Démontrer qu'une courbe admet une asymptote horizontale

Situation :

La courbe représentative d'une fonction $f$ peut admettre une asymptote horizontale en $~+\infty~$ et/ou en $~-\infty~$. Une même droite peut être asymptote horizontale à la fois en $~+\infty~$ et $~-\infty$.

Enoncé :

On considère la fonction $f$ définie sur $] 4 ;+\infty[$ par :

$$f(x)=\frac{2 x-3}{x-4}$$

Déterminer les éventuelles asymptotes horizontales de $C_f$.

Déterminer la limite de $f$ en $~+\infty$

On détermine tout d'abord $~\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)\\[0.2cm]$

Application :

Pour déterminer la limite de $f$ en $+\infty$, on factorise le numérateur et dénominateur par le terme de plus haut degré. On a donc :$\\$

$\forall x \in\left] 4 ;+\infty\right[, f(x)=\frac{x\left(2-\frac{3}{x}\right)}{x\left(1-\frac{4}{x}\right)}=\frac{2-\frac{3}{x}}{1-\frac{4}{x}}\\$

Or : $\\$

• $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(2-\frac{3}{x}\right)=2\\[0.2cm]$
• $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1-\frac{4}{x}\right)=1\\[0.2cm]$

Donc $\\[0.2cm]$ $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=2 \\$

Conclure sur l'existence d'une asymptote horizontale :

• Si la limite trouvée est un réel $a$, on en déduit que la droite d'équation $y=a$ est asymptote horizontale à $C_f$ en $+\infty\\[0.2cm]$
• Si la limite trouvée est $+\infty$ ou $-\infty$, alors $C_f$ n'admet pas d'asymptote horizontale en $+\infty\\[0.2cm]$

Application :

On a :

$$ \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=2 $$

On en déduit que la droite d'équation $y=2$ est asymptote horizontale à $C_f$ en $+\infty$.

Réappliquer éventuellement le procédé en $~-\infty$