Rappel

Produit scalaire de deux vecteurs

L’expression du produit scalaire en utilisant la projection orthogonale: 

تعريف

Soient $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$ et $\mathrm{C}$ trois points dans le plan et $\mathrm{H}$ la projection orthogonale du point $\mathrm{C}$ sur la droite (AB). $\\[0.5cm]$ Alors le produit scalaire de $\overrightarrow{A B \text { et }} \overrightarrow{A C}$ est le nombre réel $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}$ tel que : $\\[0.5cm]$ $$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=A B \times A H \operatorname{si} \overrightarrow{A B} \text { et } \overrightarrow{A H} \text { ont le même sens. }$$ $\\[0.5cm]$ $$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=-A B \times A H \text { și } \overrightarrow{A B} \text { et } \overrightarrow{A H} \text { n'ont pas le même sens. }$$ $\\[0.5cm]$ $$\text { Si } \overrightarrow{A B}=0 ~~(A=B) \text { ou } \overrightarrow{A C}=0 ~~(A=C) ~~\text { alors }~~ \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=0 $$

La formule trigonométrique du produit scalaire :

تعريف

Soient $\overrightarrow{A B}$ et $\overrightarrow{A C}$ deux vecteurs du plan, alors :$\\[0.5cm]$ $$ \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=\|A B\| \times\|A C\| \times \cos (\overline {\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}})=A B \times A C \times \cos (\overline{\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}}) $$

remarque:$$\text { Le nombre réel positif } \sqrt{\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A B}} \text { est appelé la norme du vecteur } \overrightarrow{A B} \\ \text { Et on note }\|\overrightarrow{A B}\|=A B \text { . }$$

خاصية

Linéarité du produit scalaire : $$\begin{array}{l} (\vec{u}+\vec{v}) \cdot \vec{w}=\vec{u} . \vec{w}+\vec{v} \cdot \vec{w} \\ \vec{w} \cdot(\vec{u}+\vec{v})=\vec{w} \cdot \vec{u}+\vec{w} \cdot \vec{v} \\ \vec{u} .(\alpha \vec{v})=(\alpha \vec{u}) \cdot \vec{v}=\alpha(\vec{u} \cdot \vec{v}) \end{array} $$ $\\[0.5cm]$ Symétrie du produit scalaire : $$ \vec{u} \cdot \vec{v}=\vec{v} \cdot \vec{u} $$ $\\[0.5cm]$ Positivité du produit scalaire : $$\vec{v}^{2}=\vec{v} \cdot \vec{v} \geq 0 $$ $\\[0.5cm]$ Le produit scalaire est non dégénéré, c'est-à-dire : $$ \vec{v} \cdot \vec{v}=0 \Leftrightarrow \vec{v}=0 $$ $\\[0.5cm]$ $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonales : $$ \vec{u} \perp \vec{w} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{w}=0 $$

Base orthonormée directe – Repère orthonormé directe

تعريف

On dit que le couple $(\vec{l}, \vec{j})$ constitue une base du plan $(P)$ si : $\\ \vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$ sont deux vecteurs non colinéaires du plan. $\\[0.5cm]$ Et on dit que le plan $(P)$ est rapporté ou muni à la base $(\vec{\imath}, \vec{\jmath})$, $(\vec{\imath}, \vec{j})$ une base de $(P)$ et $O$ est un point de $(P)\\[0.5cm]$ Le triplet $(O, \vec{\imath}, \vec{j})$ s'appelle un repère de $(P)\\$ Et on dit que le plan $(P)$ est rapporté ou muni au repère $(O, \vec{\imath}, \vec{j})\\[0.5cm]$ $(\vec{\imath}, \vec{j})$ est une base orthonormée si : $\vec{\imath} \cdot \vec{j}=0$ et $\|\vec{i}\|=\|\vec{\jmath}\|=1 \\$ $ \mathrm{Et}$ dans ce cas le repère $(O, \vec{\imath}, \vec{\jmath})$ est un repère orthonormé. $\\[0.5cm]$ $(\vec{l}, \vec{j})$ est une base orthonormée directe si et seulement si $\\$ $(\vec{l}, \vec{j})$ est une base orthonormée et $(\vec{\imath}, \vec{j}) \equiv \frac{\pi}{2}[2 \pi]\\$Et dans ce cas le repère $(O, \vec{\imath}, \vec{j})$ est un repère orthonormé directe.

remarque:Dans toute la suite de ce cours, on considère le plan muni à un repère orthonormé directe $(O, \vec{\imath}, \vec{j}) $

L’expression analytique du produit scalaire et la norme d’un vecteur dans un repère orthonormé directe

خاصية

Soient $~~\vec{u}(x, y)=x \vec{\imath}+y \vec{\jmath}~~$ et $~~\vec{v}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)=x^{\prime} \vec{\imath}+y^{\prime} \vec{\jmath}~~$ deux vecteurs du plan $(P)$, On a : $\\[0.5cm]$ $\vec{u} . \vec{v}=x x^{\prime}+y y^{\prime}$ $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ $\|\overrightarrow{A B}\|=A B\\$ $=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B} y_{A}\right)^{2}}$

 

برهان

$\vec{u} . \vec{v}=(x \vec{\imath}+y \vec{\jmath}) \cdot\left(x^{\prime} \vec{\imath}+y^{\prime} \vec{\jmath}\right)=x x^{\prime} \vec{\imath} . \vec{\imath}+x y^{\prime} \vec{\imath} \cdot \vec{j}+y x^{\prime} \vec{\jmath} \cdot \vec{\imath}+y y^{\prime} \vec{\jmath} \cdot \vec{\jmath}=x x^{\prime}+y y^{\prime}~~$ $$ \operatorname{Car}(O, \vec{\imath}, \vec{\jmath}) \text { est orthonormé directe, donc } :$$ $\\[0.5cm]$ $$ \vec{\imath} \cdot \vec{\imath}=\vec{j} \cdot \vec{\jmath}=1 \text { et } \vec{\imath} . \vec{j}=\vec{\jmath} \cdot \vec{\imath}=0 . $$ $\|\vec{u}\|=\sqrt{\vec{u} . \vec{u}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\[0.5cm]$ D'après (1), On a $~~A\left(x_{A}, y_{A}\right)$ et $B\left(x_{B}, y_{B}\right) : \\[0.5cm]$ $$ A B=\|\overrightarrow{A B}\|=\sqrt{\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A B}}=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}} $$

مثال

On donne $~~\vec{u}=\vec{\imath}-2 \vec{\jmath}~~$ et $~~\vec{v}=-4 \vec{\imath}+2 \vec{\jmath}~~$ et $~~A(0,3)~~$ et $~~B(2,-1)\\[0.5cm]$ 1. Calculons $~~\vec{u} . \vec{v}$ : $$~~ \vec{u} . \vec{v}=1 \times(-4)+(-2) \times 2=-4-4=-8 $$ $\\[0.5cm]$ 2. Calculons $\|\vec{u}\|$ et $\|\vec{v}\|:$ $$~~ \begin{array}{l} \|\vec{u}\|=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{5} \\ \|\vec{v}\|=\sqrt{(-4)^{2}+2^{2}}=\sqrt{20} \end{array} $$ $\\[0.5cm]$ 3. Calculons AB : $$~~ A B=\sqrt{(2-0)^{2}+(-1-3)^{2}}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20} $$

Formules de cos (u,v) et sin (u,v)

خاصية

Soient $~~\vec{u}(x, y)=x \vec{\imath}+y \vec{\jmath}~~$ et $~~\vec{v}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)=x^{\prime} \vec{\imath}+y^{\prime} \vec{\jmath}~~$ deux vecteurs non nuls dans le plan, et $~~(\overline{\vec{u}, \vec{v}}) \equiv \theta[2 \pi]$, on a :$\\[0.5cm]$ 1. $\cos \theta=\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times\|\vec{v}\|}=\frac{x x^{\prime}+y y^{\prime}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \times \sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}}\\[0.5cm]$ 2. $\sin \theta=\frac{\operatorname{det}(\vec{u} \cdot \vec{v})}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \times \sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}}=\frac{x y^{\prime}-x^{\prime} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \times \sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}}$

برهان

1. On a : $$\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{c} \vec{u} . \vec{v}=\|\vec{u}\| \times\|\vec{v}\| \times \cos \theta \\ \vec{u} \cdot \vec{v}=x x^{\prime}+y y^{\prime} \end{array}\right. \Rightarrow\left\{\begin{array}{c} \cos \theta=\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times\|\vec{v}\|} \\ \vec{u} . \vec{v}=x x^{\prime}+y y^{\prime} \end{array}\right. \end{array}$$ $\\[0.5cm]$ Donc : $$\cos \theta=\frac{x x^{\prime}+y y^{\prime}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \times \sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}}$$ $\\[0.5cm]$ 2. Soit le vecteur $\vec{w}$ tel que :$\\[0.5cm]$ $(\overline{\vec{u}, \vec{w}}) \equiv \frac{\pi}{2}[2 \pi]~~$ et $~~\|\vec{u}\|=\|\vec{w}\|$ $\\[0.5cm]$ $ (\overline{\vec{v}, \vec{w}}) \equiv(\overline{\vec{v}, \vec{u}})+(\overline{\vec{u}, \vec{w}})[2 \pi] \equiv-\theta+\frac{\pi}{2}[2 \pi] \\[0.5cm]$ $ \vec{v} \cdot \vec{w}=\|\vec{v}\| \times\|\vec{w}\| \times \cos \left(-\theta+\frac{\pi}{2}\right)=\|\vec{v}\| \times\|\vec{u}\| \times \sin \theta \mid \\[0.5cm]$ $ \Rightarrow \sin \theta=\frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{\|\vec{v}\| \times\|\vec{u}\|} \\[0.5cm]$ Et on a $~~\vec{w}(-y, x)\\[0.5cm]$ Donc : $$ \sin \theta=\frac{x y^{\prime}-x^{\prime} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \times \sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}} $$ $\\[0.5cm]$ Ou autrement : $$ \sin \theta=\frac{\operatorname{det}(\vec{u} . \vec{v})}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \times \sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}} $$

مثال

Soient les trois points $A(5,0), B(2,1)$ et $C(6,3)\\[0.5cm]$ a- Calculons $\cos (\overline{\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}})$, On a :$\\[0.5cm]$ $ \cos (\overline{\overrightarrow {A B}, \overrightarrow{A C}})=\frac{\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}}{\|A B\| \times\|A C\|}=\frac{(-3 \vec{\imath}+\vec{\jmath})(\vec{\imath}+3 \vec{\jmath})}{A B \times A C} \\[0.5cm]$ $ A B=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B} y_{A}\right)^{2}}=\sqrt{(-3)^{2}+1^{2}}=\sqrt{10} \\[0.5cm]$ $ A C=\sqrt{\left(x_{C}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{C}-y_{A}\right)^{2}}=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10} \\[0.5cm]$ Donc : $$ \cos (\overline{\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}})=\frac{-3+3}{10}=0 $$ $\\[0.5cm]$ b- Calculons $~~\sin (\overline {\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}})$, On a : $\\[0.5cm]$ $$ \sin (\overline{\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}})=\frac{(-3) \times 3-1 \times 1}{10}=-\frac{10}{10}=-1 $$ $\\[0.5cm]$ Donc : $$ (\overline{\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}}) \equiv-\frac{\pi}{2}[2 \pi] $$

L’air d’un triangle et d’un parallélogramme

خاصية

$\begin{aligned} &\mathrm{ABC} \text { est un triangle dans le plan }(P) \text { . }\\ &\text { La surface } S_{A B C} \text { du triangle est } S_{A B C}=\frac{1}{2} \times|\operatorname{det}(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C})| \text { . } \end{aligned}$

برهان

Soient $\mathrm{ABC}$ un triangle non aplati dans le plan $(P)$, et $H$ la projection orthogonale de $\mathrm{C}$ sur la droite $(A B)$. On a la surface $\mathrm{S}$ de $\mathrm{ABC}$ : $\\[0.5cm]$ $$ S_{A B C}=\frac{A B \times C H}{2},~~ $$ Or :$\\[0.5cm]$ $ \sin (\hat{A})=\frac{C H}{A C} \Rightarrow C H=\sin (\hat{A}) \times A C \Rightarrow s=\frac{A B \times A C}{2} \times \sin (\hat{A})\\[0.5cm]$ $\sin (\hat{A})=\mid \sin \left(\overline{\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C})})=| \frac{\operatorname{det}(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C})}{A B \times A C} \mid\right. \\[0.5cm]$ Donc : $$ S_{A B C}=\frac{1}{2} \times|\operatorname{det}(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C})| $$

خاصية

$ \text { La surface } S_{A B C D} \text { du parallélogramme est :} \\[0.5cm]$ $S_{A B C D}=|\operatorname{det}(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C})| \text { . } $

برهان

On a :$\\$ $$ S_{A B C D}=2 \times S_{A B C}=2 \times\left(\frac{1}{2} \times|\operatorname{det}(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C})|\right) \\ =|\operatorname{det}(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C})| $$

مثال

Soient les points $A(5,0), B(2,1)$ et $C(6,3).~~$ Calculons $S_{A B C}:\\[0.5cm]$ $ \operatorname{det}(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C})=-3 \times 3-1 \times 1=-10 \\[0.5cm]$ $ S_{A B C}=\frac{1}{2} \times|\operatorname{det}(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C})|=\frac{1}{2} \times|-10|=5 \mathrm{~cm}^{2} $

La droite dans le plan (étude analytique)

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