Arithmétique dans N

L'arithmétique est l'étude des nombres entiers et des opérations sur ces nombres.

L'une des notions les plus abordées dans ce cours est la divisibilité.

Quand est ce qu'on dit alors qu'un nombre $n$ est divisible par un nombre $d$ ?

$n$ est divisible par $d$ lorsqu'il existe un entier naturel $k$ tel que : $ n = kd $

Par exemple : 4 = 2*2 donc 2 divise 4 😉

 

Les  nombres pairs et les nombres impairs

تعريف

Tout entier naturel est soit divisible par 2, soit non divisible par 2.

  • S'il est divisible par 2, c'est un nombre pair.
  • S'il n'est pas divisible par 2, c'est un nombre impair.

Les nombres 0,2,4,6,8,10,12..... sont les nombres pairs.

Les nombres 1,3,5,7,9,11..... sont les nombres impairs.

 

مثال

Le nombre 283870 est un nombre pair ( tout nombre qui finit par 0,2,4,6,8 est pair)

Le nombre 3731 est un nombre impair ( tout nombre qui finit par 1,3,5,7,9 est impair)

 

image/svg+xml Remarque

  • 0 est un nombre pair car 2 divise 0
  • 1 est un nombre impair
  • $n$ est un nombre entier pair équivaut au fait qu'il existe $k$ entier naturel tel que $n=2k$
  • $n$ est un nombre entier impair équivaut au fait qu'il existe $k$ entier naturel tel que $n=2k+1$

تطبيق

Montrer que la somme de deux entiers pairs est paire.

Montrer que la somme de deux entiers impairs est impaire.

Montrer que la somme de deux entiers de parité différente est impaire.

Montrer que le produit de deux nombres impairs est impair.

Montrer que le produit d'un nombre pair et d'un nombre impair est pair.

 

PS : La parité d'un nombre est la réponse à question : est-il pair ou impair?

Critères de divisibilité

Est ce que le nombre 360 est divisible par 2,3,18,9,5,11 ?

Un nombre est divisible par : 

  • 2 si son écriture finit par un chiffre pair  (0,2,4,6,8).
  • 3 si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 3.
  • 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4 ( exemple 2116 est divisible par 4 car 4 divise 16).
  • 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5.
  • 8 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 8 ( exemple 2150 n'est divisible par 8 car 8 ne divise pas 150).
  • 9 si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 9.
  • 11 , Soit S1 la somme des chiffres de rangs impairs ( de droite à gauche) et S2 la somme des chiffres de rangs pairs. Soit d = S1-S2
    • Si d>=0 alors :
      • Le nombre est divisible par 11 si et seulement si d est divisible par 11.
      • Le nombre est divisible par 11 si et seulement si  la somme de ses chiffres  est divisible par 9.
    • Sinon : 
      • le nombre est divisible par 11, si et seulement si d +11p est divisible par 11 ( avec p le plus petit entier tel que d +11p   >=0)
  • 25 si le nombre formé des deux derniers  chiffres qui le composent est divisible par 25.

 

 

 

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