Les ensembles de nombres N, Z, Q, D et R

Les  nombres entiers

L'ensemble N

تعريف

 Les nombres entier naturels forment un ensemble appelé ensemble des nombres entiers naturels qu'on note $\mathbb{N} $

L'ensemble $\mathbb{N} $ est formé des nombres $ 0, 1 , 2 , 3.......$

  • On écrit  $\mathbb{N}=\left\{0, 1,2,3........\right\}~$ , on appelle cette écriture une écriture par extension de l'ensemble $\mathbb{N} $
  • Lorsqu'on prive l'ensemble $\mathbb{N} $  de $0$ , on obtient l'ensemble $\mathbb{N^{*}}=\left\{ 1,2,3........\right\}~$

Clairement, $\mathbb{N^{*}} \subset \mathbb{N} $ 

image/svg+xml Remarque

$\mathbb{N} $ n'est pas stable pour la soustraction : par exemple 2-3 = -1 n'est pas dans $\mathbb{N} $.

L'ensemble Z

Les nombres entiers relatifs forment un ensemble appelé ensemble des nombres entiers relatifs et on le note $\mathbb{Z} $

L'ensemble $\mathbb{N} $ est formé des nombres $ ....-3,-2,-1,0, 1 , 2 , 3.......$

  • On écrit  $\mathbb{Z}=\left\{....-3,-2,-1, 0,1,2,3........\right\}~$ , on appelle cette écriture une écriture par extension de l'ensemble $\mathbb{Z} $
  • Lorsqu'on prive l'ensemble $\mathbb{Z} $  de $0$ , on obtient l'ensemble $\mathbb{Z^{*}}=\left\{-3,-2,-1, 1,2,3........\right\}~$, on a $\mathbb{Z^{*}} \subset \mathbb{Z} $ 
  • L'ensemble $\left\{0,1,2,3........\right\}~$  est dit ensemble des entiers positifs , il est donc noté $\mathbb{Z^{+}}$ ou encore $\mathbb{N}$. On a donc $\mathbb{Z^{+}} \subset \mathbb{Z} $ ou encore $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} $ 
  • L'ensemble $\left\{1,2,3........\right\}~$  est dit ensemble des entiers positifs strictement positifs , il est donc noté $\mathbb{Z^{+*}}$ , et on a $\mathbb{Z^{+*}}$ =  $\mathbb{N*}$. 
  • L'ensemble $\left\{0,-1,-2,-3........\right\}~$  est dit ensemble des entiers négatifs , il est donc noté $\mathbb{Z^{-}}$ . On a donc $\mathbb{Z^{-}} \subset \mathbb{Z} $ 
  • L'ensemble $\left\{-1,-2,-3........\right\}~$  est dit ensemble des entiers strictement négatifs , il est donc noté $\mathbb{Z^{-*}}$ . On a donc $\mathbb{Z^{-*}} \subset \mathbb{Z} $ 

image/svg+xml Remarque

Contrairement à l'ensemble $\mathbb{N} $ , $\mathbb{Z} $ est stable pour la soustraction , c'est à dire que pour tous élements a et b de $\mathbb{Z} $ , a-b reste toujours un élément de $\mathbb{Z} $

Les  nombres décimaux

تعريف

Ce sont les nombres qui peuvent s'écrire comme quotient d'un entier relatif par une puissance d'exposant positif de 10 : Un nombre est décimal s'il peut s'écrire $\frac{a}{10^n}$, $a$ appartenant à $\mathbb{Z} $ et $n$ à $\mathbb{N} $.

Exemples : 34,8 (= 348/10) ; -0,65 (= -65/100) ; 2 (= 2/1) sont des nombres décimaux. L'ensemble des nombres décimaux est noté $\mathbb{D} $.

On écrit alors $\mathbb{D} = \left\{ \frac{a}{10^n} / a \in  \mathbb{Z} , n \in \mathbb{N} \right\}~$

انتباه

Certains nombres rationnels ne sont pas des nombres décimaux, par exemple $ 2/3 = 0,6666.....$ n'est pas un nombre décimal.

image/svg+xml Remarque

$ 8 = \frac{8}{1} = \frac{8}{10^0} \in  \mathbb{D} $ 

De même , $ -18 = \frac{-18}{1} = \frac{-18}{10^0} \in  \mathbb{D} $ 

On voit très bien que $ \mathbb{N} \subset  \mathbb{D} $ , tout comme $ \mathbb{Z^{-}} \subset  \mathbb{D} $

 

Les  nombres rationnels

تعريف

Prenons $ \frac{1}{3} = 0,3333....... \notin  \mathbb{D} $.

$ \frac{1}{3} $ est un nombre rationnel. 

Le terme "rationnel" provient du mot latin "ratio" qui veut dire à son tour "fraction".

Chaque nombre rationnel peut s'écrire sous la forme $ \frac{p}{q} $ avec $p$ et $q$ deux entiers ( évidemment $q$ est différent de 0, on préfère en général avoir $p$ élément de $ \mathbb{Z}$ et $q$ élément de $\mathbb{N^{*}}$)

L'ensemble des nombres rationnels est noté $\mathbb{Q}$

انتباه

On a $\mathbb{D} \subset \mathbb{Q} $ mais $\mathbb{Q} \not\subset \mathbb{D}$

image/svg+xml Remarque

  • De même que pour les ensembles vus précédemment , nous avons les notions de $\mathbb{Q^{*}}$ ,   $\mathbb{Q^{+}}$ et $\mathbb{Q^{-}}$
  • $ \frac{1}{3} \in  \mathbb{Q} $ mais $ \frac{1}{3} \notin  \mathbb{D}$. En même temps $ \frac{1}{5} \in  \mathbb{Q} $ et $ \frac{1}{5} \in  \mathbb{D} $
  • Tout nombre rationnel admet une infinité d'écritures sous forme de fraction, toutefois la forme irréductible est la forme privilégiée. Par exemple $ \frac{2}{5} \frac{4}{10} = \frac{8}{20}.....   $ mais la forme privilégiée est la forme irréductible c'est à dire $ \frac{2}{5} $.
  • $ \frac{2}{5}$ est une fraction et $0,4$ est son développement décimal.

Qu'est ce que le développement décimal d'un nombre rationnel?

مثال

$ \frac{1}{3} = 0,3333.... = 0,\bar{3}$

$ \frac{1}{11} = 0,09090909.... = 0,\bar{09}$

$ \frac{4}{13} = 0,30769230769.... = 0,\bar{307692}$

نظرية

Dans le développement décimal de tout nombre rationnel, il y a une suite de chiffres qui se répète indéfiniment. On l'appelle "période" de ce nombre rationnel.

PS : Ce théorème est valable pour les nombres rationnels non décimaux.

Les  nombres réels

تعريف

Certains nombre comme $pi$ ou comme $\sqrt{2}$ ne peuvent pas être écrits sous forme de fraction. Ce sont des nombres dits irrationnels.

Dans l'absolu, les nombres irrationnels et les nombres rationnels forment un plus grand ensemble à eux deux réunis. Cet ensemble est dit l'ensemble des réels, et on le note $\mathbb{R} $.

Voici quelques propriétés : 

  • $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ 
  •  $\mathbb{R^{*}}$ est l'ensemble des réels non nuls.
  •  $\mathbb{R^{+}}$ est l'ensemble des nombres réels positifs.
  •  $\mathbb{R^{-}}$ est l'ensemble des nombres réels négatifs.
  •  $\mathbb{R^{+*}}$ est l'ensemble des nombres réels strictement positifs.
  •  $$ R_{+} \sqcup R_{-} = R $$
  •  $$ R_{+} \cap R_{-} = $${0} 

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