Considérons la proposition $P_n$ suivante que nous souhaiterons démontrer pour tout $n$ entier naturel : $(\forall n \in \mathbb{N}) : 3^n > 2n$

L'initialisation

Afin de montrer une proposition par récurrence, on voit l'ensemble auquel appartient $n$, ici il s'agit de $\mathbb{N}$.

L'initalisation consiste à vérifier si la proposition $P_n$  est valide pour le plus petit élément $n$ possible.

Ici, l'initialisation commence naturellement par $0$ car c'est le plus petit $n$ possible, ou autrement dit le plus petit élément de $\mathbb{N}$.

  • $3^0 = 1$
  • $2.0 = 0$

Donc effectivement $3^0 > 2.0$ et par conséquent $P_0$ est vraie.

L'initialisation s'arrête ici.

 

L'héridité

L'héridité consiste tout simpliment à supposer la propriété $P_n$ vraie, et à démontrer que $P_{n+1}$ est vraie.

Revenons donc à notre exemple !

Soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $P_n$  est vraie, c'est à dire $ 3^n > 2n$

Montrons que $P_{n+1}$ est vraie, c'est  à dire $3^{n+1} > 2(n+1)$

  • On sait que $3^{n+1} =3. 3^n  = 3^n + 2.3^n$
  • On sait aussi que $3^n > 2n$ d'après l'hypothèse de récurrence.
  • On sait aussi que pour tout $n$, $3^n \geq 1$. donc $2.3^n \geq 2$

Ainsi : $3^{n+1} > 2n +2$

Conclusion

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