Démontrer qu'une courbe admet une asymptote verticale

Situation
La courbe représentative d'une fonction $f$ peut admettre une asymptote verticale en un réel a.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-2;3\}$ par : $f(x) = \frac{x^2+3x+4}{(x+2)(x-3)}$ Déterminer les asymptotes verticales de $C_f$.

Repérer les bornes ouvertes finies du domaine de définition

Si $C_f$  admet une asymptote verticale, c'est nécessairement en un réel $a$ correspondant à une borne finie (c'est-à-dire réelle) et ouverte (c'est-à-dire exclue) du domaine de définition de $f$.

On liste donc tous les réels $a$ vérifiant cette condition.

Astuce ! 

Si la fonction est sous la forme de quotient, il pourra y avoir des asymptotes verticales aux valeurs interdites.

Application : ( voir exemple ci-haut)

On écrit le domaine de définition de $f$ sous la forme d'une réunion d'intervalles :

$D_f = ]-\infty ; -2[ \cup ]-2;3[ \cup]3;+\infty[$

Les bornes finies ouvertes sont donc $-2$ et $3$.

Déterminer la limite de $f$ en chacune de ces bornes

• • Si $f$ n'est pas définie à gauche de $a$, on calcule sa limite à droite de $a$ : $\lim\limits_{x \to a^+} f(x)$
  • Si $f$ n'est pas définie à droite de $a$, on calcule sa limite à gauche de $a$ : $\lim\limits_{x \to a^-} f(x)$
  • Si $f$ est définie à droite et à gauche de $a$, on calcule les deux limites : à droite et à gauche de $a$ : $\lim\limits_{x \to a^+} f(x)$ et $\lim\limits_{x \to a^-} f(x)$.

Application : ( voir exemple ci-haut)

$\lim\limits_{x \to -2} f(x) = \lim\limits_{x \to -2} \frac{x^2+3x+4}{(x+2)(x-3)} $
On trouve alors une forme indéterminée :
$\lim\limits_{x \to -2} f(x) = \frac{2}{0}$ c'est une forme indéterminée !
Il faut donc examiner cette limite à gauche puis à droite de $2$.
$\lim\limits_{x \to -2^-} f(x) = +\infty$
De même $\lim\limits_{x \to -2^+} f(x) = -\infty$.

De la même manière on établit que : $\lim\limits_{x \to 3^-} f(x) = -\infty$
et : $\lim\limits_{x \to 3^+} f(x) = +\infty$

Conclure sur l'existence d'asymptotes verticales

لمواصلة هذا الملخص، قم بالتسجيل بالمجان في كيزاكو

النسخة المجانية لكيزاكو:

• ملخصات الدروس غير محدودة
• فيديو مجاني في كل درس
• تمرين مصحح مجاني
• اختبار تفاعلي

إنشاء حساب مجاني