GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES NUMÉRIQUES (RAPPEL)

Soit $n_{0}$ un entier naturel. On pose $I=\{n \in \mathbb{N} / n \geq n_{0}\}$ et on considère la suite numérique $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$.

SUITE MAJORÉE - SUITE MINORÉE - SUITE BORNÉE

تعريف

- On dit que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que : $(\forall n \in I) \; ~u_{n} \leq M\\[0.2cm]$ - On dit que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ est minorée s'il existe un réel $m$ tel que: $(\forall n \in I)\; ~u_{n} \geq m.\\[0.2cm]$ - On dit que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

MONOTONIE D'UNE SUITE NUMÉRIQUE

تعريف

- On dit que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ est croissante si :

$\\(\forall n \in I) \quad u_{n+1}-u_{n} \geq 0\\[0.2cm]$

- On dit que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ est décroissante si :

$\\(\forall n \in I) \quad u_{n+1}-u_{n} \leq 0\\[0.2cm]$

- On dit que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ est constante si :

$\\(\forall n \in I) \quad u_{n+1}=u_{n}$.

image/svg+xml Remarque

- Si la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ est croissante, alors: $~(\forall n \in I) \quad u_{n} \geq u_{n_{0}}\\[0.2cm]$ - Si la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ est décroissante, alors: $~(\forall n \in I) \quad u_{n} \leq u_{n_{0}}$.

Vidéo Rappel sur les suites : Récurrence, monotonie et suites bornées 
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SUITE ARITHMÉTIQUE

تعريف

On dit que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ (indépendant de $n$ ) tel que:

$(\forall n \in I) \quad u_{n+1}-u_{n}=r$

Le nombre $r$ est appelé la raison de la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$.

خاصية

Si la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ est une suite arithmétique de raison $r$, alors pour tout $(n ; p) \in I^{2}:\\[0.2cm]$ $u_{n}=u_{p}+(n-p) r \quad ~ \text { et } ~\quad u_{p}+u_{p+1}+\ldots+u_{n}=\frac{n-p+1}{2}\left(u_{p}+u_{n}\right)$

Vidéo Rappel sur les suites : Suites arithmétiques
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SUITE GÉOMÉTRIQUE

تعريف

On dit que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ est géométrique s'il existe un réel $q$ (indépendant de $n$ ) tel que :

$(\forall n \in I) \quad u_{n+1}=q.u_{n}$

Le nombre $q$ est appelé la raison de la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$.

خاصية

Si la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ est une suite géométrique de raison $q \in \mathbb{R}^{*}-\{1\}$, alors pour tout $(n ; p) \in I^{2}$ : $\\[0.2cm]u_{n}=u_{p} \cdot q^{n-p} \quad \text { et } \quad u_{p}+u_{p+1}+\ldots+u_{n}=u_{p} \cdot \frac{1-q^{n-p+1}}{1-q} \quad(n \geq p)$

Vidéo Rappel sur les suites : Suites géométriques
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LIMITE D'UNE SUITE NUMÉRIQUE

SUITE DE LIMITE INFINIE

تعريف

- On dit que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ a pour limite $+\infty$ si tout intervalle $\\$ de type $] A,+\infty[~$, où $~A>0$, contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.$\\[0.2cm]$ On dit alors que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ diverge vers $+\infty$ et on notera: $\lim_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=+\infty~~$ ou $~~\lim u_{n}=+\infty.\\[0.2cm]$ - On dit que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ a pour limite $-\infty$ si tout intervalle $\\$ de type $]-\infty,-A[$, où $~A>0$, contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.$\\[0.2cm]$ On dit alors que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ diverge vers $-\infty$ et on notera: $\lim_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=-\infty~~$ ou $~~\lim u_{n}=-\infty$

image/svg+xml Remarque

- L'étude de la limite d'une suite numérique se fait seulement quand $n$ tend vers $ +\infty\\[0.2cm]$ C'est pour cela l'écriture $\lim u_{n}$ suffit.$\\[0.2cm]$ - Si $k \in \mathbb{R}_{+}^{*}$ alors on a l'implication : $\\ \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=+\infty \Rightarrow \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} k u_{n}=+\infty\\[0.2cm]$ - Une signification intuitive de l'écriture $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=+\infty$ est la suivante $\\$ Chaque fois que l'entier $n$ prend des valeurs grandes, les termes $u_{n}$ prennent des valeurs positives et grandes telles qu'on puisse rendre ces termes plus grands que tout nombre $A$ donné à l'avance, à partir d'un certain rang. $\\[0.2cm]$- Une signification intuitive de l'écriture $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=-\infty$ est la suivante: $\\$ Chaque fois que l'entier $n$ prend des valeurs grandes, les termes $u_{n}$ prennent des valeurs négatives dont les valeurs absolues sont grandes et telles qu'on puisse rendre ces termes plus petits que tout nombre $A$ donné à l'avance, à partir d'un certain rang. $\\[0.2cm]$ - On a les équivalences suivantes : $\\[0.2cm]\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=+\infty \Leftrightarrow \lim\limits_ {n \rightarrow+\infty}\left(-u_{n}\right)=-\infty \\[0.2cm]$ $\lim\limits_ {n \rightarrow+\infty} u_{n}=-\infty \Leftrightarrow \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\left(-u_{n}\right)=+\infty$

LIMITE INFINIE DES SUITES USUELLES

Proposition

Soit $p$ un entier naturel supérieur ou égal à 4 . Alors: $\\$ $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} n=+\infty \quad ; \quad \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} n^{2}=+\infty \quad ; \quad \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} n^{3}=+\infty\\$ $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} n^{p}=+\infty\quad; \quad\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \sqrt{n}=+\infty \quad ; \quad \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \sqrt[3]{n}=+\infty \\$ $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \sqrt[p]{n}=+\infty$

Vidéo Limites des suites de référence
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CONVERGENCE D'UNE SUITE NUMÉRIQUE

تعريف

Étant donné une suite numérique $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ et $\ell \in \mathbb{R}$, on dit que $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ tend vers $\ell$, ou encore converge vers $\ell$, si tout intervalle ouvert centré en $\ell$ contient tous les termes de la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ à partir d'un certain rang. $\\$ On écrit: $~~\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n}=\ell~~$ ou $~~\lim u_{n}=\ell$

تعريف

On dit qu'une suite numérique est convergente si elle admet une limite réelle. $\\$ Dans le cas contraire, on dit qu'elle est divergente.

مثال

Montrons que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq 1}$ définie par $u_{n}=(-1)^{n}$ est divergente :$\\$ Supposons par l'absurde que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq 1}$ converge vers un réel $\ell.\\$ Alors pour tout réel strictement positif $r$, l'intervalle ouvert $\\I=] \ell-r ; \ell+r\left[\right.$ contient tous les termes de la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq 1}$ à partir d'un certain rang.$\\[0.2cm]$ Donc pour $~r=\frac{1}{2},~$ il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \geq N$, on a : $\\[0.2cm]\left.u_{n} \in\right] \ell-\frac{1}{2} ; \ell+\frac{1}{2}[ ~~$; c'est-à-dire : $~~(\forall n \geq N)\left|(-1)^{n}-\ell\right|<\frac{1}{2}.\\[0.2cm]$ - Lorsque $n \geq N$ et $n$ est pair, on obtient $:~|1-\ell|<\frac{1}{2} ;\\$ c'est-à-dire : $~\left.\ell \in\right] \frac{1}{2} ; \frac{3}{2}[\\[0.2cm]$ - Lorsque $n \geq N$ et $n$ est impair, on obtient $:~|-1-\ell|<\frac{1}{2} ;\\$ c'est-à-dire : $~\left.\ell \in\right]-\frac{3}{2} ;-\frac{1}{2}[.\\$ Ceci est absurde car: $ \quad ] \frac{1}{2} ; \frac{3}{2}[\cap]-\frac{3}{2} ;-\frac{1}{2}[=\varnothing$.

image/svg+xml Remarque

- Dire qu'une suite diverge (ou qu'elle est divergente), ne signifie pas qu'elle tend vers l'infinie.Cela signifie exactement que la suite n'a pas de limite ou qu'elle tend vers l'infini.$\\$ - La limite d'une suite numérique, lorsqu'elle existe, est unique.

CONVERGENCE DES SUITES USUELLES

Proposition

$\\$ Soit $k$ un réel et $p$ un entier naturel non nul.$\\$ Alors: $~~\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{k}{n^{p}}=0 \quad$ et $\quad \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{k}{\sqrt{n}}=0\\[0.2cm]$ En particulier: $\\ \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n}=0 \quad ; \quad \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n^{2}}=0 \quad ; \quad \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}=0\\[0.3cm]$

Proposition :

$\\$ Étant donné une suite numérique $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ et $\ell \in \mathbb{R}$, alors on a les équivalences suivantes: $\\[0.2cm]\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=\ell \Leftrightarrow \lim\limits_{n \rightarrow+\infty}\left(u_{n}-\ell\right)=0\\[0.2cm]$ et $~\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=\ell \Leftrightarrow \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\left|u_{n}-\ell\right|=0$

مثال

Soit $\left(u_{n}\right)_{n \geq 1}$ la suite numérique définie par: $~~u_{n}=\frac{3 n^{2}+(-1)^{n}}{n^{2}} .\\$ Montrons que $~~\lim\limits_ {n \rightarrow+\infty} u_{n}=3:\\$ On a pour tout $n \in N^{*}:\\[0.2cm]\left|u_{n}-3\right|=\left|\frac{3 n^{2}+(-1)^{n}}{n^{2}}-3\right|=\left|\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\right|=\frac{1}{n^{2}}\\[0.2cm]$ Comme $~\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n^{2}}=0, ~$ alors $~\lim\limits_{n \rightarrow+\infty}\left|u_{n}-3\right|=0.\\[0.2cm]$ Par suite: $~\lim\limits_ {n \rightarrow+\infty} u_{n}=3$.

OPÉRATIONS SUR LES LIMITES FINIES

Proposition 

$\\$ Soit $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}~$ et $~\left(v_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ deux suites numériques convergentes. Alors: $\\[0.2cm]$- La suite $~\left(u_{n}+v_{n}\right)_{n \geq n_{0}}~$ est convergente et de plus:

$\\ \lim \left(u_{n}+v_{n}\right)=\lim \left(u_{n}\right)+\lim \left(v_{n}\right).\\[0.2cm]$

- Pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$, la suite $~\left(\lambda u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}~$ est convergente et de plus:

$\\ \lim \left(\lambda u_{n}\right)=\lambda \lim \left(u_{n}\right).\\[0.2cm]$

- La suite $~\left(u_{n} v_{n}\right)_{n \geq n_{0}}~$ est convergente et de plus :

$\\ \lim \left(u_{n} v_{n}\right)=\lim \left(u_{n}\right) \times \lim \left(v_{n}\right).\\[0.2cm]$

- Si $~\lim \left(v_{n}\right) \neq 0, ~$ alors la suite $~\left(\frac{u_{n}}{v_{n}}\right)_{n \geq n_{0}}~$ est convergente et de plus:

$\\ \lim \left(\frac{u_{n}}{v_{n}}\right)=\frac{\lim \left(u_{n}\right)}{\lim \left(v_{n}\right)}$

مثال

1) Soit $\left(u_{n}\right)_{n \geq 1}$ la suite numérique définie pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$ par:

$\\ u_{n}=3-\frac{1}{n}+\frac{4}{\sqrt{n}}\\[0.2cm]$

On a : $\\[0.2cm] \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=3-\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n}+\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{4}{\sqrt{n}}=3 \\[0.2cm]$ (car $~~ \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n}=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{4}{\sqrt{n}}=0)\\[0.2cm]$

2) Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie par : $~v_{n}=\frac{2 \sqrt{n}+7}{3 n-2}.\\[0.2cm]$ On a: $~\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} v_{n}=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{n}\left(2+\frac{7}{\sqrt{n}}\right)}{n\left(3-\frac{2}{n}\right)}=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \times \frac{2+\frac{7}{\sqrt{n}}}{3-\frac{2}{n}}\\[0.2cm]$ Puisque $~\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{2}{n}=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{7}{\sqrt{n}}=0,\\[0.2cm]$ alors $~\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} v_{n}=0\\[0.3cm]$ 3) Calculons la limite de la suite $~\left(w_{n}\right)~$ définie par:

$\\w_{n}=\sqrt{4 n^{2}+2 n+1}-2 n.\\[0.2cm]$

On a: $\\ \begin{aligned} \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} w_{n} &=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{4 n^{2}+2 n+1}-2 n\right)\\[0.2cm] &=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{4 n^{2}+2 n+1-4 n^{2}}{\sqrt{4 n^{2}+2 n+1}+2 n}\\[0.2cm] &=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{2 n+1}{\sqrt{4 n^{2}+2 n+1}+2 n}\end{aligned}\\[0.2cm]$ Par conséquent: $\\ \begin{aligned} \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} w_{n}&=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{n\left(2+\frac{1}{n}\right)}{\sqrt{n^{2}\left(4+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)}+2 n}\\[0.2cm] &=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{n\left(2+\frac{1}{n}\right)}{n\left(\sqrt{\left(4+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)}+2\right)} \\[0.2cm] &=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{2+\frac{1}{n}}{\sqrt{\left(4+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)+2}}\end{aligned} \\[0.2cm]$ Puisque $~\lim_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n}=0~~$ et $~~\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n^{2}}=0\\[0.2cm]$ alors: $~~\lim _{n \rightarrow+\infty} w_{n}=\frac{2+0}{\sqrt{4}+2}=\frac{1}{2}$

تطبيق

Calculer la limite de chacune des suites suivantes définies par: $\begin{aligned} u_{n}=\frac{2 \sqrt{n}-7}{7 \sqrt{n}+3} \quad \quad ; \quad \quad &v_{n}=\frac{n^{2}-3 n+4}{n^{2}+5 n+7} \\[0.2cm] w_{n}=\frac{2 n-3}{n^{3}+3 n^{2}+1}\quad \quad ; \quad \quad & x_{n}=\frac{(n+4)\left(-3 n^{2}+1\right)}{5 n^{3}+8 n}\\[0.2cm] a_{n}=\sqrt{n+3}-\sqrt{n+2} \quad \quad ; \quad \quad & b_{n}=\sqrt{9 n^{2}-4 n+5}-3 n+2 \\[0.2cm] c_{n}=(n+1) \sqrt[3]{\frac{1}{n^{5}}}\end{aligned}$

EXTENSION DES OPÉRATIONS SUR LA LIMITE DE SUITE

On admet que les résultats sur les limites des fonctions restent valables pour les limites des suites: $\\$ - Limite de la somme :

$\lim u_{n}$ $\ell$ $\ell$ $\ell$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$
$\lim v_{n}$ $\ell^{\prime}$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$
$\lim (u_{n}+v_{n})$ $\ell+ell^{\prime}$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $FI$

- Limite du produit:

$\lim u_{n}$ $\ell$ $+\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $+\infty \text{ou} -\infty$
$\lim v_{n}$ $\ell^{\prime}$ $\ell^{\prime}>0$ $\ell^{\prime}<0$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $0$
$\lim (u_{n}.v_{n})$ $\ell.ell^{\prime}$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $+\infty$ $FI$

- Limite de l'inverse:

$\lim u_{n}$ $\ell \neq 0$ $+\infty \text{ou} -\infty$ $0$
$\lim \frac{1}{u_{n}}$ $\frac{1}{\ell}$ $0$ $\lim \frac{1}{\left|u_{n}\right|}=+\infty$

LIMITES ET ORDRE

$\operatorname{soit}\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}} \operatorname{et}\left(v_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ deux suites numériques convergentes. Alors: $\\[0.2cm]$ - Si la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ est positive, alors: $~~\lim u_{n} \geq 0\\[0.2cm]$ - Si $u_{n} \leq v_{n}$ pour tout entier $n \geq n_{0}$, alors: $~~\lim u_{n} \leq \lim v_{n}$.

image/svg+xml Remarque

- Une suite strictement positive (à partir d'un certain rang) et convergente peut avoir une limite nulle. Par exemple:$\\$ On a : $~\frac{1}{n}>0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$, mais $~\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n}=0.\\[0.2cm]$ De façon générale, le passage à la limite fait perdre les inégalités strictes.$\\[0.2cm]$ - Si $\left(u_{n}\right)_{n \geq{6}}$ est une suite convergente pour laquelle on souhaite montrer que la limite est strictement positive, alors il suffit de chercher un réel $m>0$ tel que $u_{n} \geq m$ à partir d'un certain rang.

MONOTONIE ET CONVERGENCE

نظرية

- Toute suite croissante majorée est convergente. $\\[0.2cm]$ - Toute suite décroissante minorée est convergente.$\\$ Ce résultat porte le nom de $"$ Théorème de la convergence monotone $"$.

انتباه

  Le théorème ci-dessus assure la convergence de la suite mais ne détermine pas sa limite.

CRITÈRES DE CONVERGENCE LIMITE D'UNE SUITE GÉOMÉTRIQUE

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