Espaces vectoriels

Structure d’espace vectoriel

تعريف

Soit $E$ un ensemble, on appelle loi de composition externe sur $E$ toute application de $\mathbb{K} \times E \rightarrow E$ qui à tout élément $x$ de $E$ et tout scalaire $\lambda$ de $\mathbb{K}$ associe un élément de $E$ que l’on note $\lambda \cdot x$ ou encore $\lambda x$.


image/svg+xml Remarque

  • Dans la définition précédente, on peut avoir $E= \mathbb{K}$ ; et dans ce cas, on parle d’une loi de composition interne. Ainsi, toute loi de composition interne sur $E$ peut être considérée comme une loi de composition externe sur $E$ à coefficients dans $E.\\[0.2cm]$
  • Au cours de ce chapitre, on prendra $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ comme corps de référence.

مثال

1) L'ensemble $M_2(\mathbb{R}) :$ ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels . $\\[0.2cm]$ Pour toute matrice $M=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ et pour tout réel $\alpha$, on appelle produit de $\alpha$ par $M$, et on le note $\alpha M$, la matrice: $\left(\begin{array}{ll}\alpha a & \alpha b \\ \alpha c & \alpha d\end{array}\right)\\[0.2cm]$ On a alors obtenu une loi de composition externe de $\mathbb{R}$ sur $M_2(\mathbb{R})\\[0.2cm]$ Cette loi s'appelle multiplication d'une matrice par un réel. $\\[0.3cm]$ 2) L'ensemble $\mathbb{R}^n (n \in \mathbb{N}): $ ensemble des n-uplets . $\\[0.2cm]$ Pour tout $X=\left(x_{1} ; x_{2} ; \ldots ; x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}$, et pour tout réel $\alpha$, on appelle produit de $x$ par $\alpha$, et on le note $\alpha x , \\$ le n-uplet $~\alpha X=\left(\alpha x_{1} ; \alpha x_{2} ; \ldots, ; \alpha x_{n}\right).\\[0.2cm]$ On a alors obtenu une loi de composition externe de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}^{n}.\\[0.2cm]$ Dans l'usage pratique, on prend souvent $\mathbb{R}^{2}$ (ensemble des couples) et $\mathbb{R}^{3}$ (ensemble des triplets)

تعريف

On appelle espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ ( $\mathbb{R}$-espace vectoriel) tout ensemble $E$ muni d’une loi de composition interne notée + et d’une loi de composition externe notée . tel que : $\\[0.2cm]$

  1. $(E , +)$ est un groupe commutatif $\\[0.2cm]$
  2. La loi externe . vérifie les quatre propriétés : $\\$
  1. Pour tous éléments $(\lambda ; \mu)$ de $\mathbb{R}$ et tout élément $x$ de $E$ on a : $\\ (\lambda+\mu) x=\lambda$. $x+\mu \cdot x$
  2. Pour tout élément $\lambda$ de $\mathbb{R}$ et tous éléments $x, y$ de $E$ on a : $\\ \lambda \cdot(x+y)=\lambda \cdot x+\lambda \cdot y $
  3. Pour tous éléments $(\lambda ; \mu)$ de $\mathbb{R}$ et tout élément $x$ de $E: \\ \lambda \cdot(\mu \cdot x)=(\lambda \mu) \cdot x$
  4. Pour tout élément $x$ de $E: ~1 . x=x$

مثال

On muni $\mathbb{R}^2$ des deux lois suivantes: $\\[0.2cm]$ Définition de la loi interne: Si $(x ; y)$ et $\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right)$ sont deux éléments de $\mathbb{R}^{2}$, alors : $\\[0.2cm]$ $(x ; y)+\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right)=\left(x+x^{\prime} ; y+y^{\prime}\right)\\[0.2cm]$ Définition de la loi externe: Si $\lambda$ est un réel et $(x, y)$ est un élément de $\mathbb{R}^{2}$, alors $: \lambda \cdot(x, y)=(0, \lambda y)\\[0.2cm]$ Est-ce que $\left(\mathbb{R}^{2} ;+;\right)$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{R} ? \\[0.2cm]$ Non $~\left(\mathbb{R}^{2} ;+_{;}\right)~$ n'est pas un espace vectoriel car il ne vérifie pas par exemple l'axiome suivante : $~\forall(x ; y) \in \mathbb{R}^{2} 1(x ; y)=(x ; y)\\[0.2cm]$ en effet : $~1(1 ; 1)=(0 ; 1) \neq(1 ; 1)$

image/svg+xml Remarque

En pratique, les opérations ≪+≫ et ≪.≫ sont le plus souvent utilisées sans ambiguïté .$\\[0.2cm]$ En conséquence, l’espace vectoriel réel $(E ; + ; . )$ sera plus simplement noté $E$ , et on dira que $E$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel

مثال

1) Le corps $(\mathbb{R} ; + ; \times )$ est un espace vectoriel réel. $\\[0.2cm]$ 2) L'ensemble $\mathbb{C}$ est un espace vectoriel réel si on le munit de son addition ≪+≫ et de la loi externe ≪.≫ : $\\$

$\mathbb{R} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \\ (\alpha ; x) \rightarrow \alpha \cdot x \\$

3) L'espace vectoriel des polynômes de degrés inférieur à un entier naturel $n$ se note $\mathbb{R}_n[x]\\[0.2cm]$ $(\mathbb{R}_n[x] ; + ; . )$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}\\[0.2cm]$ 4) L'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 , on le note : $\\$

$M_{3}(\mathbb{R})=\left\{\left(\begin{array}{lll} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{array}\right) /(a ; b ; c ; d ; e ; f ; g ; h ; i) \in \mathbb{R}^{9}\right\} \\$

$\left(M_{3}(\mathbb{R}); +; \cdot\right)$ et un espace vectoriel sur $\mathbb{R} .\\[0.2cm]$ De même: $\left(M_{2}(\mathbb{R}) ;+; \cdot\right)$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$.

Règles de calcul dans un espace vectoriel réel

خاصية

Soit $(E ; + ; . )$ un espace vectoriel réel, alors :$\\$

  1. Tout vecteur de $E$ est un élément régulier dans $(E ; +)\\$
  2. Pour tout $\vec{x} \in E ~:~ 0 \vec{x} =\vec{0} \\$
  3. Pour tout $\alpha \in \mathbb{R} ~: ~ \alpha \cdot \vec{0} = \vec{0} \\$
  4. Pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$ et pour tout $ \vec{x} \in E: \alpha \vec{x}=\vec{0} \Leftrightarrow ~(\alpha=0 ~\text{ou} ~\vec{x}=0)$

برهان

1) Puisque $(E , +)$ est un groupe commutatif alors tout vecteur de $E$ est régulier par l'addition $\\[0.3cm]$ 2) On a pour tout $\vec{x} \in E : \\ 0 \vec{x}+\overrightarrow{0}=0 \vec{x} \Leftrightarrow 0 \vec{x}+\overrightarrow{0}=0 \vec{x}+0 \vec{x} \Leftrightarrow 0 \vec{x}=\overrightarrow{0} \\[0.3cm]$ 3) On a pour tout $\alpha \in \mathbb{R} : \\ \alpha \overrightarrow{0}=\alpha\left(\overrightarrow{0}+ \overrightarrow{0}\right) \Leftrightarrow \overrightarrow{0}+\alpha \overrightarrow{0}=\alpha \overrightarrow{0}+\alpha \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \alpha \overrightarrow{0}=\overrightarrow{0} \\[0.3cm]$ 4) Soit $\alpha \in \mathbb{R}~$ et $~\vec{x} \in E : \\[0.2cm]$ $(\Leftarrow):~$ déjà montrée en 1) et 2) $\\[0.2cm]$ $(\Rightarrow) : ~$ Supposons que $\alpha \vec{x}=\vec{0} \\[0.2cm]$ Si $~\alpha \neq 0 ,$ alors $~\frac{1}{\alpha}\left(\alpha \vec{x}\right)=\left(\frac{\alpha}{\alpha}\right) \vec{x}=\overrightarrow{0}\\$ (D'après la définition de l'espace vectoriel) $\\[0.2cm]$ Il s'ensuit : $~1 \cdot \vec{x}=\vec{0},~$ et donc $~\vec{x}= \vec{0},~$ d'où le résultat.

خاصية

Soit $(E ; + ; .)$ un espace vectoriel réel, alors :

  1. Pour tous $\alpha \in \mathbb{R}$ et pour tout $\vec{x} \in E:~(-\alpha) \vec{x}=\alpha(-\vec{x})=-(\alpha \vec{x})\\[0.2cm]$
  2. Pour tout $(\vec{u} ; \vec{v}) \in E^{2}$. L'équation $\vec{x}+\vec{u}=\vec{v}$ admet une solution unique dans $E$. Cette solution est $~\vec{x}=\vec{v}+(-\vec{u})=\vec{v}-\vec{u} \quad(\vec{v}-\vec{u}$ étant la différence des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ dans cet ordre ) $\\[0.2cm]$
  3. Pour tous $(\alpha ; \beta) \in \mathbb{R}^{2}$ et pour tout $(\vec{x} ; \vec{y}) \in E^{2}: ~\alpha(\vec{x}-\vec{y})=\alpha \vec{x}-\alpha \vec{y}~$ et $~(\alpha-\beta) \vec{x}=\alpha \vec{x}-\beta \vec{x}$

Sous-espace vectoriel

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