Dérivabilité d'une fonction numérique (Rappels)

Dérivabilité d'une fonction en un point

تعريف

Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert $I$ et $x_{0}$ un élément de $I\\$ On dit que $f$ est dérivable en $x_{0}$ s'il existe un réel $\ell$ tel que :

$\lim_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\ell .\\$

Le nombre $\ell$ est appelé le nombre dérivé de la fonction $f$ en $x_{0}$. Il est noté $f^{\prime}\left(x_{0}\right)$.

image/svg+xml Remarque

- Parfois, notamment en physique, on adopte la notation $\frac{d f}{d x}\left(x_{0}\right)$ pour le nombre dérivé de $f$ en $x_{0}.\\$ On trouve également, la notation $f\left(x_{0}\right)$, lorsque la variable désigne le temps.$\\[0.2cm]$ - Un simple changement d'écriture montre, en s'appuyant sur la composition des limites, que $f$ est dérivable en $x_{0}$ si la fonction $\\h \mapsto \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}$ a une limite finie en $0$ et alors :

$\\[0.2cm]f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}\\[0.2cm]$

- La notion de dérivabilité, étant définie à l'aide d'une limite, est une notion locale.

تعريف

Soit $f$ une fonction dérivable en $x_{0}.\\$ La droite $(T)$ d'équation $y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right)$ est appelée la tangente à la courbe $C_{f}$ de la fonction $f$ au point d'abscisse $x_{0}.\\[0.2cm]$ La fonction $x \mapsto f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right)$ s'appelle l'approximation affine de $f$ au voisinage de $x_{0}.\\[0.2cm]$ On écrit alors: $f(x) \approx f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right)$ au voisinage de $x_{0}$ ou $f\left(x_{0}+h\right) \approx h f^{\prime}\left(x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right)$ au voisinage de $0$

Dérivabilité à droite - Dérivabilité à gauche

تعريف

- Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle du type $\left[x_{0}, x_{0}+r\left[\right.\right.\\$ où $r \in \mathbb{R}_{+}^{*}.\\[0.2cm]$ On dit que $f$ est dérivable à droite de $x_{0}$ s'il existe un réel $\ell_{1}$ tel que:

$\lim_{x \rightarrow x{0}^{+}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\ell_{1}.\\[0.2cm]$

Le nombre $\ell_{1}$ est appelé le nombre dérivé de la fonction $f$ à droite en $x_{0}\\[0.2cm]$ Il est noté $f_{d}^{\prime}\left(x_{0}\right).\\[0.2cm]$ - Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle du type $\left.] x_{0}-r, x_{0}\right]\\$ où $r \in \mathbb{R}_{+}^{*}.\\[0.2cm]$ On dit que $f$ est dérivable à gauche de $x_{0}$ s'il existe un réel $\ell_{2}$ tel que:

$\lim_{x \rightarrow x{0}^{-}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\ell_{2}.\\[0.2cm]$

Le nombre $~\ell_{2}~$ est appelé dérivé de la fonction $f$ à gauche en $x_{0}.\\[0.2cm]$ Il est noté $~f_{g}^{\prime}\left(x_{0}\right)$.

Proposition

Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert $I$ et $x_{0}$ un élément $\\$ de $I$. $\\[0.2cm]$ La fonction $f$ est dérivable en $x_{0}$ si, et seulement si, elle est dérivable à droite et à gauche en $x_{0}$, avec $f_{d}^{\prime}\left(x_{0}\right)=f_{g}^{\prime}\left(x_{0}\right)$, et dans ce cas :

$\\f^{\prime}\left(x_{0}\right)=f_{d}^{\prime}\left(x_{0}\right)=f_{g}^{\prime}\left(x_{0}\right)$

Vidéo Rappels sur la dérivation
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Dérivibalité d'une fonction sur un intervalle

تعريف

Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle $I.\\[0.2cm]$ - On dit que f est dérivable sur $I$ si elle est dérivable en tout point $x$ de $I . \\$ - On note $f^{\prime}$ la fonction qui à $ x \in I$ associe le nombre dérivée de $f$ en $x .\\$ - On l'appelle la fonction dérivée de $f$, ou plus simplement la dérivée de $f$, on écrit aussi :$~f^{\prime}=\frac{d f}{d x}$.

Tableau des Dérivées Usuelles
Fonction Dérivée Condition
 $k$ constante $0$  
 $\frac{1}{x}$  $-\frac{1}{x^{2}}$ $x \neq 0$
 $x^{n}$  $n.x^{n-1}$  
$\frac{1}{x^{n}}$ $-\frac{1}{n.x^{n-1}}$ $x \neq 0$
$\sqrt{x}$ $-\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ $x>0$
$\cos (x)$ $-\sin (x)$  
$\sin (x)$ $\cos (x)$  
$\tan (x)$ $\frac{1}{\cos (x)^{2}}=1+\tan(x)^{2}$ $x \neq \frac{\pi}{2}+2k{\pi}$
$\arccos (x)$ $\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ $x \in]-1,1[$
$\arcsin (x)$ $-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ $x \in]-1,1[$

 

Vidéo Dérivabilité d'une fonction sur un intervalle
15 min
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OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS DÉRIVABLES

Proposition

Soit $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et $\alpha \in \mathbb{R}$. Alors :

  • $(f+g)^{\prime}=f^{\prime}+g^{\prime}$
  • $(\alpha f)^{\prime}=\alpha f^{\prime}$
  • $(f \cdot g)^{\prime}=f^{\prime} \cdot g+g^{\prime} \cdot f $
  • $\left(f^{n}\right)^{\prime}=n \cdot f^{\prime} \cdot f^{n-1}$
  • Si la fonction $g$ ne s'annule pas sur $I$, alors:

$\\[0.2cm]\left(\frac{1}{g}\right)^{\prime}=-\frac{g^{\prime}}{g^{2}} \quad$ et $\quad\left(\frac{f}{g}\right)^{\prime}=\frac{f^{\prime} \cdot g-f g^{\prime}}{g^{2}}$

  • Enfin, si $f$ est strictement positive sur $I$, alors: $~(\sqrt{f})^{\prime}=\frac{f^{\prime}}{ \sqrt[2]{f}}$

انتباه

Avant de dériver une fonction, il ne faut pas oublier de vérifier et rappeler que la fonction en question est définie et dérivable sur l'intervalle considéré.

Vidéo Dérivation des fonctions usuelles et opérations sur la dérivée
15 min
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Compléments sur la dérivation

DÉRIVABILITÉ ET CONTINUITÉ

Proposition

Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle $I$ et $x_{0}$ un élément de $I.\\$ Si $f$ est dérivable en $x_{0}$, alors $f$ est continue en $x_{0}$.

image/svg+xml Remarque

- Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.$\\[0.2cm]$ - La réciproque de la proposition 3 est fausse. Par exemple, la fonction $\\ x \mapsto|x|$ est continue en $0$ mais n'est pas dérivable en $0$ .

DÉRIVÉE DE LA FONCTION COMPOSÉE

Proposition

Soit $I$ et $J$ deux intervalles ouverts, et $f: I \rightarrow \mathbb{R}~$ et $~g: J \rightarrow \mathbb{R}$ deux fonctions numériques, avec $f(I) \subset J .\\[0.2cm]$ Soit $x_{0}$ un élément de $I$ . Si : $\\[0.2cm]$- La fonction $f$ est dérivable en $x_{0}.\\[0.2cm]$ - La fonction $g$ est dérivable en $y_{0}=f\left(x_{0}\right).\\[0.2cm]$ Alors la fonction $g \circ f$ est dérivable en $x_{0}$ et de plus:

$\\(g \circ f)^{\prime}\left(x_{0}\right)=f^{\prime}\left(x_{0}\right) \times g^{\prime}\left(f\left(x_{0}\right)\right)$

Corollaire

Si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ et $g$ est dérivable sur un intervalle $J\\$ tel que $f(I) \subset J\\[0.2cm]$ Alors $g \circ f$ est dérivable sur $I$ et de plus, pour tout $x \in I: \\$

$(g \circ f)^{\prime}(x)=f^{\prime}(x) \times g^{\prime}(f(x))$.

Vidéo Dérivée de la composée de deux fonctions
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Dérivée de la fonction racine n-ième

Proposition

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2 .\\[0.2cm]$

- La fonction $x \mapsto \sqrt[n]{x}~$ est dérivable sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$ et on a pour tout $x \in \mathbb{R}{+}^{}$ : $\\$

$(\sqrt[n]{x})^{\prime}=\left(x^{\frac{1}{n}}\right)^{\prime}=\frac{1}{n} x^{\frac{1}{n}-1}=\frac{1}{n \cdot \sqrt[n]{x^{n-1}}}\\[0.2cm]$

- Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ alors la fonction $x \mapsto \sqrt[n]{u(x)}~$ est dérivable sur $I$ et sa fonction dérivée est donnée par: $\\$

$(\sqrt[n]{u(x)})^{\prime}=\frac{1}{n} u^{\prime}(x)(u(x))^{\frac{1}{n}-1}=\frac{u^{\prime}(x)}{n(\sqrt[n]{u(x)})^{n-1}}$

مثال

1) La fonction $x \mapsto \sqrt[3]{x}$ est dérivable sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$, et on a pour tout $x \in \mathbb{R}_{+}^{*}:$

$\\[0.2cm](\sqrt[3]{x})^{\prime}=\frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{x^{2}}}\\[0.3cm]$

2) On considère la fonction $f$ définie par: $f(x)=\sqrt[3]{8 x-5}\\[0.2cm]$ La fonction $u: x \mapsto 8x-5$ est dérivable et strictement positive sur l'intervalle $] \frac{5}{8} ;+\infty[.\\[0.2cm]$ Par conséquent La fonction $f$ est dérivable sur $\left]\frac{5}{8} ;+\infty[\right.$ et on a pour tout $x \in] \frac{5}{8} ;+\infty[$ : $\\[0.2cm]f^{\prime}(x)=\frac{1}{3} u^{\prime}(x)(u(x))^{\frac{1}{3}-1}=\frac{8}{3}(8x-5)^{-\frac{2}{3}}=\frac{8}{3 . \sqrt[3]{(8x-5)^{2}}}$

تطبيق

Calculer la dérivée de chacune des fonctions numériques suivantes: $\\[0.2cm]f(x)=\sqrt[4]{3+\cos ^{2} x} \quad ; \quad g(x)=x . \sqrt[7]{x^{2}-x} \\[0.2cm]$ $h(x)=\sqrt[3]{\left(x^{3}-1\right)^{4}} \quad ; \quad k(x)=\sin \left(\sqrt[3]{x^{2}+x+1}\right)$

Proposition

Soit $r$ un nombre rationnel non nul. $\\[0.2cm]$ - La fonction numérique $x \mapsto x^{r}$ est dérivable sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$, et sa dérivée est $\\$ la fonction $~x \mapsto r.x^{r-1}.\\[0.2cm]$ - Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$, alors la fonction numérique $x \mapsto(u(x))^{r}~$ est dérivable sur $I$ et sa fonction dérivée est donnée par la formule :  $\\$

$((u(x))^{r})^{\prime}=r u^{\prime}(x) \cdot(u(x))^{r-1}$

Vidéo Les fonction arctan et racine nème
15 min
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Étude des fonctions numériques ( Rappels)

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