-
-
Maths
Les suites numériques
2ème année bac Sciences Physiques Maths Les suites numériques fiche de cours
GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES NUMÉRIQUES (RAPPEL)
Soit $n_{0}$ un entier naturel. On pose $I=\{n \in \mathbb{N}~ /~ n \geq n_{0}\}$ et on considère la suite numérique $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$.
SUITE MAJORÉE - SUITE MINORÉE - SUITE BORNÉE
تعريف
- On dit que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que : $(\forall n \in I) \; ~u_{n} \leq M\\[0.2cm]$ - On dit que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ est minorée s'il existe un réel $m$ tel que: $(\forall n \in I)\; ~u_{n} \geq m.\\[0.2cm]$ - On dit que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
MONOTONIE D'UNE SUITE NUMÉRIQUE
تعريف
- On dit que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ est croissante si :
$\\(\forall n \in I) \quad u_{n+1}-u_{n} \geq 0\\[0.2cm]$
- On dit que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ est décroissante si :
$\\(\forall n \in I) \quad u_{n+1}-u_{n} \leq 0\\[0.2cm]$
- On dit que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ est constante si :
$\\(\forall n \in I) \quad u_{n+1}=u_{n}$.
Remarque
- Si la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ est croissante, alors: $~(\forall n \in I) \quad u_{n} \geq u_{n_{0}}\\[0.2cm]$ - Si la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ est décroissante, alors: $~(\forall n \in I) \quad u_{n} \leq u_{n_{0}}$.
SUITE ARITHMÉTIQUE
تعريف
On dit que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ (indépendant de $n$ ) tel que:
$(\forall n \in I) \quad u_{n+1}-u_{n}=r$
Le nombre $r$ est appelé la raison de la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$.
خاصية
Si la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ est une suite arithmétique de raison $r$, alors pour tout $(n ; p) \in I^{2}:\\[0.2cm]$ $u_{n}=u_{p}+(n-p) r \quad ~ \text { et } ~\quad u_{p}+u_{p+1}+\ldots+u_{n}=\frac{n-p+1}{2}\left(u_{p}+u_{n}\right)$
SUITE GÉOMÉTRIQUE
تعريف
On dit que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ est géométrique s'il existe un réel $q$ (indépendant de $n$ ) tel que :
$(\forall n \in I) \quad u_{n+1}=q \cdot u_{n}$
Le nombre $q$ est appelé la raison de la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$.
خاصية
Si la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ est une suite géométrique de raison $q \in \mathbb{R}^{*}\backslash \{1\}$, alors pour tout $(n ; p) \in I^{2}$ : $\\[0.2cm]u_{n}=u_{p} \cdot q^{n-p} \quad \text { et } \quad u_{p}+u_{p+1}+\ldots+u_{n}=u_{p} \cdot \frac{1-q^{n-p+1}}{1-q} \quad(n \geq p)$
LIMITE D'UNE SUITE NUMÉRIQUE
SUITE DE LIMITE INFINIE
تعريف
- On dit que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ a pour limite $+\infty$ si tout intervalle $\\$ de type $] A,+\infty[~$, où $~A>0$, contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.$\\[0.2cm]$ On dit alors que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ diverge vers $+\infty$ et on notera:
$\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=+\infty~~$ ou $~~\lim u_{n}=+\infty.\\$
- On dit que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ a pour limite $-\infty$ si tout intervalle $\\$ de type $]-\infty,-A[$, où $~A>0$, contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.$\\[0.2cm]$ On dit alors que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ diverge vers $-\infty$ et on notera:
$\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=-\infty~~$ ou $~~\lim u_{n}=-\infty$
Remarque
- L'étude de la limite d'une suite numérique se fait seulement quand $n$ tend vers $ +\infty$. C'est pour cela l'écriture $\lim u_{n}$ suffit.$\\[0.2cm]$ - Si $k \in \mathbb{R}_{+}^{*}$ alors on a l'implication :
$\\ \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=+\infty \Rightarrow \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} k u_{n}=+\infty\\[0.2cm]$
- Une signification intuitive de l'écriture $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=+\infty$ est la suivante : $\\$ Chaque fois que l'entier $n$ prend des valeurs grandes, les termes $u_{n}$ prennent des valeurs positives et grandes telles qu'on puisse rendre ces termes plus grands que tout nombre $A$ donné à l'avance, à partir d'un certain rang. $\\[0.2cm]$- Une signification intuitive de l'écriture $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=-\infty$ est la suivante: $\\$ Chaque fois que l'entier $n$ prend des valeurs grandes, les termes $u_{n}$ prennent des valeurs négatives dont les valeurs absolues sont grandes et telles qu'on puisse rendre ces termes plus petits que tout nombre $A$ donné à l'avance, à partir d'un certain rang. $\\[0.2cm]$ - On a les équivalences suivantes : $\\[0.2cm]\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=+\infty \Leftrightarrow \lim\limits_ {n \rightarrow+\infty}\left(-u_{n}\right)=-\infty \\[0.2cm]$ $\lim\limits_ {n \rightarrow+\infty} u_{n}=-\infty \Leftrightarrow \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\left(-u_{n}\right)=+\infty$
LIMITE INFINIE DES SUITES USUELLES
خاصية
Soit $p$ un entier naturel supérieur ou égal à 4 . Alors: $\\$
$\bullet$ $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} n=+\infty ;$
$\bullet$ $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} n^{2}=+\infty ;$
$\bullet$ $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} n^{3}=+\infty ;$
$\bullet$ $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} n^{p}=+\infty ;$
$\bullet$ $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \sqrt{n}=+\infty ;$
$\bullet$ $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \sqrt[3]{n}=+\infty ;$
$\bullet$ $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \sqrt[p]{n}=+\infty ;$
CONVERGENCE D'UNE SUITE NUMÉRIQUE
تعريف
Étant donné une suite numérique $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ et $\ell \in \mathbb{R}$, on dit que $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ tend vers $\ell$, ou encore converge vers $\ell$, si tout intervalle ouvert centré en $\ell$ contient tous les termes de la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ à partir d'un certain rang. $\\$ On écrit: $~~\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n}=\ell~~$ ou $~~\lim u_{n}=\ell$
تعريف
On dit qu'une suite numérique est convergente si elle admet une limite réelle. $\\$ Dans le cas contraire, on dit qu'elle est divergente.
مثال
Montrons que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq 1}$ définie par $u_{n}=(-1)^{n}$ est divergente :$\\$
Supposons par l'absurde que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq 1}$ converge vers un réel $\ell.\\$ Alors pour tout réel strictement positif $r$, l'intervalle ouvert $\\I=] \ell-r ; \ell+r\left[\right.$ contient tous les termes de la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq 1}$ à partir d'un certain rang.$\\[0.2cm]$ Donc pour $~r=\frac{1}{2},~$ il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \geq N$, on a : $\\[0.2cm]\left.u_{n} \in\right] \ell-\frac{1}{2} ; \ell+\frac{1}{2}[ ~~$; c'est-à-dire : $~~(\forall n \geq N)\left|(-1)^{n}-\ell\right|<\frac{1}{2}.\\[0.2cm]$ - Lorsque $n \geq N$ et $n$ est pair, on obtient $:~|1-\ell|<\frac{1}{2} ;\\$ c'est-à-dire : $~\left.\ell \in\right] \frac{1}{2} ; \frac{3}{2}[\\[0.2cm]$ - Lorsque $n \geq N$ et $n$ est impair, on obtient $:~|-1-\ell|<\frac{1}{2} ;\\$ c'est-à-dire : $~\left.\ell \in\right]-\frac{3}{2} ;-\frac{1}{2}[.\\$ Ceci est absurde car: $ \quad ] \frac{1}{2} ; \frac{3}{2}[\cap]-\frac{3}{2} ;-\frac{1}{2}[=\varnothing$.
Remarque
- Dire qu'une suite diverge (ou qu'elle est divergente), ne signifie pas qu'elle tend vers l'infinie.Cela signifie exactement que la suite n'a pas de limite ou qu'elle tend vers l'infini.$\\$ - La limite d'une suite numérique, lorsqu'elle existe, est unique.
CONVERGENCE DES SUITES USUELLES
خاصية
Soit $k$ un réel et $p$ un entier naturel non nul.$\\$ Alors:
$\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{k}{n^{p}}=0 \quad$ et $\quad \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{k}{\sqrt{n}}=0\\$
En particulier :
$\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n}=0 \quad ; \quad \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n^{2}}=0 \quad ; \quad \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}=0$
خاصية
Étant donné une suite numérique $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ et $\ell \in \mathbb{R}$, alors on a les équivalences suivantes:
$\\ \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=\ell \Leftrightarrow \lim\limits_{n \rightarrow+\infty}\left(u_{n}-\ell\right)=0\\$
et $~\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=\ell \Leftrightarrow \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\left|u_{n}-\ell\right|=0$
مثال
Soit $\left(u_{n}\right)_{n \geq 1}$ la suite numérique définie par: $~~u_{n}=\frac{3 n^{2}+(-1)^{n}}{n^{2}} .\\$
Montrons que $~~\lim\limits_ {n \rightarrow+\infty} u_{n}=3:\\$
On a pour tout $n \in N^{*}:\\[0.2cm]\left|u_{n}-3\right|=\left|\frac{3 n^{2}+(-1)^{n}}{n^{2}}-3\right|=\left|\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\right|=\frac{1}{n^{2}}\\[0.2cm]$ Comme $~\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n^{2}}=0, ~$ alors $~\lim\limits_{n \rightarrow+\infty}\left|u_{n}-3\right|=0.\\[0.2cm]$ Par suite: $~\lim\limits_ {n \rightarrow+\infty} u_{n}=3$.
OPÉRATIONS SUR LES LIMITES FINIES
خاصية
Soit $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}~$ et $~\left(v_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ deux suites numériques convergentes. Alors: $\\[0.2cm]$- La suite $~\left(u_{n}+v_{n}\right)_{n \geq n_{0}}~$ est convergente et de plus:
$\\ \lim \left(u_{n}+v_{n}\right)=\lim \left(u_{n}\right)+\lim \left(v_{n}\right).\\[0.2cm]$
- Pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$, la suite $~\left(\lambda u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}~$ est convergente et de plus:
$\\ \lim \left(\lambda u_{n}\right)=\lambda \lim \left(u_{n}\right).\\[0.2cm]$
- La suite $~\left(u_{n} v_{n}\right)_{n \geq n_{0}}~$ est convergente et de plus :
$\\ \lim \left(u_{n} v_{n}\right)=\lim \left(u_{n}\right) \times \lim \left(v_{n}\right).\\[0.2cm]$
- Si $~\lim \left(v_{n}\right) \neq 0, ~$ alors la suite $~\left(\frac{u_{n}}{v_{n}}\right)_{n \geq n_{0}}~$ est convergente et de plus:
$\\ \lim \left(\frac{u_{n}}{v_{n}}\right)=\frac{\lim \left(u_{n}\right)}{\lim \left(v_{n}\right)}$
مثال
1) Soit $\left(u_{n}\right)_{n \geq 1}$ la suite numérique définie pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$ par:
$\\ u_{n}=3-\frac{1}{n}+\frac{4}{\sqrt{n}}\\[0.2cm]$
On a : $\\[0.2cm] \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=3-\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n}+\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{4}{\sqrt{n}}=3 \\[0.2cm]$ (car $~~ \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n}=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{4}{\sqrt{n}}=0)\\[0.3cm]$
2) Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie par : $~v_{n}=\frac{2 \sqrt{n}+7}{3 n-2}.\\[0.2cm]$ On a: $~\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} v_{n}=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{n}\left(2+\frac{7}{\sqrt{n}}\right)}{n\left(3-\frac{2}{n}\right)}=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \times \frac{2+\frac{7}{\sqrt{n}}}{3-\frac{2}{n}}\\[0.2cm]$ Puisque $~\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{2}{n}=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{7}{\sqrt{n}}=0,\\[0.2cm]$ alors $~\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} v_{n}=0\\[0.3cm]$
3) Calculons la limite de la suite $~\left(w_{n}\right)~$ définie par:
$\\w_{n}=\sqrt{4 n^{2}+2 n+1}-2 n.\\[0.2cm]$
On a: $\\ \begin{aligned} \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} w_{n} &=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{4 n^{2}+2 n+1}-2 n\right)\\[0.2cm] &=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{4 n^{2}+2 n+1-4 n^{2}}{\sqrt{4 n^{2}+2 n+1}+2 n}\\[0.2cm] &=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{2 n+1}{\sqrt{4 n^{2}+2 n+1}+2 n}\end{aligned}\\[0.2cm]$ Par conséquent: $\\ \begin{aligned} \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} w_{n}&=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{n\left(2+\frac{1}{n}\right)}{\sqrt{n^{2}\left(4+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)}+2 n}\\[0.2cm] &=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{n\left(2+\frac{1}{n}\right)}{n\left(\sqrt{\left(4+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)}+2\right)} \\[0.2cm] &=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{2+\frac{1}{n}}{\sqrt{\left(4+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)+2}}\end{aligned} \\[0.2cm]$ Puisque $~\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n}=0~~$ et $~~\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n^{2}}=0\\[0.2cm]$ alors: $~~\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} w_{n}=\frac{2+0}{\sqrt{4}+2}=\frac{1}{2}$
تطبيق
Calculer la limite de chacune des suites suivantes définies par: $\begin{aligned} u_{n}=\frac{2 \sqrt{n}-7}{7 \sqrt{n}+3} \quad \quad ; \quad \quad &v_{n}=\frac{n^{2}-3 n+4}{n^{2}+5 n+7} \\[0.3cm] w_{n}=\frac{2 n-3}{n^{3}+3 n^{2}+1}\quad \quad ; \quad \quad & x_{n}=\frac{(n+4)\left(-3 n^{2}+1\right)}{5 n^{3}+8 n}\\[0.3cm] a_{n}=\sqrt{n+3}-\sqrt{n+2} \quad \quad ; \quad \quad & b_{n}=\sqrt{9 n^{2}-4 n+5}-3 n+2 \\[0.3cm] c_{n}=(n+1) \sqrt[3]{\frac{1}{n^{5}}}\end{aligned}$
EXTENSION DES OPÉRATIONS SUR LA LIMITE D'UNE SUITE
On admet que les résultats sur les limites des fonctions restent valables pour les limites des suites: $\\$ - Limite de la somme :
| $\lim u_{n}$ | $\ell$ | $\ell$ | $\ell$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ |
| $\lim v_{n}$ | $\ell^{\prime}$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ |
| $\lim (u_{n}+v_{n})$ | $\ell+\ell^{\prime}$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $F.I$ |
Limite du produit :
| $\lim u_{n}$ | $\ell$ | $+\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $+\infty ~\text{ou} \\ ~-\infty$ |
| $\lim v_{n}$ | $\ell^{\prime}$ | $\ell^{\prime}>0$ | $\ell^{\prime}<0$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $0$ |
| $\lim (u_{n}.v_{n})$ | $\ell.\ell^{\prime}$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $+\infty$ | $F.I$ |
Limite de l'inverse:
| $\lim u_{n}$ | $\ell \neq 0$ | $+\infty ~\text{ou}~ -\infty$ | $0$ |
| $\lim \frac{1}{u_{n}}$ | $\frac{1}{\ell}$ | $0$ | $\lim \frac{1}{\left|u_{n}\right|}=+\infty$ |
LIMITES ET ORDRE
Soit $~\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}} \operatorname{et}\left(v_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ deux suites numériques convergentes. Alors: $\\[0.2cm]$ - Si la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ est positive, alors: $~~\lim u_{n} \geq 0\\[0.2cm]$ - Si $u_{n} \leq v_{n}$ pour tout entier $n \geq n_{0}$, alors: $~~\lim u_{n} \leq \lim v_{n}$.
Remarque
- Une suite strictement positive (à partir d'un certain rang) et convergente peut avoir une limite nulle. Par exemple:$\\$ On a : $~\frac{1}{n}>0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$, mais $~\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n}=0.\\[0.2cm]$ De façon générale, le passage à la limite fait perdre les inégalités strictes.$\\[0.2cm]$ - Si $\left(u_{n}\right)_{n \geq{6}}$ est une suite convergente pour laquelle on souhaite montrer que la limite est strictement positive, alors il suffit de chercher un réel $m>0$ tel que $u_{n} \geq m$ à partir d'un certain rang.
MONOTONIE ET CONVERGENCE
نظرية
- Toute suite croissante majorée est convergente. $\\[0.2cm]$ - Toute suite décroissante minorée est convergente.$\\$ Ce résultat porte le nom de $"$ Théorème de la convergence monotone $"$.
CRITÈRES DE CONVERGENCE DE LA LIMITE D'UNE SUITE GÉOMÉTRIQUE
لمواصلة هذا الملخص، قم بالتسجيل بالمجان في كيزاكو
- ملخصات الدروس غير محدودة
- فيديو مجاني في كل درس
- تمرين مصحح مجاني
- اختبار تفاعلي
Signaler une erreur