L’étude des fonctions numériques est importante dans tous les domaines des mathématiques pures et appliquées, y compris les mathématiques appliquées à l'économie, à la finance et aux affaires. Par exemple, le langage de l'analyse économique regorge de termes tels que les fonctions d'offre et de demande, les fonctions de coût, les fonctions de production et les fonctions de consommation.

Donc, dans ce chapitre, nous allons introduire quelques concepts majeurs tels que les asymptotes, les branches paraboliques, la convexité et l'axe de symétrie, qui nous sont utiles pour étudier le comportement de n'importe quelle fonction.

Asymptotes

Asymptote verticale

تعريف

$$\begin{aligned}&\text { Soit } a \in \mathbb{R} \text { , lorsque } \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\pm \infty \text { ou } \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=\pm \infty \text { .La droite d'équation }\\&x=a \text { est asymptote verticale à }\left(\mathcal{C}_{f}\right) \text { . }\end{aligned}$$

مثال

Soit la fonction définie par :

$$f(x)=\frac{2 x-3}{x-5}$$

Déterminons $\lim _{x \rightarrow 5^{+}} f(x)$ et $\lim _{x \rightarrow 5^{-}} f(x)$ et interprétons géométriquement les résultats.

- $\lim _{x \rightarrow 5^{+}} x-5=0^{+}$ et $\lim _{x \rightarrow 5^{-}} x-5=0^{-}$

$\lim _{x \rightarrow 5} 2 x-3=5$

- Alors $\lim _{x \rightarrow 5^{+}} \frac{2 x-3}{x-5}=+\infty$ et $\lim _{x \rightarrow 5^{-}} \frac{2 x-3}{x-5}=-\infty$

- Donc la droite d'équation $x=5$ est asymptote à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$.

Asymptote horizontale

تعريف

Soit $l \in \mathbb{R}$, lorsque $\lim _{x \rightarrow \pm \infty} f(x)=l$.La droite d'équation $y=l$ est asymptote horizontale à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au voisinage de $+\infty$ ou de $-\infty$.

مثال

Soit la fonction définie par:

$$f(x)=\frac{2 x-3}{x-5}$$

Déterminons $\lim _{x \rightarrow \pm \infty} f(x)$ ou $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)$ et interprétons géométriquement les résultats.

$\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=2$ et $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=2$

- Donc la droite $y=2$ est asymptote horizontale à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$.

Asymptote oblique

تعريف

$$\begin{aligned}&\text { Si } \lim _{x \rightarrow \pm \infty}(f(x)-(a x+b))=0 \text { tels que } a \in \mathbb{R}^{*} \text { et } b \in \mathbb{R} \text { .Alors la droite }\\&\text { d'équation } y=a x+b \text { est asymptote à }\left(\mathcal{C}_{f}\right) \text { au voisinage de }+\infty \text { ou }-\infty \text { . }\end{aligned}$$

مثال

Soit la fonction :

$$f(x)=\frac{-x^{2}+3 x+1}{x+1}$$

On a :

$$\begin{aligned}f(x)-(-x+4)=\frac{-x^{2}+3 x+1}{x+1}-(-x+4) \\&=\frac{-x^{2}+3 x+1-(-x+4)(x+1)}{x+1} \\&=\frac{-x^{2}+3 x+1-\left(-x^{2}-x+4 x+4\right)}{x+1} \\&=\frac{-x^{2}+3 x+1+x^{2}-3 x-4}{x+1}=-\frac{3}{x+1}\end{aligned}$$

Et on a $\lim _{x \rightarrow \pm \infty}-\frac{3}{x+1}=0 .$ Donc, $\Delta: y=-x+4$ est asymptote à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$.

حيلة

Soit $\Delta$ la droite d'équation $y=a x+b .(\Delta)$ est asymptote à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ si et

seulement si elle existe une fonction $h$ tel que : $f(x)=a x+b+h(x)$ et $\lim _{x \rightarrow \pm \infty} h(x)=0$

مثال

Soit la fonction définie sur $\mathbb{R}^{*}$ par :

$$f(x)=x-1+\frac{1}{x}$$

On a $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x}=0$ donc la droite d'équation $y=x-1$ est asymptote à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au voisinage de $+\infty$.

On a $\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{1}{x}=0$ donc la droite d'équation $y=x-1$ est asymptote à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au voisinage de $-\infty$.

خاصية

La droite d'équation $y=a x+b$ est asymptote à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ si et seulement si :

- $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=a$ et $\lim _{x \rightarrow+\infty}(f(x)-a x)=b$

- Ou $\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{x}=a$ et $\lim _{x \rightarrow-\infty}(f(x)-a x)=b$

حيلة

Pour étudier la position de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ par rapport à son asymptote il suffit d'étudier le signe de $f(x)-(a x+b)$

مثال

Si on prend l'exemple précédent :

$$f(x)=\frac{-x^{2}+3 x+1}{x+1}$$

$f(x)-(-x+4)=-\frac{3}{x+1}$

- Si $x>-1: \quad x+1>0 \Rightarrow f(x)-(-x+4)<0$

Alors $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au-dessous de la droite $(D): y=-x+4$

- Si $x<-1:$ $x+1<0 \Rightarrow f(x)-(-x+4)>0$

Alors $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au-dessus de la droite $(D): y=-x+4$

Branches paraboliques

Branches paraboliques de direction (OX)

تعريف

1. Si $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\pm \infty$ et $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=0$ (ou $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\pm \infty$ et $\left.\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{x}=0\right)$ on dit que $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ présente une branche parabolique de direction asymptotique (OX).

$$\begin{aligned}&\text { 2. Si } \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\pm \infty \text { et } \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=\pm \infty \text { (ou } \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\pm \infty \text { et }\\&\left.\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{x}=\pm \infty\right) \text { on dit que }\left(\mathcal{C}_{f}\right) \text { présente une branche parabolique de }\\&\text { direction asymptotique (OY). }\end{aligned}$$


3. Si $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\pm \infty$ et $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=a \neq 0$ et $\lim _{x \rightarrow+\infty}(f(x)-a x)=b$ (ou $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\pm \infty$ et $\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{x}=a \neq 0$ et $\left.\lim _{x \rightarrow-\infty}(f(x)-a x)=b\right)$ on dit que la droite $(\Delta)$ d'équation $y=a x+b$ est une asymptote à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au voisinage de $+\infty$ (ou au voisinage de $-\infty)$.

4. Si $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\pm \infty$ et $\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{f(x)}{x}=a \neq 0$ et $\lim _{x \rightarrow+\infty}(f(x)-a x)=\pm \infty$

(ou $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\pm \infty$ et $\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{x}=a \neq 0$ et $\left.\lim _{x \rightarrow-\infty}(f(x)-a x)=\pm \infty\right)$

on dit que $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ admet une branche parabolique de direction la droite (\Delta) d'équation $y=a x$.

مثال

1. $f(x)=\sqrt{x}$ :

$\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x}=+\infty$ et $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x}}{x}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}}=0$

Donc $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ admet une branche parabolique de direction asymptotique $(O X)$ au voisinage de $+\infty$.

2. $f(x)=x^{2}$

$\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{2}=+\infty$

Et $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow+\infty} x=+\infty$

Donc $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ admet une branche parabolique de direction asymptote (OY) au voisinage de $+\infty$

3. $f(x)=x-\sqrt{x}$

On a $D_{f}=\mathbb{R}^{+}$ et $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)=+\infty$

Et $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x-\sqrt{x}}{x}=\lim _{x \rightarrow+\infty} 1-\frac{1}{\sqrt{x}}=1$

Or $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)-x=\lim _{x \rightarrow+\infty}-\sqrt{x}=-\infty$

Donc $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ admet une branche parabolique de direction la droite d'équation $y=x$

Convexité – Point d’inflexion

Notion de convexité , de concavité

تعريف

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ sa courbe représentative.

- On dit que $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ est convexe sur $I$ s'il est entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes.

- On dit que $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ est concave sur $I$ s'il est entièrement au-dessous
de chacune de ses tangentes.

مثال

- La courbe de la fonction $$x \longmapsto x^{2}$$ est convexe sur $$\mathbb{R}$$

$$\ \text { -La fonction } x \mapsto \sqrt{x} \text { est concave sur } \mathbb{R}^{*} \text { . }$$

La courbe de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ est concave sur ] $-\infty, 0$ [ et convexe sur ] $0,+\infty[$.

Point d’inflexion

تعريف

Si $f$ est dérivable en $a$ et $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ traverse sa tangente en $A(a, f(a))$ alors le point A est un point d'inflexion.

مثال

$$\text { La fonction } x \mapsto x^{3} \text { admet un point d'inflexion en } O(0,0) \text { . }$$

image/svg+xml Remarque

$$\text { Au point } \mathrm{A},\left(\mathcal{C}_{f}\right) \text { passe de convexe à concave ou de concave à convexe. }$$

Dérivé seconde et convexité

تعريف

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I .$

Si $f^{\prime}$ est elle aussi dérivable on dit que $f$ est deux fois dérivable et on note $f^{\prime \prime}$ sa dérivée seconde.

مثال

Soit :

$$f(x)=\frac{1}{2} x^{4}-x^{2}+\frac{3}{2}$$

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f^{\prime}(x)=\frac{1}{2} \times 4 x^{3}-2 x=2 x^{3}-2 x$

$f^{\prime}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f^{\prime \prime}(x)=3 \times 2 x^{2}-2=6 x^{2}-2$

نظرية

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$.

- $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f^{\prime \prime}$ est positive sur $I$.

- $f$ est concave sur $I$ si et seulement si $f^{\prime \prime}$ est négative sur $I$.

- $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ admet un point d'inflexion en $A(a, f(a))$ si $f^{\prime \prime}$ s'annule en $a$ en changeant de signe.

انتباه

Ces conditions sont suffisantes mails il faut noter qu’on peut avoir une courbe convexe, concave ou un point d’inflexion sans l’existence de la dérivée seconde.

مثال

Soit :

$$f(x)=\frac{1}{2} x^{4}-x^{2}+\frac{3}{2}$$

On a calculé $f^{\prime \prime}: f^{\prime \prime}(x)=6 x^{2}-2$

$$\begin{aligned}f^{\prime \prime}(x)=0 & \Rightarrow 6 x^{2}-2=0 \\& \Rightarrow x^{2}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \\& \Rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\end{aligned}$$

$$A\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{11}{9}\right) \text { et } B\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{11}{9}\right) \text { sont des points d'inflexion. }$$

Axe et centre de symétrie

Axe de symétrie

خاصية

$$\begin{aligned}&\text { La droite d'équation } x=a \text { est axe de symétrie de }\left(\mathcal{C}_{f}\right) \text { si et seulement si : }\\&\forall x \in D_{f}(2 a-x) \in D_{f} \text { et } f(2 a-x)=f(x)\end{aligned}$$

مثال

Soit :

$f(x)=3 x^{2}-2 x-2$

Montrons que la droite d'équation $x=\frac{1}{3}$ est un axe de symétrie de $\left(c_{f}\right)$.

a- $\forall x \in D_{f}=\mathbb{R}: \frac{2}{3}-x \in \mathbb{R}$.

b- $f\left(\frac{2}{3}-x\right)=3\left(\frac{2}{3}-x\right)^{2}-2\left(\frac{2}{3}-x\right)-2=3\left(\frac{4}{9}-\frac{4}{3} x+x^{2}\right)-\frac{4}{3}+2 x-2=$

$\frac{4}{3}-4 x+3 x^{2}-\frac{4}{3}+2 x-2=3 x^{2}-2 x-2=f(x)$

Donc la droite d'équation $x=\frac{1}{3}$ est un axe de symétrie de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$.

image/svg+xml Remarque

Dans le cas où $a=0$, on retrouve la propriété du graphique d'une fonction paire et donc l'axe des ordonnées est l'axe de symétrie.

Centre de symétrie

خاصية

$$\begin{aligned}&\text { Le point } \alpha(a, b) \text { est un centre de symétrie de }\left(\mathcal{C}_{f}\right) \text { si et seulement si : }\\&\forall x \in D_{f}:(2 a-x) \in D_{f} \text { et } f(2 a-x)=2 b-f(x)\end{aligned}$$

مثال

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par:

$$f(x)=\sin x-\cos x$$

Montrons que le point $\alpha\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)$ est un centre de symétrie de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$.

a- Si $x \in \mathbb{R}$ alors $\frac{\pi}{2}-x \in \mathbb{R}$.

b- $f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x-\sin x$

Alors: $\forall x \in \mathbb{R}: f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=2 \times 0-f(x)$

Donc le point $\alpha\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)$ est un centre de symétrie de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$.

ما يجب معرفته

- Soit $a \in \mathbb{R}$, lorsque $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\pm \infty$ ou $\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=\pm \infty$.La droite d'équation $x=a$ est asymptote verticale à $\left(C_{f}\right)$.

- Soit $l \in \mathbb{R}$,lorsque $\lim _{x \rightarrow \pm \infty} f(x)=l$. La droite d'équation $y=l$ est asymptote horizontale à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au voisinage de $+\infty$ ou de $-\infty$.

- Si $\lim _{x \rightarrow \pm \infty}(f(x)-(a x+b))=0$ tels que $a \in \mathbb{R}^{*}$ et $b \in \mathbb{R}$.Alors la droite d'équation $y=a x+b$ est asymptote oblique à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au voisinage de $+\infty$ ou $-\infty$.

- Soit $\Delta$ la droite d'équation $y=a x+b \cdot(\Delta)$ est asymptote à $\left(C_{f}\right)$ si et seulement si elle existe une fonction $h$ tel que : $f(x)=a x+b+h(x)$ et $\lim _{x \rightarrow \pm \infty} h(x)=0$

- On dit que $\left(C_{f}\right)$ est convexe sur $I$ s'il est entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes. Et On dit que $\left(C_{f}\right)$ est concave sur $I$ s'il est entièrement au-dessous de chacune de ses tangentes.

- Si $f$ est dérivable en $a$ et $\left(C_{f}\right)$ traverse sa tangente en $A(a, f(a))$ alors le point A est un point d'inflexion.

- $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f^{\prime \prime}$ est positive sur $I .$

- $f$ est concave sur $I$ si et seulement si $f^{\prime \prime}$ est négative sur $I$.

- $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ admet un point d'inflexion en $A(a, f(a))$ si $f^{\prime \prime}$ s'annule en $a$ en changeant de signe.

- La droite d'équation $x=a$ est axe de symétrie de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ si et seulement si :

$$\forall x \in D_{f}(2 a-x) \in D_{f} \text { et } f(2 a-x)=f(x)$$

- Le point $\alpha(a, b)$ est un centre de symétrie de $\left(C_{f}\right)$ si et seulement si : $\forall x \in D_{f}:(2 a-x) \epsilon D_{f}$ et $f(2 a-x)=2 b-f(x)$

Conclusion :

En analyse l’étude des fonctions numériques est un thème central dans le programme de première année et deuxième année baccalauréat .Pour ce chapitre , vous êtes maintenant capable de tracer la courbe d’une fonction et analyser soit par le calcul soit graphiquement le comportement d’une fonction au voisinage d’un point ou à l’infini .

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