Ordre et opération dans l'ensemble des nombres réels R

Ordre dans R

Activité

$$a$$ et $$b$$ de l'ensemble $$\mathbb{R}$$.

Trouver une comparaison entre $$a$$ et $$b$$ dans les cas suivants : 

  • $$(b-a)$$ appartient à $$\mathbb{R^+}$$
  • $$(b-a)$$ appartient à $$\mathbb{R^{+*}}$$

Réponse : 

  • $$(b-a)$$ appartient à $$\mathbb{R^{+}}$$ , signifie que $$b-a \geq 0$$
    Donc : $$b \geq a$$.
  • $$(b-a)$$ appartient à $$\mathbb{R^{+*}}$$ , signifie que $$b-a>0$$
    Donc : $$b>a$$.

 

Définition

تعريف

Soient $$a$$ et $$b$$ de l'ensemble $$\mathbb{R}$$.

  • $$a$$ est inférieur ou égal à $$b$$ équivaut à $$(b-a) \in \mathbb{R^+}$$, on écrit également $$a \leq b$$
  • $$a$$ est strictement inférieur  à $$b$$ équivaut à $$(b-a) \in \mathbb{R^{+*}}$$, on écrit également $$a < b$$
  • $$a$$ est supérieur ou égal à $$b$$ équivaut à $$(a-b) \in \mathbb{R^+}$$, on écrit également $$a \geq b$$
  • $$a$$ est strictement supérieur  à $$b$$ équivaut à $$(a-b) \in \mathbb{R^{+*}}$$, on écrit également $$a > b$$

 

Exemple

On a $$ \frac{5}{9} > \frac{2}{9}$$ et $$\sqrt{2} > 1$$.

Propriétés de l'ordre et des opérations 

Propriétés

خاصية

Soient $$a$$,$$b$$ , $$c$$ et $$d$$ des éléments de $$\mathbb{R}$$.

  • Si $$ ( a \leq b )$$ et $$ ( b \leq c )$$ alors $$ a \leq c $$. On dit que l'ordre est transitif.
  • Si $$ ( a \leq b )$$ et $$ ( c \in \mathbb{R} )$$ alors : $$ a+c \leq b+c  $$  et $$ a - c \leq b - c  $$ 
  • Si $$ ( a \leq b )$$ et $$ ( c \leq d )$$ alors $$ a+c \leq b+d $$. ( l'ordre est compatible avec l'addition).
  • Si $$ ( c  > 0 )$$ et $$ ( a \leq b )$$ alors $$ a.c \leq b.c $$ et $$ \frac{a}{c} \leq \frac{b}{c} $$
  • Si $$ ( c  < 0 )$$ et $$ ( a \leq b )$$ alors $$ a.c \geq b.c $$ et $$ \frac{a}{c} \geq \frac{b}{c} $$
  • Si $$a$$ et $$b$$ sont non nuls et de même signe on a : $$ a \leq b$$ équivaut à $$\frac{1}{a} geq \frac{1}{b}$$.
  • Si $$a$$ et $$b$$ sont positifs on a : $$a \leq b$$ équivaut à $$a^2 \leq b^2$$.
  • Si $$a$$ et $$b$$ sont positifs on a : $$a \leq b$$ équivaut à $$a^n \leq b^n$$ avec $$ n \in \mathbb{N}$$
  • Si $$a$$ et $$b$$ sont positifs on a : $$a \leq b$$ équivaut à $$\sqrt{a} \leq \sqrt{b}$$

 

Application

تطبيق

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Remarques

image/svg+xml Remarque

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Les intervalles - L'encadrement

Intervalle

Activité

Application

تطبيق

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Vocabulaire

Encadrement

Définition

تعريف

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Application

تطبيق

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Intersection et réunion d'intervalles

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