Les deux photos montrent une balançoire pour enfant et la Grande Roue. Ces deux systèmes sont constitués par des corps solides qui ont un mouvement de rotation autour d’un axe fixe. Qu’est-ce qu’un mouvement de rotation ? et quelles sont ses caractéristiques ?

Dans ce cours de mathématique, on découvrira en particulier les mouvements de rotation dans le plan.

Rotation dans le plan

Définition d’une rotation dans le plan

Soit $\Omega$ un point du plan. La rotation $\mathrm{r}$ de centre $\Omega$ et d'angle $\theta$ transforme un point M en un point image $M^{\prime}$ tel que :

$$\left\{\begin{array}{r}\Omega M^{\prime}=\Omega M \\\left(\overrightarrow{\Omega M}, \overrightarrow{\Omega M^{\prime}}\right)=\theta[2 \pi]\end{array}\right.$$

On note parfois $r_{(\Omega ; \theta)}$ la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\theta$ ou $r_{\theta}$ et on précise l'angle de rotation $\theta$.

D’après la figure ci-dessus $$r_{(\Omega ; \theta)}(M)=M^{\prime}$$

image/svg+xml Remarque

  1. L'image du centre $\Omega$ est $\Omega$ (on dit que le point $\Omega$ est invariant).
  2. Les rotations d'angle $\theta=\frac{\pi}{2}$ sont appelées quarts de tour direct.
  3. Les rotations d'angle $\theta=-\frac{\pi}{2}$ sont appelées quarts de tour indirect.
  4. La rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\theta=\pi$ est la symétrie centrale par rapport à $\Omega$.
  5. Si l'angle de la rotation est non nul, son centre est le seul point invariant.

مثال

$\mathrm{ABC}$ est un triangle. On construit à l'extérieur deux triangles $A B D$ et $A C E$ isocèles et rectangles en $\mathrm{A}$

  1. Montrer que : $B E=C D$
  2. Montrer que : $(B E) \perp(C D)$

Solution :

1- Soit $r$ la rotation de centre A et d'angle $\frac{\pi}{2}$ On a : $\left\{\frac{A D=A B}{(A D, A B)}=\frac{\pi}{2}[2 \pi]\right.$. donc: $r(D)=B$

On a : $\left\{\begin{array}{l}A C=A E \\ (A C, \overline{A E})=\frac{\pi}{2}[2 \pi]\end{array} \quad\right.$ donc $: r(C)=E$

Et puisque la rotation conserve les distances $\underline{\text { dlors en déduit que } B E=C D}$

2- On a $r(D)=B$ et $r(C)=E$

$\underline{\text { Donc: }}(\overline{C D, E B})=\frac{\pi}{2}$ par suite : $(B E) \perp(C D)$

Formule analytique d’une rotation

Soit $\Omega$ un point du plan $\mathcal{P}$ et $\theta \in \mathbb{R}_{\text {, }}$ alors la rotation d'angle $\theta$ et de centre $\Omega$ :

$$\begin{aligned}&R: \mathcal{P} \rightarrow \mathcal{P} \\&M \mapsto M^{\prime}\end{aligned}$$

tells que :

$$\left\{\begin{array}{l}\Omega M=\Omega M^{\prime} \\\left(\Omega M, \Omega M^{\prime}\right)\end{array} \equiv[2 \pi]\right.$$

On a

$$R(M)=M^{\prime} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\Omega M=\Omega M^{\prime} \\{\left(\Omega M, \Omega M^{\prime}\right)} \equiv \theta[2 \pi]\end{array}\right.$$

Rotation réciproque

Soit $\mathrm{r}$ une rotation de centre 0 et d'angle $\alpha$. La rotation de centre $\mathrm{O}$ et d'angle $-\alpha$ est appelée rotation réciproque de $\mathrm{r}$. On la note $r^{-1}$.

$$\text { D'après le figure ci-dessus on } a: r_{o}^{-1}\left(M^{\prime}\right)=M \text {. }$$

Caractérisations et propriétés de rotation

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