Application, Fonction, Égalité,Prolongement

Notion d'application

تعريف

Soient $\mathbb{E}$ et $\mathbb{F}$ deux ensembles non vides.$\\$ Tout relation qui à chaque élément de $\mathbb{E}$ , associe un et un seul élément de $\mathbb{F}$, est $\\$ appelé une application de $\mathbb{E}$ vers $\mathbb{F}$. $\\$

$f: \mathbb{E} \rightarrow \mathbb{F} \\$ $\hspace*{1.5cm} x \rightarrow f(x)=y$

Autrement dit:

$(\forall x \in \mathbb{E}) (\exists ! y \in \mathbb{F}) ~~f(x)=y$

ما يجب معرفته

Si f est une application de $\mathbb{E}$ vers $\mathbb{F}$ ,alors $\mathbb{E}$ est appelé l'ensemble de départ et $\mathbb{F}$ est appelé l'ensemble d'arrivé.

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Égalité de deux applications

Soit $f$ une application de $\mathbb{E}$ vers $\mathbb{F}$ et $g$ une application de $\mathbb{E}'$ vers $\mathbb{F}'$ . On dit que les applications $f$ et $g$ sont égales si:

  • $\mathbb{E}$=$\mathbb{E}'$
  • $\mathbb{F}$=$\mathbb{F}'$
  • $\forall x \in E$ $~~f(x)=g(x)$

تطبيق

On considère les 2 applications suivantes $f$ et $g$ de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$

$g(x)=\frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}+1}~$  et  $ ~f(x)=\sqrt{1+x^2}-1$

  • Montrons que $f=g$

soit $x$ un élément de $\mathbb{R}\\$ $g(x)= \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}+1} =\frac{x^2 .(\sqrt{1+x^2}-1) }{(\sqrt{1+x^2}+1)(\sqrt{1+x^2}-1)} = \sqrt{1+x^2}-1= f(x)$

Image directe d'une partie par une application

تعريف

Soit $f$ une application d'un ensemble $\mathbb{E}$ vers un ensemble $\mathbb{F}$ et $A$ une partie de $E$. Toutes les images par $f$ des éléments de $A$ forment un ensemble appelé l'image directe de la partie $A$ par $f$ que l'on note $f$(A)

$$f(A)=\{f(x) ~/~ x \in A\} $$

Image réciproque d'une partie par une application

تعريف

Soit $f$ une application d'un ensemble $\mathbb{E}$ vers un ensemble $\mathbb{F}$ et $B$ une partie de $\mathbb{F}. Tous les éléments $x$ de $\mathbb{E}$ tels que les images $f(x)$ appartiennent à $B$, forment un ensemble appelé l'image réciproque de la partie $B$ par $f$ que l'on note $f^{-1}(B)$

$$f^{-1}(B)=\{x \in E ~/ ~f(x) \in B\}$$

Restriction d'une application

تعريف

Soient $f$ une application d'un ensemble $\mathbb{E}$ vers un ensemble $\mathbb{F}$ et $A$ une partie non vide de $\mathbb{E}$. L'application $g$ de $A$ vers $\mathbb{F}$ telle que:

$\forall x \in A~~$ $g(x)=f(x)$

est appelée la Restriction de $f$ à $A$, et est notée $f_{/A}$

تطبيق

Soit $f$ l'application définie par:

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ \hspace*{2cm} x \rightarrow f(x)=\frac{x}{x^2+1}$

L'application suivante g est la restriction de l'application f sur [-1;1]

$g: [-1;1] \rightarrow \mathbb{R} \\ \hspace*{1.5cm} x \rightarrow g(x)=\frac{x}{x^2+1}$

Prolongement d'une application

تعريف

Soient $f$ une application d'un ensemble $\mathbb{E}$ vers un ensemble $\mathbb{F}$ et $\mathbb{E}'$ un ensemble contenant $\mathbb{E}$. Tout application $h$ de $\mathbb{E}'$ vers $\mathbb{F}$ telle que:

$\forall x \in E'~~$ $h(x)=f(x)$

est appelée un prolongement de l'application f à $\mathbb{E}'$.

Classification des applications

Application injective

تعريف

Soit $f$ une application d'un ensemble $\mathbb{E}$ vers un ensemble $\mathbb{F}$. On dit que l'application $f$ est injective si:

$\forall (x,x')\in \mathbb{E}^2~$ $f(x)=f(x') \Rightarrow x=x'$

 

Application surjective

تعريف

Soit $f$ une application d'un ensemble $\mathbb{E}$ vers un ensemble $\mathbb{F}$. On dit que l'application $f$ est surjective si tout élément de $\mathbb{F}$ est l'image, d'au moins, un élément de $\mathbb{E}$ par l'application $f$. Autrement dit:

$(\forall y \in F) (\exists x \in E)$ $~~f(x)=y$

Application Bijective

تعريف

Soit $f$ une application d'un ensemble $\mathbb{E}$ vers un ensemble $\mathbb{F}$. On dit que l'application $f$ est bijective si $f$ est une application injective et surjective. Autrement dit:

$(\forall y \in F) (\exists ! x \in E)$ $~~f(x)=y$

Composition des application

تعريف

Soit $f$ une application de $\mathbb{E}$ vers $\mathbb{F}$ et $g$ une application de $\mathbb{F}$ vers $\mathbb{G}$. La relation, qui, à tout élément $x$ de $\mathbb{E}$, associe l'élément $g(f(x))$ de $\mathbb{G}$ est une application de $\mathbb{E}$ vers $\mathbb{G}$. Cette application est appelée la composée de $f$ et $g$ (dans cet ordre) . On la note:

$g \circ f$

تطبيق

$\begin{aligned}g: \mathbb{R} &\rightarrow \mathbb{R}  \\  x &\rightarrow x^2-1\end{aligned}$

$\begin{aligned}f: \mathbb{R}  &\rightarrow \mathbb{R} \\  x &\rightarrow 2x-1\end{aligned}$

$\begin{aligned}g\circ f : \mathbb{R} &\rightarrow \mathbb{R} \\ x  &\rightarrow g \circ f(x)\end{aligned}$

  • Montrons que: $~g\circ f \ne f\circ g$

Soit $x\in R$

$\begin{aligned}g\circ f(x)= g(f(x)) &= (f(x))^2 -1 \\ &= (2x-1)^2-1 \\ &= 4x^2+1-4x-1 \\ &= 4x^2 -4x\end{aligned}$

$\begin{aligned}f\circ g(x)= f(g(x)) &= 2(g(x))-1 \\ &= 2(x^2-1)-1 \\ &= 2x^2-2-1 \\ &= 2x^2-3\end{aligned}$

  • Généralement : $~g\circ f \ne f\circ g$

خاصية

Soit $f$ une application de $\mathbb{E}$ vers $\mathbb{F}$, $~g$ une application de $\mathbb{F}$ vers $\mathbb{G}$, on a:

  1. Si $g$ et $f$ sont Injectives, alors: $g \circ f$ est Injective.
  2. Si $g$ et $f$ sont Surjectives, alors: $g \circ f$ est Surjective.
  3. Si $g$ et $f$ sont Bijectives, alors: $g \circ f$ est Bijective.

تطبيق

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Détermination d'un ensemble

Ensemble défini en compréhension

تعريف

On dit qu'un ensemble est défini en compréhension, si l'on dispose d'une propriété qui permet de déterminer l'appartenance ou la non appartenance d'un élément à cet ensemble.

Ensemble défini en extension

تعريف

On dit qu'un ensemble est défini en extension, si l'on dispose de la liste des éléments de cet ensemble.

تطبيق

Soient$A$ un ensemble définit en extension et $B$ un ensemble définit en compréhension tels que:

$A=\{-3,1,a,*\}~~$ et $~~B=\{x \in \mathbb{Z} / |x| \le 3\}\\$

  1. Définir l'ensemble $B$ en extension
  2. Donner le diagramme de Venn des deux ensembles $A$ et $B\\$

-Solution dans la vidéos du cours

Égalité de deux ensembles

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