Repère dans l'espace - Base des vecteurs de l'espace

تعريف

Soit $O$ un point de l'espace $; \vec{i}, \vec{j}$ et $\vec{k}$ des vecteurs non coplanaires.

- Le quadruplet $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ est appelé repère dans l'espace.

- Le triplet $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ est appelé base des vecteurs de l'espace.

نظرية

Soit $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ un repère dans l'espace.

Pour tout point $M$ de l'espace, il existe un triplet unique de nombres réels $(x, y, z)$ tel que

$\overrightarrow{OM}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}$.

تعريف

Le triplet $(x, y, z)$ est appelé triplet des coordonnées du point $M$ dans le repère $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ et on note $M(x, y, z)$

On dit que dans le repère $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ : $x$ est l'abscisse de $M$; $y$ est l'ordonnée de $M$ et $z$ est la cote de $M$.

- $(x, y, z)$ est le triplet des coordonnées du vecteur $\overrightarrow{O M}$ dans la base $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on note $~\overrightarrow{O M}(x, y, z)~$, et on écrit $~\overrightarrow{OM}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}$.

Dans tout ce qui suit, on considère l'espace rapporté au repère $(\mathrm{O}, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})$.

خاصية

$\bullet ~$ Dire que les vecteurs $~\vec{u}(x, y, z)~$ et $~\vec{u}^{\prime}\left(x', y', z'\right)~$ sont égaux équivaut à dire que : $~x=x^{\prime}, ~y=y^{\prime}~$ et $~z=z^{\prime}$

$\bullet ~$ Soit $~\vec{u}(x, y, z)~$ et $~\vec{u}^{\prime}\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)$ deux vecteurs :

- pour tout nombre réel $\alpha$, le vecteur $\alpha \vec{u}$ a pour coordonnées $(\alpha x, \alpha y, \alpha z)$

- Le vecteur $\vec{u}+\vec{u}^{\prime}$ a pour coordonnées : $~\left(x+x^{\prime}, ~y+y^{\prime}, ~z+z^{\prime}\right)$

$\bullet ~$ Soit $~A\left(x_A, y_A, z_A\right)~$ et $~B\left(x_B, y_B, z_B\right)~$ deux points.

- Le vecteur $\overrightarrow{A B}$ a pour coordonnées :

$$\left(x_B-x_A, y_B-y_A, z_B-z_A\right)$$

Le milieu de $[A B]$ a pour coordonnées :

$$(\frac{x_{A}+\mathrm{x}_B}{2}, \frac{y_{A}+y_B}{2},\frac{z_A+z_{B}}{2})$$

Colinéarité de deux vecteurs

خاصية

- Dire que les vecteurs $~\vec{u}(x, y, z)~$ et $~\vec{u}^{\prime}\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)~$, non nuls sont colinéaires équivaut a dire que les déterminants extraits :

$\left|\begin{array}{ll}x & x^{\prime} \\ y & y^{\prime}\end{array}\right|~,~\left|\begin{array}{ll}y & y^{\prime} \\ z & z^{\prime}\end{array}\right|~$ et $~\left|\begin{array}{cc}z & z^{\prime} \\ x & x^{\prime}\end{array}\right|~$ sont tous nuls

Autrement dit : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont non colinéaires si et seulement si l'un au moins des trois déterminants

$\left|\begin{array}{ll}x & x^{\prime} \\ y & y^{\prime}\end{array}\right|~,~\left|\begin{array}{ll}y & y^{\prime} \\ z & z^{\prime}\end{array}\right|~$ et $~\left|\begin{array}{cc}z & z^{\prime} \\ x & x^{\prime}\end{array}\right|~$ est non nul

Trois vecteurs coplanaires

تعريف

Soient $~\vec{u}_1\left(x_1, y_1, z_1\right)~$ et $~\vec{u}_2\left(x_2, y_2, z_2\right)~$ et $~\vec{u}_3\left(x_3, y_3, z_3\right)~$ des vecteurs de l'espace.

Le déterminant du triplet $~\left(\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}, \overrightarrow{u_3}\right)~$ est le nombre réel:

$x_1\left|\begin{array}{ll}y_2 & y_3 \\ z_2 & z_3\end{array}\right|+y_1\left|\begin{array}{ll}z_2 & z_3 \\ x_2 & x_3\end{array}\right|+z_1\left|\begin{array}{cc}x_2 & x_3 \\ y_2 & y_3\end{array}\right|$

II est noté $:~ \operatorname{det}\left(\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}, \overrightarrow{u_3}\right)$

مثال

On considère les vecteurs $\vec{u}(1,2,-4)~$ , $~\vec{v}\left(\frac{1}{2}, 1,-2\right)~ \text { et }~ \vec{w}(1,1,-2)$

- $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires car :

$$\left|\begin{array}{ll}1 & \frac{1}{2} \\2 & 1\end{array}\right|=0~ \text { et }~\left|\begin{array}{rr}-4 & -2 \\1 & \frac{1}{2}\end{array}\right|=0~ \text { et }~\left|\begin{array}{rr}2 & 1 \\-4 & -2\end{array}\right|=0$$

- $\vec{u}$ et $\vec{w}$ sont non colinéaires car:

$$\left|\begin{array}{ll}1 & 1 \\2 & 1\end{array}\right| \neq 0$$

خاصية

Soient $\vec{u}_1 \left(x_1, y_1, z_1\right), \vec{u}_2\left(x_2, y_2, z_2\right)~$ et $~\vec{u}_3\left(x_3, y_3, z_3\right)~$ des vecteurs de l'espace.

Les vecteurs $~\vec{u}_1 ~, ~\vec{u}_2~$ et $~\vec{u}_3~$ sont coplanaires si et seulement si $~\operatorname{det}\left(\vec{u}_1, \vec{u}_2, \vec{u}_3\right)=0$

Représentation paramétrique d'une droite

نظرية

Soient $\mathrm{A}(a , b , c)$ un point et $\vec{u}(\alpha, \beta, \gamma)$ un vecteur non nul. L'ensemble des points $M(x, y, z)$ qui vérifient :

$$\left\{\begin{array}{l}x=a+\alpha t \\y=b+\beta t \\z=c+\gamma t\end{array} ; t \in \mathbb{R}\right.$$

est la droite passant par $\mathrm{A}$ et de vecteur directeur $\vec{u}$.

تعريف

Le système $\left\{\begin{array}{l}x=a+a t \\ y=b+\beta t \\ z=c+\gamma t\end{array}(t \in \mathbb{R})\right.$

est appelé représentation paramétrique de la droite passant par le point $\mathrm{A}(a , b , c)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(\alpha, \beta, \gamma)$.

Positions relatives de deux droites

Soit $(D)$ et $(D')$ deux droites définies par leurs représentations paramétriques :

$(D) : ~\left\{\begin{array}{l}x=a+\alpha t \\ y=b+\beta t \\ z=c+\gamma t\end{array} \quad(t \in \mathbb{R})\right.\quad  (D') : ~\left\{\begin{array}{l}x=a^{\prime}+\alpha^{\prime} s \\ y=b^{\prime}+\beta^{\prime} s \\ z=c^{\prime}+\gamma^{\prime} s\end{array} \quad(s \in \mathbb{R})\right.$

Pour étudier la position relative des deux droites $(D)$ et $(D')$, on suit les étapes suivantes :

Tout d'abord on commence par vérifier si l'un des déterminants est non nul.

  • 1er cas : Si oui

alors $(D)$ et $(D')$ ne sont pas parallèles.

Donc nous allons résoudre le système suivant : $$\mathscr{S}~\left\{\begin{array}{l}a+\alpha t=a^{\prime}+\alpha^{\prime} s \\b+\beta t=b^{\prime}+\beta^{\prime} s \\c+\gamma t=c^{\prime}+\gamma^{\prime} s\end{array}\right.$$

- Si le système $\mathscr{S}$ a une solution alors $(D)$ et $(D')$ se coupent ,

-  Sinon $(D)$ et $(D')$ sont coplanaires.

  • 2ème cas : Si non

alors $(D)$ et $(D')$ sont parallèles ;

- Et si $A(a, b, c) \in\left(D^{\prime}\right)$ alors $~(D)=(D')$

- Sinon $(D)$ et $(D')$ sont strictement parallèles.

مثال

Soient $~A(4,-3,5)~$ et $~\vec{u}(3,-2,1)$

Le système $\left\{\begin{array}{l}x=4+3 t \\ y=-3-2 t \\ z=5+t\end{array} \quad(t \in \mathbb{R})\right.$

est une représentation paramétrique de la droite $D(A, \vec{u})$.

On remplace $t$ par le nombre $2$ et on obtient le point $B(10,-7,7)$ de la droite (D$)$.

Représentation paramétrique d'un plan

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