Les fonctions primitives

Hello guys! Savez vous que le grand physicien Isaac Newton et le grand mathématicien philosophe Gottfried Leibniz sont considérés comme co-inventeurs du calcul différentiel et Intégral.

Calcul intégral 

Êtes-vous prêts les amis à plonger dans le cerveau de ces deux grands scientifiques? $$\\$$ Let's do it! ...

تعريف

Soient $$f$$ et $$F$$ deux fonctions numériques définies sur un intervalle $$I$$ de $$\mathbb{R}.\\$$ On dit que la fonction $$F$$ est une primitive de la fonction $$f$$ sur $$I$$ si: $\\[0.2cm]$

  • $$F$$ est dérivable sur $$I$$
  • $$(\forall x \in I)~~F'(x)=f(x)\\[0.2cm]$$

تطبيق

Soit $$F$$ une fonction dérivable sur $$\mathbb{R}$$ telle que: $$F: x \rightarrow ln(\sqrt{1+x^2}+x) \\$$ On a:

$$\\[0.2cm]F'(x)=(ln(\sqrt{1+x^2}+x))' = \frac{(\sqrt{1+x^2})'+x'}{\sqrt{1+x^2}+x}= \frac{\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+1}{\sqrt{1+x^2}+x}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=f(x)\\[0.2cm]$$

Alors $$F$$ est la fonction primitive de $$f:x \rightarrow \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$

PS: En anglais on appelle une primitive: ANTIDERIVATIVE. Parce que le principe derrière la fonction primitive correspond au contraire de celui de la dérivation Voila un exemple facile à comprendre 😀

انتباه

1.Soit $$F$$ la primitive de la fonction $$f$$ sur $$I$$ .Alors toute fonction de la forme $$x \rightarrow F(x)+c$$ où $$c$$ est une constante réelle, est une primitive de $$f$$ (car la dérivée d'une constante est nulle)

PS:Il ne faut jamais oublier d'ajouter la constante c dans une primitive, laissez ce mème toujours devant vos yeux pour vous en rappeler 😀 2.Pour tout $$x_0 \in I$$ et $$y_0 \in \mathbb{R}$$, il existe une primitive unique $$G$$ de $$f$$ sur $$I$$ vérifiant:

$$\\G(x_0)=y_0\\$$

تطبيق

Trouver la primitive de $$f:x \rightarrow x^2$$ définit sur $$\mathbb{R}$$ telle que: $$G(1)=-1\\[0.2cm]$$ Solution: $$(\forall x \in \mathbb{R})~~~~G(x)=\frac{1}{3}x^3+c \\[0.2cm]$$ On a: $\\ \begin{aligned}G(1)=-1 &\Leftrightarrow \frac{1}{3}1^3+c=-1 \\&\Leftrightarrow c=\frac{-4}{3}\end{aligned}\\[0.2cm]$ D'où: $$(\forall x \in \mathbb{R})~~~~G(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{4}{3}$$

Continuité et fonction primitive

خاصية

Toute fonction continue sur un intervalle $$I$$ admet une primitive définie sur cet intervalle.

Opérations sur les primitives

خاصية

Si $F$ et $G$ sont des primitives des fonctions $f$ et $g$ sur un intervalle $I$, alors $\\ F + G$ est une primitive de $f + g$ sur $I.$ Car:

$$\\[0.2cm](F+G)^{'} = F^{'} + G^{'} = f + g$$

خاصية

Si $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur un intervalle $I$ et $c$ est un nombre réel, alors $cF$ est une primitive de $cf$ sur $I$. Car:

$$\\[0.2cm](cF)^{'} = cF^{'} = cf\\[0.2cm]$$

تطبيق

La fonction définie par $$F(x) = \frac{x^{4}}{4}$$ est une primitive sur l'ensemble des nombres réels de la fonction $f$ définie par $$f(x) = x^{3}.\\$$ La fonction définie par $$G(x) =3x$$ est une primitive de la fonction définie par $$g(x) = 3$$ sur $$\mathbb{R}.\\$$ Du coup, une primitive de la fonction $f + g$ sur $$\mathbb{R}$$ est donc $\\$ la fonction $F + G$ définie par $$F(x) + G(x) = \frac{x^{4}}{4}+ 3x$$ sur $$\mathbb{R}$$.

Tableau des primitives usuelles

Tableau des primitives

Vidéo Fonction primitive
15 min
Voir la vidéo

Calcul intégral

Définition et applications

تعريف

Soient $f$ une fonction continue sur l'intervalle $$I$$ et $$a$$, $$b$$ deux éléments de $$I$$. On appelle intégrale de la fonction $$f$$ de $a$ à $b$, le nombre:

$$\\ \int_{a}^{b} f(x) \,dx =[F(x)]^{b}_{a}= F(b)-F(a)\\$$

telle que: $$F$$ est la primitive de $$f$$ sur $$I$$.

ما يجب معرفته

Dans l'écriture $$\int_a^b f(x)\, dx$$, il est possible de remplacer la variable $$x$$ par une autre:

$$\\ \int_a^b f(x)\, dx=\int_a^b f(t)\, dt =\int_a^b f(y) \, dy\\$$

Voyons si vous pouvez comprendre ce même ... 😀 Sachant que $$\frac{d}{dy}$$ est la dérivée d'une fonction par rapport à la variable $y$

تطبيق

$$\int_{0}^{1} \frac{e^x}{1+4e^{2x}} \,dx = [\frac{1}{2} Arctan(2e^x)]_0^1 = \frac{1}{2} Arctan(2e^1)-\frac{1}{2} Arctan(2e^0)$$

خاصية

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $$[a;b]$$, on a:

  • $$\\ \int_a^b (f(x)+g(x))\, dx = \int_a^b f(x)\, dx + \int_a^b g(x)\, dx\\[0.2cm]$$
  • $$\int_a^b c.f(x)\, dx= c.\int_a^b f(x)\, d$$  avec $$c$$ une constante

خاصية

RELATION DE CHASLES $$\\$$ Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $$I=[a;b]$$ et $$c \in I$$ , alors :

$$\int_a^b f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx$$

ما يجب معرفته

  • $$\int_{a}^{a} f(x) dx = 0\\[0.2cm]$$
  • $$\int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(x) dx$$

تطبيق

Calcul des intégrales: $$\\[0.2cm] \begin{aligned} \int_{0}^{1} \frac{x+1}{1+2x} dx &= \int_{0}^{1} \frac{1}{2}.(\frac{2x+1}{2x+1}+\frac{1}{1+2x}) dx \\[0.2cm]&= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (1+ \frac{1}{2}.\frac{(1+2x)^{'}}{1+2x}) dx \\[0.2cm] &= [\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}ln(2x+1)]_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{1}{1+e^{x}} dx \\[0.2cm]& = \int_{0}^{1} \frac{1+e^{x}-e^{x}}{1+e^{x}} dx \\[0.2cm] &= [x-ln(1+e^{x})]^{1}_{0}\\[0.2cm] &= 1-ln(1+e^{1})+ln(2) \int_0^1 \frac{dx}{1+x^2} \\[0.2cm] &= \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx \\[0.3cm] &= [Arctan(x)]_0^1\\[0.2cm] &= Arctan(1)-Arctan(0)=\frac{\pi}{4}\end{aligned}$$

تطبيق

$$I=\int_0^\frac{\pi}{2} cos^2(x) dx$$ et $$ J=\int_0^\frac{\pi}{2} sin^2(x) dx\\[0.3cm]$$ Calcul de $$I+J$$ et $$I-J\\[0.2cm]$$ -Calculons $$I+J\\[0.2cm]$$ $$\begin{aligned}I+J &= \int_0^\frac{\pi}{2} \cos^2(x) d_{x} + \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^2(x) dx\\[0.2cm]&= \int_0^\frac{\pi}{2} (\cos^2(x)+\sin^2(x)dx\\[0.2cm]&= \int_0^\frac{\pi}{2} 1 dx = [x]_0^\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\end{aligned} \\[0.2cm]$$ D'où: $$I+J= \frac{\pi}{2}\\[0.2cm]$$ -Calculons $I-J$ $$\\[0.2cm]\begin{aligned} I-J &= \int_0^\frac{pi}{2} \cos^2(x) dx - \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^2(x) dx\\[0.2cm]&= \int_0^\frac{pi}{2} (\cos^2(x)-\sin^2(x))dx\\[0.2cm]&=\int_0^\frac{pi}{2} \cos(2x) dx\\[0.2cm]&=[\frac{1}{2} \sin(2x)]_0^\frac{\pi}{2}\\[0.2cm]&=\frac{1}{2} \sin(\frac{2\pi}{2})-\frac{1}{2}\sin(0)=0 \end{aligned} \\[0.2cm]$$ D'où: $$I-J=0\\[0.2cm]$$ $$\left\{ \begin{array}{lcl} I+J=\frac{\pi}{2}\\ I-J=0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{lcl} 2I=\frac{\pi}{2}\\ 2J=\frac{\pi}{2} \\ \end{array} \right.\Rightarrow I=J=\frac{\pi}{4} $$

Expression d'une primitive à l'aide d'une intégrale

نظرية

Soient $$f$$ une fonction continue sur un domaine $$I$$ et $$a$$ un élément de $$I\\$$ La fonction $$\phi$$ définie sur $$I$$ par:

$$\phi (x) = \int_a^x f(t) \,dt$$

est la primitive de $$f$$ sur le domaine $$I$$, s'annulant en $$a.\\$$

No Worries guys! une intégrale non définie d'une fonction n'est que sa fonction primitive! Venez voir la vidéo du cours pour mieux comprendre le concept  

تطبيق

Soit $$f$$ la fonction numérique définie par $$f: x \rightarrow \frac{\cos(x)}{x^2+1}\\$$ La primitive de la fonction $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ et qui s'annule en $5$ est: $$\\ \phi(x)= \int_5^x \frac{cos(t)}{t^2+1} \,dt.\\$$ en fait: $$\phi'(x)=(\int_5^x \frac{cos(t)}{t^2+1} \,dt)'=\frac{cos(x)}{x^2+1}=f(x)$$

نظرية

Soient $$f$$ une fonction continue sur un domaine $$I$$ et $$v$$ une fonction dérivable sur un domaine $$E$$ telles que $$v(E) \subset I, $$ alors:

$$(\forall a \in I)~~~~\phi : x \rightarrow \int_a^{v(x)} f(t)\,dt$$

est dérivable sur $$E$$ et on a:

$$(\forall x \in E)~~ \phi'(x)=(\int_a^{v(x)} f(t)\,dt)'=v'(x)f(v(x))$$

تطبيق

$$(\forall x \in \mathbb{R})~~~~H(x)=\int_0^{x^2+2x} \sqrt{1+t} \, dt\\$$ Montrons que $$H$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ et calculons $$H'(x)\\$$ On a: $$\\[0.2cm]\left\{ \begin{array}{lcl} v:x \rightarrow x^2+2x~~ , \text{est dérivable sur} \mathbb{R}\\[0.2cm] v(\mathbb{R}) \subset [-1;+\infty[ ~~~~~(\text{car}~(x+1)^2>0, \Rightarrow , x^2+2x>-1)\\[0.2cm] x\rightarrow \sqrt{x+1}~~~\text{est continue sur} ~[-1;+\infty[ \end{array} \right. \\$$ Alors: $$H$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ et on a:$\\$ Soit $$x \in \mathbb{R} \\[0.2cm]$$ $$\begin{aligned} H'(x)=(\int_0^{x^2+2x} \sqrt{1+t}d_t)'&=(x^2+2x)'\sqrt{1+(x^2+2x)}\\[0.2cm]&=2(x+1)(|x+1|)$$

ما يجب معرفته

Le cas général $$\\$$Soient $$u$$ et $$v$$ deux fonctions dérivables sur $$E$$ telles que $$u(E)\subset I$$ et $$v(E) \subset I$$ et $$f$$ une fonction continue sur $$I\\[0.2cm]$$ Alors la fonction $$\phi:x \rightarrow \int_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt $$ est dérivable sur $$E$$ et on a: $$\\[0.2cm] \phi'(x)=(\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt)'=v'(x)f(v(x))-u'(x).f(u(x))$$

تطبيق

On a: $$(\forall x \in \mathbb{R})~~~F(x)=\int_{\cos(x)}^{\sin(x)}\sqrt{1-t^2} \, dt \\ $$ $$ u: x \rightarrow \cos(x)$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ et $$u(\mathbb{R}) \subset [-1;1]\\$$ $$v:x \rightarrow \sin(x)$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ et $$v(\mathbb{R}) \subset [-1;1]\\$$ $$x \rightarrow \sqrt{1-x^2}$$ est continue sur $$[-1;1]\\$$ Alors la fonction $$F$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}\\$$ Soit $$x$$ un élément de $$\mathbb{R}\\[0.2cm]$$ $$F'(x)=(\int_{\cos(x)}^{\sin(x)}\sqrt{1-t^2} \, dt)'\\$$ $$\hspace{1cm}=\sin'(x)\sqrt{1-\sin^2(x)}-\cos'(x)\sqrt{1-\cos^2(x)}\\$$ $$\hspace{1cm}=\cos(x)\sqrt{\cos^2(x)}+\sin(x)\sqrt{\sin^2(x)}\\$$ $$\hspace{1cm}=\cos(x).|\cos(x)|-\sin(x)|\sin(x)|$$

Techniques de calcul d'intégrales

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