On peut étudier la monotonie d'une suite $(u_n)_{n\ge n_0}$ de 3 façons différentes

 

Méthode 1 :

On étudie le signe de $u_{n+1}-u_n$, cette méthode est souvent utilisé lorsque $u_n$ s'écrit avec des sommes.

Application :

Soit $(u_n)$ la suite définit par : $u_n=(\sum_{k=0}^n \frac{1}{2^k})-n $ (n$\in \mathbb{n}$)

Étudions la monotonie de la suite $(u_n)$

On a $\forall n \in \mathbb{n}$ $u_{n+1}-u_n= ((\sum_{k=0}^{n+1} \frac{1}{2^k})-(n+1) ) - ((\sum_{k=0}^n \frac{1}{2^k})-n ) = \frac{1}{2^{n+1}}-1$

Puisque $2^{n+1}\ge 1$

Alors $\frac{1}{2^{n+1}}\le 1 $ et donc $u_{n+1}-u_n \le 0$.

On déduire que $(u_n)$ est une suite décroissante.

 

 

Méthode 2 :

Si la suite $(u_n)$ est strictement décroissante, on peut alors étudier la position de $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ par rapport à 1.

On a alors : $(\forall n \ge n_0, \frac{u_{n+1}}{u_n} \ge 1) \Leftrightarrow ((u_n)_{n\ge n_0}~est ~~~croissante)$

Cette méthode est particulièrement intéressante lorsque $u_n $ s'écrit avec des produits, factoriels, ...

Application

Soit $(u_n)$ la suite définit par : $u_n=\frac{n^2}{3^n}$

Étudions la monotonie de la suite $(u_n)$

On a $\forall n \ge 2 $ $u_n>0$

Étudions $\frac{u_{n+1}}{u_n}$

On a $\forall n \ge 2$ : $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{1}{3}(\frac{n+1}{n})^2 = \frac{1}{3}(1+\frac{1}{n})^2$

Puisque $n\ge 2$ alors $1+\frac{1}{n}\le \frac{3}{2} $ et donc $\frac{1}{3}(1+\frac{1}{n})^2 \le \frac{3}{4}$

Il s'ensuit donc que : $\forall n \ge 2, \frac{u_{n+1}}{u_n}\le 1 $

On en déduit donc que la suite $(u_n)_{n\ge 2}$ est décroissante.

 

 

Méthode 3 :

Si $u_n=f(n)$, alors on étudie la monotonie de la fonction $f$ sur $[n_0;+\infty[$

Si $f$ est croissante sur $[n_0;+\infty[$on montre facilement que $(u_n)_{n \ge n_0}$ est croissante.

Si $f$ est décroissante sur $[n_0;+\infty[$on montre facilement que $(u_n)_{n \ge n_0}$ est décroissante.

Application