Fiche de cours

Notion d'ensemble

تعريف

Tout ensemble est constitué d'éléments ou ne contient aucun élément

image/svg+xml Remarque

  • On désigne un ensemble par une lettre majuscule , exemple : $E ~$ ou $~(E)\\[0.2cm]$
  • On désigne un élément par une lettre minuscule, exemple : $~a , x ...\\[0.2cm]$
  • L'ensemble qui n 'a aucun élément est appelé l'ensemble vide et on le désigne par les symboles $~\empty~$ ou $\{\}$

خاصية

Un ensemble est déterminé si on dispose d'un critère permettant de décider si un élément appartient ou non à cet ensemble

انتباه

Si $E$ est un ensemble et $x$ est un élément de $E$ , il n'est pas autorisé d'écrire :

$E \in E ~, ~E \notin E ~,~x \in x ~$ ou $~x \notin x$

Détermination d'un ensemble

Ensemble défini en compréhension

تعريف

On dit qu'un ensemble est défini en compréhension, si l'on dispose d'une propriété qui permet de déterminer l'appartenance ou la non appartenance d'un élément à cet ensemble.

Ensemble défini en extension

تعريف

On dit qu'un ensemble est défini en extension, si l'on dispose de la liste des éléments de cet ensemble.

تطبيق

Soient $A$ un ensemble définit en extension et $B$ un ensemble définit en compréhension tels que:

$A=\{-3,1,a,*\}~~$ et $~~B=\{x \in \mathbb{Z} ~/~ |x| \le 3\}\\$

  1. Définir l'ensemble $B$ en extension
  2. Donner le diagramme de Venn des deux ensembles $A$ et $B\\$

-Solution dans la vidéos du cours

Vidéo Les Ensembles : Introduction aux ensembles
15 min
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Égalité de deux ensembles

تعريف

Soient $A$ et $B$ deux ensembles. On dit que les ensembles $A$ et $B$ sont égaux (ou identique) s'ils sont composés des mêmes éléments. $\\$ On écrit $A=B$

ما يجب معرفته

$(A=B) \Leftrightarrow (A \subset B~~et~~B \subset A)$

خاصية

Soient $A,B$ et $C$ des ensembles, on a:

  1. $A=A \\[0.2cm]$
  2. $(A=B) \Rightarrow (B=A) \\[0.2cm]$
  3. $(A=B ~~\text{et}~~ B=C) \Rightarrow (A=C)$

تطبيق

Soit $F$ l'ensemble définit par:

$F=\{x\in \mathbb{R} ~/~~ \frac{-1}{2} < \frac{x}{x^2+4}<\frac{1}{2}\}$

  • Montrons que : $~F=R$

$\begin{aligned}F&=\{x\in \mathbb{R} ~/~~ \frac{-1}{2} < \frac{x}{x^2+4}<\frac{1}{2}\}\\[0.2cm] &= \{x\in \mathbb{R} ~/ ~~\frac{-1}{2} < \frac{x}{x^2+4} ~ \text{et} ~\frac{x}{x^2+4}<\frac{1}{2}\}\\[0.2cm] &=\{x\in \mathbb{R}~ /~~ 0<(x+1)^2+3 ~\text{et}~0<(x-1)^2+3\}\end{aligned}\\$

Tous les éléments de l'ensemble $\mathbb{R}$ vérifient les deux conditions suivantes

$0<(x+1)^2+3 \quad $ et $\quad 0<(x-1)^2+3$

Alors: $F=R$

Vidéo Egalité de deux ensembles
15 min
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Inclusion

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Les ensembles
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