Etudier la continuité d’une fonction sur un intervalle

Situation
On étudie la continuité d'une fonction sur un intervalle $I$ en particulier lorsque l'expression de cette fonction est différente suivant les valeurs de $x$.

 

Enoncé 

On considère la fonction $f$ définie sur $[2;+∞[$ par :

$f(2) = 4$

$ \forall x>2 f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$

Etudier la continuité de la fonction $f$  sur $[2;+∞[$.

Etape 1 : Utiliser le cours pour justifier la continuité sur l'intervalle (ou les intervalles)

D'après le cours, on sait que :

• Les fonctions de références sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition.
• Toute fonction construite comme somme, produit, quotient (dont le dénominateur ne s'annule pas sur I) ou composée de deux fonctions continues sur I est continue sur I.

On justifie ainsi la continuité de la fonction sur le ou les intervalle(s) sur le(s)quel(s) elle est définie.

Application ( exemple ci-haut): 

La fonction $x \rightarrow x^2-4$ est continue sur $]2;+\infty[$ en tant que polynôme.

De même la fonction $x \rightarrow x-2$ est continue sur $]2;+\infty[$ en tant que polynôme.

De plus elle ne s'annule pas sur sur $]2;+\infty[$.

Par quotient, $f$ est continue sur sur $]2;+\infty[$.

Etape 2 :Justifier éventuellement la continuité aux points à problème

Pour les éventuels points pour lesquels la fonction est définie d'une autre manière, on étudie la continuité.

Pour cela, on sait que si $lim_{x \to a} f(x) = f(a)$, alors la fonction $f$ est continue en $x=a$.

Application ( exemple ci-haut): 

$f$ est continue en $2$ si et seulement si $lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$.

On a :

• $f(2) = 4
•  $\forall x>2$ $f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$. Ainsi,$lim_{x \to 2} f(x) = lim_{x \to 2} x+2 = 4 = f(2)$.

On conclut donc que $f$ est continue en $2$.

 

Etape 3 : Conclure