$ l'équation suivante : $\quad(E):(4+i) z=2+i-z$.

L'équation $(E)$ est équivalente à $~z+(4+i) z=2+i$,

c'est-à-dire $(5+i) z=2+i$.

Il s'ensuit donc :$ ~~z=\frac{2+i}{5+i}=\frac{(2+i)(5-i)}{5^{2}+1^{2}}=\frac{11+3 i}{26}=\frac{11}{26}+\frac{3}{26} i $

Par suite, l'ensemble solution de cette équation est : $S=\left\{\frac{11}{26}+\frac{3}{26} i\right\}$

3) Soit $z=x+i y$ un nombre complexe avec $~(x ; y) \in \mathbb{R}^{2}$, On pose $f(z)=\frac{z+i}{z-1}$.

Déterminons les nombres complexes $z$ distincts de $1$ pour que $f(z)$ soit un réel.

On a: $f(z)=\frac{x+i(y+1)}{(x-1)+i y}=\frac{(x+i(y+1))((x-1)-i y)}{(x-1)^{2}+y^{2}}=\frac{x^{2}+y^{2}-x+y}{(x-1)^{2}+y^{2}}+i \frac{x-y-1}{(x-1)^{2}+y^{2}}$

Il s'ensuit donc que:

$\operatorname{Re}(f(z))=\frac{x^{2}+y^{2}-x+y}{(x-1)^{2}+y^{2}}\quad $ et $\quad \operatorname{Im}(f(z))=\frac{x-y-1}{(x-1)^{2}+y^{2}}$

On a alors:

$\begin{aligned}f(z) \in \mathbb{R} &\Leftrightarrow \operatorname{Im}(f(z))=0 \\ & \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x-y-1=0 \\ (x-1)^{2}+y^{2} \neq 0\end{array}\right. \\[0.2cm] & \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}y=x-1 \\(x ; y) \neq(1 ; 0) \end{array}\right. \\[0.2cm] &\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}z=x+i (x-1)\\x \neq 1 \end{array}\right.\end{aligned}$

Par suite, l'ensemble des nombres complexes $z$ tel que $f(z) \in \mathbb{R}$ est:

$\{x+(x-1) i ~ / ~~x \in \mathbb{R}-\{1\}\}$.

تطبيق

1. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe suivant:

$Z=(1+i)\left(\frac{2+i}{1-i}\right)^{2}-(1+3 i)\left(\frac{2+i}{1-i}\right)+6$.

2. Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes :

$ \left(E_{1}\right) \quad(-1+4 i) z+(1-2 i)=i z+3 $

$\left(E_{2}\right) \quad \frac{1+3 i z}{1+3 z}=i \frac{z+2}{z-5} $

3. Résoudre dans $\mathbb{C}^{2}$ les systèmes suivants :

$\left(S_{1}\right):\left\{\begin{array}{l} 2 i z+3 z^{\prime}=i \\ i z+z^{\prime}=2 \end{array} \quad ; \quad\left(S_{2}\right):\left\{\begin{array}{l} 3 z-2 z^{\prime}=-11 \\i z+(1+i) z^{\prime}=3(4-i) \end{array}\right.\right. $

4. Soit $z=x+i y$ un nombre complexe tel que $(x ; y) \in \mathbb{R}^{2}$.

Déterminer tous les nombres complexes $z$ dans chacun des cas suivants :

a) $i z^{2} \in \mathbb{R}$

b) $z^{2}+z+1 \in \mathbb{R}$

c) $\frac{1-i z}{1+z} \in i \mathbb{R}$

Vidéo Egalité et opérations sur les nombres complexes
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LA REPRÉSENTATION GÉOMÉTRIQUE D'UN NOMBRE COMPLEXE : AFFIXE D'UN POINT - AFFIXE D'UN VECTEUR

تعريف

Le plan $\mathcal{S}$ est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O ; \vec{e}_{1} ; \vec{e}_{2}\right)$.

- Soit $z=x+i y$ où $(x ; y) \in \mathbb{R}^{2}$ un nombre complexe.

L'unique point $M$, de coordonnées $(x ; y) \operatorname{dans}\left(O ; \vec{e}_{1} ; \vec{e}_{2}\right)$, est appelé l'image du complexe $z$ et on écrit $M(z)$.

- Soit $M$ un point, de coordonnées $(x ; y) \operatorname{dans}\left(O ; \vec{e}_{1} ; \vec{e}_{2}\right)$.

Le nombre complexe $z=x+i y$ est appelé l'affixe du point $M .$

On le note $A f f(M)$ ou $z_{M}$.

image/svg+xml Remarque

- Le plan $\mathcal{S}$ étant muni d'un repère orthonormé direct $\left(O ; \vec{e}_{1} ; \vec{e}_{2}\right)$. À partir de la définition précédente , on peut identifier l'ensemble $\mathbb{C}$ au plan $\mathcal{S}$ de la façon suivante :

- À tout nombre complexe $z=x+i y$ on associe le point $M(x ; y)$.

- À tout point $M(x ; y)$ du plan $\mathcal{S}$ on associe le nombre complexe $\\ z=x+i y$. Ainsi :

Le plan $\mathcal{P}$ est appelé alors le plan complexe et on a pour tous points $M$ et $N$ du plan $\mathcal{P}$ :

$ A f f(M)=A f f(N) \Leftrightarrow M=N $

- Tout point de l'axe des abscisses est l'image d'un nombre réel, c'est pour cela l'axe des abscisses s'appelle l'axe réel.

Donc: $M(z) \in\left(O ; \vec{e}_{1}\right) \Leftrightarrow z \in \mathbb{R}$.

- Tout point $B(0, b)$ de l'axe des ordonnées est l'image d'un nombre imaginaire pur $(A f f(B)=b i)$, c'est pourquoi l'axe des ordonnées s'appelle l'axe imaginaire. Donc: $M(z) \in\left(O ; \vec{e}_{2}\right) \Leftrightarrow z \in i \mathbb{R}$.

تعريف

Le plan $\mathcal{S}$ est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O ; \vec{e}_{1} ; \vec{e}_{2}\right)$.

Soit $z=x+i y$ un nombre complexe où $(x ; y) \in \mathbb{R}^{2}$.

Le vecteur $\vec{u}=x. \vec{i}+y . \vec{j}$ est appelé l'image vectorielle du complexe $z$, et on écrit $\vec{u}(z)$.

De même, le nombre $z$ est appelé l'affixe du vecteur $\vec{u}$, et on écrit $A f f(\vec{u})=z~$ ou parfois $~z_{\vec{u}}=z$.

image/svg+xml Remarque

- Soit $z$ un nombre complexe. On a : $z=A f f(M) \Leftrightarrow z=A f f(\overrightarrow{O M})$.

- Soit $\mathcal{V}_{2}$ l'ensemble des vecteurs du plan. On a pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de $\mathcal{V}_{2}$ :

$ (\vec{u}=\vec{v} \Leftrightarrow \operatorname{Aff}(\vec{u})=A f f(\vec{v})) $

INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE DE LA SOMME, DE LA DIFFÉRENCE ET DE LA MULTIPLICATION PAR UN RÉEL

خاصية

- Si $ \vec{v}_{1}~$ et $~\vec{v}_{2}~$ sont deux vecteurs du plan d'affixes respectives $z_{1}$ et $z_{2}$, alors l'affixe du vecteur $\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}$ est $z_{1}+z_{2} .$

En d'autres termes $: \operatorname{Aff}\left(\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}\right)=\operatorname{Aff} \left(\vec{v}_{1}\right)+\operatorname{Aff} \left(\vec{v}_{2}\right)$

- Si $M_{1}$ et $M_{2}$ sont les images respectives des affixes $z_{1}$ et $z_{2}$, alors l'image du nombre complexe $z_{1}+z_{2}$ est le point $S$ tel que :

$\overrightarrow{O S}=\overrightarrow{O M}_{1}+\overrightarrow{O M}_{2}~~$ (c'est-à-dire $O M_{1} S M_{2}$ est un parallélogramme).

خاصية

Soit $M_{1}\left(z_{1}\right)$ et $M_{2}\left(z_{2}\right)$ deux points du plan complexe.

Alors l'affixe du vecteur $\overrightarrow{M_{1} M_{2}}$ est $z_{2}-z_{1}$.

En d'autres termes:

$A f f\left(\overline{M_{1} M_{2}}\right)=\operatorname{Aff}\left(M_{2}\right)-\operatorname{ Aff} \left(M_{1}\right)$.

مثال

On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives:

$z_{A}=3+2 i \quad$ et $\quad z_{B}=1+5 i$.

Déterminons l'affixe du point $C$ pour lequel $O A B C$ est un parallélogramme

Le quadrilatère $O A B C$ est un parallélogramme si, et seulement si :

$\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{A B}$

D'après la proposition précédente , l'affixe du vecteur $\overrightarrow{A B}$ est

$z_{B}-z_{A}=-2+3 i$.

Et puisque l'affixe du vecteur $\overrightarrow{O C}$ est celle du point $C$ alors l'affixe du point $C$ est :

$z_{C}=z_{B}-z_{A}=-2+3 i$.

تطبيق

1. On considère les points $A, B$ et $C$ d'affixes respectives :

$z_{A}=-2+i \quad,\quad z_{B}=4-3 i \quad$ et $\quad z_{C}=-5+2 i$

a) Placer dans le plan complexe les points $A, B$ et $C$.

b) Déterminer les affixes des vecteurs $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{B C}$ et $\overrightarrow{O A}$.

2. Soit $A, B, C$ et $D$ des points du plan d'affixes respectives $a, b, c$ et $d$.

Montrer que: $A B C D$ est un parallélogramme $\Leftrightarrow a+c=b+d$

3. Soit $A, B$ et $E$ des points du plan d'affixes respectives: $a=3-4 i$ et $b=7-i$ et $e=1+i$

Et soit $M$ le point du plan défini par: $-\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{B M}+\overrightarrow{E M}=\overrightarrow{0}$

Déterminer l'affixe du point $M$. Quelle est la nature du quadrilatère $A B M E$ ?

خاصية

- Si $~\vec{u}$ est un vecteur d'affixe $z$ et $\lambda$ un nombre réel, alors l'affixe du vecteur $\lambda \vec{u}$ est $\lambda z$.

En d'autres termes :

$\operatorname{Aff}(\lambda \vec{u})=\lambda A f f(\vec{u})$

- Si $M(z)$ est un point du plan, alors l'image du nombre complexe $\lambda z$ est le point $P$ défini par : $\quad \overrightarrow{O P}=\lambda \overrightarrow{O M}$

image/svg+xml Remarque

À l'aide des propositions précédentes , on peut établir le résultat suivant :

Si $~ \vec{v}_{1} ~$ et $~\vec{v}_{2}~$ sont deux vecteurs du plan, alors pour tout $\left(\lambda_{1} ; \lambda_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}:$

$ \operatorname{Aff} \left(\lambda_{1} \vec{v}_{1}+\lambda_{2} \vec{v}_{2}\right)=\lambda_{1}\operatorname{Aff} \left(\vec{v}_{1}\right)+\lambda_{2} \operatorname{Aff}\left(\vec{v}_{2}\right) $

Vidéo Représentation géométrique d'un nombre complexe
15 min
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INTERPRÉTATION COMPLEXE DE LA LINÉARITÉ, DU PARALLÉLISME ET DU BARYCENTRE

خاصية

Soit $A, B$ et $C$ des points deux à deux distincts d'affixes respectives $z_{A}, z_{B}$ et $z_{C}$. Les points $A, B$ et $C$ sont alignés si, et seulement si : $\quad \frac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}} \in \mathbb{R}$.

مثال

1) Soit $A, B$ et $C$ les points du plan complexe d'affixes respectives:

$z_{A}=6-i\quad $ et $\quad z_{B}=1-11i \quad$ et $\quad z_{C}=7+i$.

On a $: \frac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}=\frac{1+2 i}{-5-10 i}=\frac{1+2 i}{-5(1+2 i)}=-\frac{1}{5}$

Puisque $\frac{z_{C}-z_{1}}{z_{B}-z_{A}} \in \mathbb{R}$, alors les points $A, B$ et $C$ sont alignés.

2) Déterminons l'ensemble des points $M(z)$ du plan complexe tels que $\frac{z+5 i}{z-3 i} \in \mathbb{R}$ :

On considère les deux points $A(-5 i)$ et $B(3 i)$. On a alors :

$\frac{z+5 i}{z-3 i} \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \frac{z-z_{A}}{z-z_{B}} \in \mathbb{R} \Leftrightarrow$ (les points $A, B$ et $M$ sont alignés et $\left.M \neq B\right)$

Par suite, l'ensemble des points demandé est la droite $(A B)$ privée du point $B$.

خاصية

$\operatorname{Soit} A, B, C$ et $D$ quatre points du plan d'affixes respectives $z_{A}, z_{B}, z_{C}$ et $z_{D}$ tels que $A \neq B$ et $C \neq D$.

Les droites $(A B)$ et $(C D)$ sont parallèles si, et seulement si : $\frac{z_{D}-z_{C}}{z_{B}-z_{A}} \in \mathbb{R}$.

خاصية

Soit $A$ et $B$ deux points du plan d'affixes respectives $z_{A}$ et $z_{B}$,

et soit $(\alpha ; \beta) \in \mathbb{R}^{2}$ tel que $\alpha+\beta \neq 0$.

L'affixe du barycentre $G$ du système pondéré $\{(A ; \alpha) ;(B ; \beta)\}$ est le complexe:

$z_{G}=\frac{\alpha z_{A}+\beta z_{8}}{\alpha+\beta}$

image/svg+xml Remarque

- Si $A\left(z_{A}\right)$ et $B\left(z_{B}\right)$, alors l'affixe du milieu $I$ du segment $[A B]$ est le nombre complexe $z_{I}=\frac{z_{A}+z_{B}}{2}$.

En fait ceci n'est rien qu'un cas particulier du barycentre où les poids sont égaux.

- On peut généraliser le résultat de la dernière proposition pour le barycentre de plus de deux points.

Plus précisément : si $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à $2$ et $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ des réels tels que $\alpha_{1}+\alpha_{2}+\ldots+\alpha_{n} \neq 0$, alors le barycentre $G$ du système pondéré $\left\{\left(A_{1} ; \alpha_{1}\right) ;\left(A_{2} ; \alpha_{2}\right) ; \ldots ;\left(A_{n} ; \alpha_{n}\right)\right\}$ a pour affixe :

$ z_{G}=\frac{\alpha_{1} \cdot z_{A_{1}}+\alpha_{2} \cdot z_{A_{2}}+\ldots+\alpha_{n} \cdot z_{A_{n}}}{\alpha_{1}+\alpha_{2}+\ldots+\alpha_{n}} $

مثال

Soit $A, B$ et $C$ les points du plan d'affixes respectives:

$z_{A}=3+3 i \quad$ et $\quad z_{B}=5-2 i\quad $ et $ \quad z_{C}=7+10 i$

- Le milieu du segment $[A B]$ est le point $I$ d'affixe : $z_{I}=\frac{z_{A}+z_{B}}{2}=4+\frac{1}{2} i$

- Le barycentre $H$ du système pondéré $\{(B ;-1) ;(C ; 5)\}$ a pour affixe :

$z_{H}=\frac{-z_{B}+5 z_{C}}{4}=\frac{15}{2}+13 i$.

- Le centre de gravité du triangle $A B C$ est le point $G$ d'affixe :

$z_{G}=\frac{z_{A}+z_{B}+z_{C}}{3}=5+\frac{11}{3} i$.

تطبيق

1. Soit $A, B$ et $C$ les points du plan d'affixes respectives:

$a=3+7 i \quad$ et $\quad b=4+5 i \quad$ et $\quad c=2+i$.

Déterminer l'affixe du point $G$ barycentre du système pondéré $\{(A, 2),(B, 1),(C, 1)\}$ et l'affixe du point $H$ barycentre du système pondéré $\{(A ; 1) ;(B ; 2) ;(C ; 1)\}$.

2. Soit $x$ et $y$ deux nombres réels. Soit les points $A, B, C$ et $G$ du plan complexe d'affixes respectives:

$z_{A}=1+i y \quad, \quad z_{B}=2 i \quad, \quad z_{C}=x-i \quad$ et $\quad z_{G}=1-i$

Déterminer les valeurs des réels $x$ et $y$ pour que le point $G$ soit le barycentre des points pondérés $(A ; 2),(B ;-1) \operatorname{et}(C ; 3)$

3. Soit $A, B, C$ et $D$ les points du plan d'affixes respectives:

$a=2+3 i \quad,\quad b=-5+4 i \quad, \quad c=7-2 i \quad$ et $\quad d=8 i$.

a) Déterminer l'affixe du vecteur : $\vec{u}=2 \overrightarrow{A B}-5 \overrightarrow{C D}$.

b) Déterminer l'affixe du point $G$ centre de gravité du triangle $B C D$.

c) Déterminer l'affixe du point $H$ barycentre des points pondérés $(B ;-4),(G ; 3)$ et $(D ;-5)$.

CONJUGUÉ D'UN NOMBRE COMPLEXE : DÉFINITION ET INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE

تعريف

Soit z $=x+i y$ un nombre complexe avec $(x ; y) \in \mathbb{R}^{2}$.

On appelle conjugué de $z$ le nombre complexe $x-i y$, noté $\bar{z}$, et on écrit:

$\bar{z}=\overline{x+i y}=x-i y$.

On a alors :

$ \bar{z}=\operatorname{Re}(z)-i \operatorname{Im}(z) \quad \text { et } \quad \overline{\bar{z}}=z $

مثال

On considère les nombres complexes :

$ z=1+2 i \quad ; \quad t=-7 i \quad ; \quad u=17+3 \sqrt{2}$

$ v=5-4 i \quad \quad ; \quad \quad w=3+i(5+i) $

Calculons les conjugués de ces nombres :

- On a:

$\bar{z}=\overline{1+2 i}=1-2 i $

$\bar{t}=\overline{-7 i}=7 i $

$\bar{u}=\overline{17+3 \sqrt{2}}=17+3 \sqrt{2} $

$\bar{v}=\overline{5-4 i}=5+4 i$

- On a: $~w=2+5 i,~$ donc : $~\bar{w}=\overline{2+5 i}=2-5 i$

Interprétation géométrique de la conjugaison

Soit $z=x+i y$ un nombre complexe avec $(x ; y) \in \mathbb{R}^{2}$

La symétrie par rapport à l'axe des abscisses transforme le point $M(x ; y)$ en $N(x ;-y)$, d'affixe $A f f(N)=\overline{A f f(M)}$

La symétrie par rapport à l'axe des ordonnées transforme le point $M(x ; y)$ en $Q(-x ; y)$, d'affixe $A f f(Q)=-\overline{A f f(M)}$

PROPRIÉTÉS DU CONJUGUÉ

خاصية

Étant donné $z \in \mathbb{C}$, on a :

$\operatorname{Re}(z)=\frac{1}{2}(z+\bar{z}) \quad \quad$ et $\quad \quad \operatorname{Im}(z)=\frac{1}{2 i}(z-\bar{z}) $

et $\quad z \cdot \bar{z}=(\operatorname{Re}(z))^{2}+(\operatorname{Im}(z))^{2}$

On a donc:

$z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \bar{z}=z \quad$ et $\quad z \in i \mathbb{R} \Leftrightarrow \bar{z}=-z$

image/svg+xml Remarque

- En pratique, pour éliminer les complexes du dénominateur d'une fraction, on le multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.

خاصية

Soit $z$ et $z^{\prime}$ deux nombres complexes. On a alors les propriétés suivantes :

$\bullet ~\overline{z+z^{\prime}}=\bar{z}+\overline{z^{\prime}}\quad $ et $\quad \overline{z \cdot z^{\prime}}=\bar{z} \cdot \overline{z^{\prime}}$.

$\bullet ~$ Pour tout $\lambda \in \mathbb{R}: \overline{\lambda z}=\lambda \bar{z}$.

$\bullet ~$ Si $~ z \neq 0~$ alors: $~\overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=\frac{1}{\bar{z}}$ et $\overline{\left(\frac{z^{\prime}}{z}\right)}=\frac{\overline{z^{\prime}}}{\bar{z}}$.

$\bullet ~$ Si $~z \neq 0~$ et $~n \in \mathbb{Z}~$ alors : $~\overline{z^{n}}=(\bar{z})^{n}$.

Vidéo Conjugué d'un nombre complexe
15 min
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MODULE D'UN NOMBRE COMPLEXE

DÉFINITION ET INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE

تعريف

soit $z=x+i y$ un nombre complexe avec $(x ; y) \in \mathbb{R}^{2}$

Le module de $z$ est le réel positif noté $|z|$ défini par:

$|z|=\sqrt{z . \bar{z}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

On a alors :

$|z|=\sqrt{(\operatorname{Re}(z))^{2}+(\operatorname{Im}(z))^{2}}$

مثال

$|12-5 i|=\sqrt{12^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{169}=13 $

$|3+5 i|=\sqrt{3^{2}+5^{2}}=\sqrt{34} $

$|-2 \sqrt{15}|=2 \sqrt{15} $

$|7|=7 $

$|-\sqrt{6}-\sqrt{2} i|=\sqrt{6+2}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2}$

$|5 i|=\sqrt{5^{2}}=5 $

$|-3 i|=\sqrt{(-3)^{2}}=3 $

Pour tout $\theta \in]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[:$

$|\cos \theta+i \sin \theta|=\sqrt{\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta}=1$

et $~|1+i \tan \theta|=\sqrt{1+\tan ^{2} \theta}=\frac{1}{\cos \theta}$

PROPRIÉTÉS DU MODULE

خاصية

$\bullet~$ La notion de module prolonge celle de la valeur absolue, c'est-à-dire que le module d'un nombre réel est égal à sa valeur absolue.

$\bullet~$ On a pour tout $z \in \mathbb{C}:~~|z|^{2}=z . \bar{z}\quad $ et $\quad |\bar{z}|=|z|$

$\bullet~$ Si $~ z \neq 0~$ alors : $~~\bar{z}=\frac{|z|^{2}}{z}$.

$\bullet~$ Si $~|z|=1~~$ alors $~\bar{z}=\frac{1}{z}$

$\bullet~$ $\left|z \cdot z^{\prime}\right|=|z| \cdot\left|z^{\prime}\right|$

$\bullet~$ $\left|\frac{1}{z^{\prime}}\right|=\frac{1}{\left|z^{\prime}\right|}~~$ où $~z^{\prime} \neq 0$

$\bullet~$ $\left|\frac{z}{z^{\prime}}\right|=\frac{|z|}{\left|z^{\prime}\right|}~~$ où $~z^{\prime} \neq 0$

$\bullet~$ $\left|z^n\right|=|z|^n$

image/svg+xml Remarque

$\bullet ~$$\left|z+z^{\prime}\right| \leq|z|+\left|z^{\prime}\right|$

$\bullet~$ $\left|\sum_{k=0}^n z_k\right| \leq \sum_{k=0}^n\left|z_k\right|$

خاصية

La distance entre deux points $A$ et $B$, d'affixes respectives $a$ et $b$, est:

$A B=\|\overrightarrow{A B}\|=|b-a|$.

L'ARGUMENT D'UN NOMBRE COMPLEXE

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Les nombres complexes
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