Situation

En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires (dans le cas des fonctions strictement monotones), on peut montrer qu'une équation admet une unique solution sur un intervalle.

Énoncé

Montrer que l'équation $ x^3 −2x+1=0 $ admet une unique solution sur $]−\infty;−1]$ .

Etape 1 : Se ramener à une équation du type $f(x) = k$.

On détermine une fonction $f$ telle que l'équation soit équivalente à l'équation $f(x)=k$ .

Application ( exemple ci-haut)

On pose : $\forall x \in ]-\infty ; -1]$ , $f(x) = x^3-2x+1$

On cherche à montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $]-\infty ; -1]$

Etape 2 :Dresser le tableau de variations de $f$

Si l'on cherche à démontrer que l'équation $ admet une solution unique sur I, on dresse le tableau de variations de $fsur I.

On étudie les variations de $f$ au préalable, si cela n'a pas été fait dans les questions précédentes.

Application ( exemple ci-haut)

On étudie la fonction $f$ sur $]-\infty ; -1]$. $f$ est dérivable sur $]-\infty ; -1]$ en tant que restriction d'une fonction polynôme et : $\forall x \in ]-\infty ; -1] $ : $f'(x) = 3x^2-2$.

On étudie le signe de $f′(x)$ . Pour cela, on résout l'inéquation $f′(x)>0$ . Pour tout réel $x$ :

$3x^2-2>0 \iff x^2>2/3$

$ \iff x>\sqrt{\frac{2}{3}}$  ou $x< -\sqrt{\frac{2}{3}$

On en déduit, comme $-1<-\sqrt{\frac{2}{3}$ que $f'(x)>0$ sur $]-\infty ; -1]$, ainsi $f$ est strictement croissante sur $]-\infty ; -1]$.

De plus, on a : 

  • $lim_{x \to -\infty} x^3 −2x+1 = $lim_{x \to -\infty} x^3(1-2/x + 1/x^2) = -\infty$
  • $lim_{x \to -1} x^3 −2x+1 = 2 $

On en déduit donc le tableau de variations de la fonction $f$ : 

 

Etape 3 : Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour conclure

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