Déterminer l'équation de la tangente d'une fonction en un point

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $x_0$ un point de $I$.

L'équation de la tangente de la fonction $f$ en $x_0$ représente l'équation de la droite $(D)$ telle que : $ y = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)$.

Exemple : 

On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \sqrt{x^2+1}$

Déterminons l'équation de la tangente de $C_f$ au point  d'abcisse $1$.

1ère étape : Calculer la dérivée de la fonction $f$

La fonction $f$ est une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ car elle s'écrit sous la forme $\sqrt{u}$ avec $u$ une fonction polynomiale ( qui est donc aussi dérivable) à valeurs strictement positives ( car l'ensemble où la fonction $x \rightarrow \sqrt{x}$ est dérivable c'est $\mathbb{R_+^*}).

Soit $x$ un élément de $\mathbb{R}$, on a $f'(x) =\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

2ème étape : Calculer $f'(x_0)$

On a maintenant $f'(1) = \frac{1}{\sqrt{1^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

3ème étape : Conclusion

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