Pour un mathématicien, une suite est un objet mathématique bien plus général que ce qu’on pourrait penser au premier abord. Pour en construire une, il suffit de prendre un certain nombre d’entités mathématiques et de les mettre dans un certain ordre : tel objet est le premier, tel autre le second, etc. Pour créer une suite, on prend des objets mathématiques appartenant à un ensemble et on leur attribue à chacun un numéro (un entier naturel) :les éléments de la suite sont appelés les termes ;quand aux numéros, ils sont appelés indices ou rangs. Ces numéros sont consécutifs, ce qui permet de mettre les entités dans l’ordre voulu. Ainsi, le n ième élément de la suite est le terme de rang n : nous le noterons un alors que la suite en elle-même sera notée un

GENERALITES SUR LES SUITES :

تعريف

$I$ est une partie de $\mathbb{N}$. Toute application $u$ de $I$ vers $\mathbb{R}$ s'appelle suite numérique. $\\[0.2cm]$ Donc : $$\begin{array}{l} \boldsymbol{u}: \boldsymbol{I} \rightarrow \mathbb{R} \\[0.2cm] \boldsymbol{n} \mapsto \boldsymbol{u}(\boldsymbol{n})\end{array}\\[0.2cm]$$ on note simplement la suite par $\left(u_{n}\right)_{n \in I}$.

Vocabulaire

  • $\boldsymbol{U}_{\boldsymbol{n}}$ s'appelle le terme général de la suite . $\\$
  • $\boldsymbol{U}_{n_{0}}$ s'appelle le premier terme de la suite avec $\boldsymbol{n}_{\mathbf{0}}$ est le plus petit élément de $I \\$
  • Le nombre $\boldsymbol{U}_{n_{0}}+\boldsymbol{U}_{n_{0}+\mathbf{1}}+\cdots \boldsymbol{U}_{\boldsymbol{n}}\\$ s'appelle la somme des $\left(\boldsymbol{n}-\boldsymbol{n}_{\mathbf{0}}+\mathbf{1}\right)$ premiers termes de la suite. $\\[0.2cm]$

Remarque :  Une suite numérique peut être définie de deux manières différentes:

Suite définie par : une expression explicite $\\[0.2cm]$

Dans laquelle le terme $u_{n}$ de la suite $\left(u_{n}\right)_{n}$ est définie en fonction de $n$ $$\\[0.2cm]u_{n}=\frac{n^{2}+1}{2 n+1} ; \quad v_{n}=\sqrt{n^{2}+1} ; \quad w_{n}=\frac{\sin (n)}{n+1}\\[0.2cm]$$

Une suite définie par :une expression récurrente $\\[0.2cm]$

Ces suites s'appelle des suites récurrentes, elle sont définies par le (ou les) premier (s) terme (s) et une relation entre deux ou plusieurs termes consécutifs.

Suites récurrente du premier ordre

$$\left\{\begin{array} { c }  { u _ { 0 } = 2 } \\ { u _ { n + 1 } = 2 u _ { n } + 3 } \end{array} \left\{\begin{array}{l} v_{0}=1 \\ v_{n+1}=\frac{v_{n}+3}{2 v_{n}+1}\left\{\begin{array}{c} w_{0}=-4 \\ w_{n+1}=\sqrt{2 w_{n}{ }^{2}+3} \end{array}\right. \end{array}\right.\right.$$

Suites numériques du second ordre.

$$\left\{\begin{array} { r } { u _ { n + 2 } = 2 ; u _ { 1 } = - 1 } \\ { u _ { n + 1 } + 3 u _ { n } } \end{array} \left\{\begin{array}{r} v_{0}=-2, v_{1}=\frac{-1}{2} \\ u_{n+2}=\frac{u_{n+1}}{u_{n}+2} \end{array}\right.\right.$$

انتباه

II faut bien écrire les indices : $u_{n+1}$ n'est pas $u_{n}+1$

Suite majorée– suite minorée – suite bornée

تعريف

$\left(U_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ est une suite numérique, $M$ et $m$ de $\mathbb{R}.\\$  

  • $\left(U_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ est une suite majorée par $\mathrm{M}$ équivaut à $\\[0.2cm]$
  • $\forall n \geq n_{0} ;\quad U_{n} \leq M (\quad \text{ou encore}\quad \forall n \geq n_{0};\quad  U_{n}<M)\\[0.3cm]$

  • $\left(U_{n}\right)_{n \geq n_{0}}$ est une suite minorée par $m$ équivaut à $\\[0.2cm] \forall n \geq n_{0} ; m \leq U_{n} ( \quad \text{ ou encore} \forall n \geq n_{0} ; \quad m<U_{n})\\[0.3cm]$
  • $(U_{n})_{n \geq n_{0}}$ est une suite bornée équivaut à $(U_{n})$ est une suite majorée et minorée. 

تطبيق

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{n}=n^{2}-5$ pour tout $n \in \mathbb{N}\\$

On sait que $n^{2} \geqslant 0$ pour tout $n.\\$

Donc $n^{2}-5 \geqslant-5$ pour tout $n. \\$

La suite $\left(u_{n}\right)$ est donc minorée par $-5$.

Monotonie d’une suite

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