Limite à l’infini

Limite finie en +∞ , en -∞

Activité

Considérons la fonction $f: \mathbb{R} \backslash\{1\} \rightarrow \mathbb{R}$ $x \mapsto \frac{2 x}{x-1}$ La courbe représentative de $f$ : x -1010 -103 -102 -10 10 102 103 1010 f(x) 1,999 1,998 1,98 1,81 2,22 2,02 2,002 2 A partir de la courbe et du tableau, lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes positives, c'est-à-dire lorsque $x$ tend vers $+\infty, f(x)$ tend vers $2 .$ On dit que la limite de $f(x)$ est 2 quand $x$ tend vers $+\infty$ et on écrit $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=2$ A partir de la courbe et du tableau, lorsque $x$ est négatif et s'éloigne de plus en plus de 0 , c'est-à-dire lorsque $x$ tend vers $-\infty, f(x)$ tend vers $2 .$ On dit que la limite de $f(x)$ est 2 quand $x$ tend vers $-\infty$ et on écrit $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=2$.

تعريف

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $] a,+\infty[$ avec a un réel quelconque .On dit que la fonction $f$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $+\infty$ si : $(\forall \varepsilon>0)(\exists B>0)\left(\forall x \in D_{f}\right)(x>B \Rightarrow|f(x)-l|<\varepsilon) .$ Et on écrit : $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=l$ Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $]-\infty, a[$ avec a un réel quelconque .On dit que la fonction $f$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $-\infty$ si : $(\forall \varepsilon>0)(\exists B>0)\left(\forall x \in D_{f}\right)(x<-B \Rightarrow|f(x)-l|<\varepsilon)$.Et on écrit: $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=l$

ما يجب معرفته

L’interprétation géométrique

- $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=l$,la courbe de la fonction se rapproche de plus en plus de la droite d'équation $y=l$ quand $x$ tend vers $+\infty$. - $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=l$,la courbe de la fonction se rapproche de plus en plus de la droite d'équation $y=l$ quand $x$ tend vers $-\infty$. -Et alors on dit que la droite $y=l$ est une asymptote horizontale.

Remarque

- Si $f$ est paire : $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ - Si $f$ est impaire : $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$

ما يجب معرفته

La position de la courbe par rapport à l’asymptote horizontale

Cette position se détermine par le signe de $f(x)-l$. 1- Si $f(x)-l \geq 0$, alors $C_{f}$ est au-dessus de l'asymptote. 2- Si $f(x)-l \leq 0$, alors $C_{f}$ est au-dessous de l'asymptote.

Remarque

: Cas des fonctions usuelles $\text { Les fonctions } \chi \longmapsto \frac{k}{|x|} ; x \longmapsto \frac{k}{\sqrt{|x|}} ; x \longmapsto \frac{k}{|x|^{n}} ; \forall(k, n) \in \mathbb{R} \times \mathbb{N}^{*} \text { . }$ Toutes les courbes représentatives de ces fonctions admettent l’axe des absices comme asymtote.

Exemples

Soit: $f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}$ Déterminons $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ et $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x):$ $\forall x \in \mathbb{R}^{*}:$ On a $x^{2}+1 \geq x^{2}$ Alors $:|f(x)| \leq \frac{1}{x^{2}}$ et on a $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x^{2}}=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{1}{x^{2}}=0$ Donc: $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=0$ Soit: $f(x)=\frac{-5 x^{2}+1}{x^{2}}$ Montrons que $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-5$ : $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)-(-5)=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{-5 x^{2}+1+5 x^{2}}{x^{2}}=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{1}{x^{2}}=0$ Donc: $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-5$ Limite infinie en +∞ , en -∞ :

Activité

Considérons la fonction $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ $x \mapsto x^{3}$ La courbe représentative de $f$ : x -10100 -1010 -10 10 1010 10100 f(x) -10300 -1030 -103 103 1030 10300 A partir de la courbe et du tableau, lorsque $x$ prend des valeurs de plus en plus grandes positives, c'est-à-dire lorsque $x$ tend vers $+\infty, f(x)$ tend vers $+\infty$.On dit que la limite de $f(x)$ est $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ et on écrit $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ A partir de la courbe et du tableau, lorsque $x$ est négatif et s'éloigne de plus en plus de 0 , c'est-à-dire lorsque $x$ tend vers $-\infty, f(x)$ tend vers $-\infty$.On dit que la limite de $f(x)$ est $-\infty$ quand $x$ tend vers $-\infty$ et on écrit $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty .$

تعريف

Soit $f$ une fonction définie sur intervalle de la forme $] a,+\infty[$ où a un réel quelconque. On dit que la fonction $f$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ si : $(\forall A>0)(\exists B>0)\left(\forall x \in D_{f}\right)(x>B \Rightarrow f(x)>A) .$ Et on écrit : $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=-\infty \mathrm{si}:(\forall A>0)(\exists B>0)\left(\forall x \in D_{f}\right)(x>B \Rightarrow f(x)<-A)$ $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty$ si $:(\forall A>0)(\exists B>0)\left(\forall x \in D_{f}\right)(x<-B \Rightarrow f(x)<-A)$. $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=+\infty$ si $:(\forall A>0)(\exists B>0)\left(\forall x \in D_{f}\right)(x<-B \Rightarrow f(x)>A)$.

Remarque

: Cas des fonctions usuelles $\begin{array}{l}\text { Soit } n \in \mathbb{N}^{*}=\\\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{n}=+\infty ; \text { si n est paire ; } \lim _{x \rightarrow-\infty} x^{n}=-\infty \text { si n est impaire ; } \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x}=+\infty \text { . }\end{array}$

Limite en un réel a

Activité

Considérons les fonctions $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ et $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ et $x \mapsto x^{3} \quad x \longmapsto \frac{1}{x}$ x -0,2 -0,1 -0,001 -10-30 10-30 0,001 0,1 0,2 f(x) -0,008 -0,01 -10-9 -10-90 10-90 10-9 0,001 0,008 A partir du tableau, lorsque $x$ se rapproche de 0 , c'est-à-dire lorsque $x$ tend vers 0 , $f(x)$ tend vers $0 .$ On dit que la limite de $f(x)$ est 0 quand $x$ tend vers 0 et on écrit $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$ x -0,2 -0,1 -0,001 -10-30 10-30 0,001 0,1 0,2 g(x) -5 -10 -1000 -1030 1030 1000 10 5 A partir du tableau, lorsque $x$ se rapproche de 0, c'est-à-dire lorsque $x$ tend vers 0, $g(x)$ tend vers $+\infty$.On dit que la limite de $g(x)$ est $+\infty$ quand $x$ tend vers 0 et on écrit $\lim _{x \rightarrow 0} g(x)=+\infty$.

تعريف

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $] a-r, a+r[$ ou un intervalle de la forme $] a-r, a+r\left[-\{r\}\right.$ tel que $r \in \mathbb{R}^{+*} \cdot f$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $a$ si : $(\forall \varepsilon>0)(\exists \alpha>0)\left(\forall x \in D_{f}\right)(0<|x-a|<\alpha \Rightarrow|f(x)-l|<\varepsilon)$ et on écrit $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=l$

خاصية

$\text { Si } f \text { admet une limite } l \text { en } a \text { alors cette limite est unique. }$

Remarque

$\lim _{x \rightarrow a}|f(x)|=l \Leftrightarrow \lim _{x \rightarrow a} f(x)=l$ ou $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=-l$ Cas des fonctions usuelles: Soit $n \in \mathbb{N}^{*}: \quad \lim _{x \rightarrow 0} x^{n}=0$

Exemples

$\lim _{x \rightarrow 0} x=0 ; \lim _{x \rightarrow 0} x^{4}=0$

Limite à droite ,limite à gauche

Activité

Considérons la fonction $f: \mathbb{R} \backslash\{2\} \rightarrow \mathbb{R}$ $\chi \longmapsto \frac{|x-2| x}{x-2}$ A partir de la courbe et du tableau, lorsque $x$ se rapproche de 2 sur la droite, $f(x)$ se rapproche de 2 . On dit que la limite de $f(x)$ est 2 quand $x$ tend vers 2 à droite et on écrit $\lim _{x \rightarrow 2} f(x)=2$. A partir de la courbe et du tableau, lorsque $x$ se rapproche de 2 sur la gauche, $f(x)$ se rapproche de $-2$.On dit que la limite de $f(x)$ est $-2$ quand $x$ tend vers 2 à gauche et on écrit $\lim _{x \rightarrow 2 \atop x<2} f(x)=-2$.

تعريف

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $] a, a+r\left[\right.$ tel que $r \in \mathbb{R}^{+*} \cdot f$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $a$ à droite si la proposition suivante est vraie:$(\forall \varepsilon>0)(\exists \alpha>0)\left(\forall x \in D_{f}\right)(a<x<a+\alpha \Rightarrow|f(x)-l|<\varepsilon) . \mathrm{Et} \quad$ on écrit $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=l$ ou $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=l$ Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $] a-r, a\left[\right.$ tel que $r \in \mathbb{R}^{+*} . f$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $a$ à gauche si la proposition suivante est vraie:$(\forall \varepsilon>0)(\exists \alpha>0)\left(\forall x \in D_{f}\right)(a-\alpha<xExemple Soit la fonction $f: x \mapsto \frac{(x+5)^{2}}{\left|x^{2}-5\right|}$ : Pour étudier la limite de $f$ en $a=-5$, déterminons $\lim _{x \rightarrow-5^{+}} f(x)$ et $\lim _{x \rightarrow-5^{-}} f(x)=l$ $\forall x \in \mathbb{R} \backslash\{5,-5\}:$ Si $-5<x<5: f(x)=\frac{(x+5)^{2}}{|x+5||x-5|}=-\frac{x+5}{x-5}$ Donc: $\lim _{x \rightarrow-5^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow-5^{+}}-\frac{x+5}{x-5}=0$ Si $x<-5: f(x)=\frac{(x+5)^{2}}{|x+5||x-5|}=\frac{x+5}{x-5}$ Donc: $\lim _{x \rightarrow-5^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow-5^{-}} \frac{x+5}{x-5}=0$ Finalement $\lim _{x \rightarrow-5^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow-5^{+}} f(x)=0$ et on en déduit $\lim _{x \rightarrow-5} f(x)=0$ Remarque :

Interprétation géométrique

Si la fonction $f$ vérifie l'une des limites suivantes: $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=+\infty$ ou $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=-\infty$ ou $\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=+\infty$ ou $\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=-\infty$ alors on dit que la droite $x=a$ est une asymtote verticale.

Opérations sur les limites finies

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