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Maths
Dérivation et étude de fonctions
2ème année bac Sciences Physiques Maths Dérivation et étude de fonctions fiche de cours
Dérivabilité d'une fonction numérique (Rappels)
Dérivabilité d'une fonction en un point
تعريف
Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert $I$ et $x_{0}$ un élément de $I.\\$ On dit que $f$ est dérivable en $x_{0}$ s'il existe un réel $\ell$ tel que :
$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\ell .\\$
Le nombre $\ell$ est appelé le nombre dérivé de la fonction $f$ en $x_{0}$. Il est noté $f^{\prime}\left(x_{0}\right)$.
Remarque
- Parfois, notamment en physique, on adopte la notation $\frac{d f}{d x}\left(x_{0}\right)$ pour le nombre dérivé de $f$ en $x_{0}.\\$ On trouve également, la notation $f\left(x_{0}\right)$, lorsque la variable désigne le temps.$\\[0.2cm]$ - Un simple changement d'écriture montre, en s'appuyant sur la composition des limites, que $f$ est dérivable en $x_{0}$ si la fonction $\\h \mapsto \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}$ a une limite finie en $0$ et alors :
$\\[0.2cm]f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}\\[0.2cm]$
- La notion de dérivabilité, étant définie à l'aide d'une limite, est une notion locale.
تعريف
Soit $f$ une fonction dérivable en $x_{0}.\\$ La droite $(T)$ d'équation $y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right)$ est appelée la tangente à la courbe $C_{f}$ de la fonction $f$ au point d'abscisse $x_{0}.\\[0.2cm]$ La fonction $x \mapsto f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right)$ s'appelle l'approximation affine de $f$ au voisinage de $x_{0}.\\[0.2cm]$ On écrit alors: $f(x) \approx f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right)$ au voisinage de $x_{0}$ ou $f\left(x_{0}+h\right) \approx h f^{\prime}\left(x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right)$ au voisinage de $0$
Pour plus de détails sur l'équation de la tangente, vous pouvez visualiser cette vidéo
Dérivabilité à droite - Dérivabilité à gauche
تعريف
- Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle du type $\left[x_{0}, x_{0}+r\left[\right.\right.\\$ où $r \in \mathbb{R}_{+}^{*}.\\[0.2cm]$ On dit que $f$ est dérivable à droite de $x_{0}$ s'il existe un réel $\ell_{1}$ tel que:
$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}^{+}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\ell_{1}.\\[0.2cm]$
Le nombre $\ell_{1}$ est appelé le nombre dérivé de la fonction $f$ à droite en $x_{0}\\[0.2cm]$ Il est noté $f_{d}^{\prime}\left(x_{0}\right).\\[0.2cm]$ - Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle du type $\left.] x_{0}-r, x_{0}\right]\\$ où $r \in \mathbb{R}_{+}^{*}.\\[0.2cm]$ On dit que $f$ est dérivable à gauche de $x_{0}$ s'il existe un réel $\ell_{2}$ tel que:
$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}^{-}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\ell_{2}.\\[0.2cm]$
Le nombre $~\ell_{2}~$ est appelé dérivé de la fonction $f$ à gauche en $x_{0}.\\[0.2cm]$ Il est noté $~f_{g}^{\prime}\left(x_{0}\right)$.
خاصية
Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert $I$ et $x_{0}$ un élément de $I$. $\\[0.2cm]$ La fonction $f$ est dérivable en $x_{0}$ si, et seulement si, elle est dérivable à droite et à gauche en $x_{0}$, avec $f_{d}^{\prime}\left(x_{0}\right)=f_{g}^{\prime}\left(x_{0}\right)$, et dans ce cas :
$\\f^{\prime}\left(x_{0}\right)=f_{d}^{\prime}\left(x_{0}\right)=f_{g}^{\prime}\left(x_{0}\right)$
Dérivabilité d'une fonction sur un intervalle
تعريف
Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle $I.\\[0.2cm]$ - On dit que f est dérivable sur $I$ si elle est dérivable en tout point $x$ de $I . \\$ - On note $f^{\prime}$ la fonction qui à $ x \in I$ associe le nombre dérivée de $f$ en $x .\\$ - On l'appelle la fonction dérivée de $f$, ou plus simplement la dérivée de $f$, on écrit aussi :$~f^{\prime}=\frac{d f}{d x}$.
Tableau des Dérivées Usuelles
| Fonction | Dérivée | Condition |
| $k$ constante | $0$ | |
| $\frac{1}{x}$ | $-\frac{1}{x^{2}}$ | $x \neq 0$ |
| $x^{n}$ | $n.x^{n-1}$ | |
| $\frac{1}{x^{n}}$ | $-\frac{n}{x^{n+1}}$ | $x \neq 0$ |
| $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ | $x>0$ |
| $\cos (x)$ | $-\sin (x)$ | |
| $\sin (x)$ | $\cos (x)$ | |
| $\tan (x)$ | $\frac{1}{\cos (x)^{2}}=1+\tan(x)^{2}$ | $x \neq \frac{\pi}{2}+k{\pi}$ |
OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS DÉRIVABLES
خاصية
Soit $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et $\alpha \in \mathbb{R}$. Alors :
- $(f+g)^{\prime}=f^{\prime}+g^{\prime}$
- $(\alpha f)^{\prime}=\alpha f^{\prime}$
- $(f \cdot g)^{\prime}=f^{\prime} \cdot g+g^{\prime} \cdot f $
- $\left(f^{n}\right)^{\prime}=n \cdot f^{\prime} \cdot f^{n-1}$
- Si la fonction $g$ ne s'annule pas sur $I$, alors:
$\\[0.2cm]\left(\frac{1}{g}\right)^{\prime}=-\frac{g^{\prime}}{g^{2}} \quad$ et $\quad\left(\frac{f}{g}\right)^{\prime}=\frac{f^{\prime} \cdot g-f g^{\prime}}{g^{2}}$
- Enfin, si $f$ est strictement positive sur $I$, alors: $~(\sqrt{f})^{\prime}=\frac{f^{\prime}}{ 2\sqrt{f}}$
Compléments sur la dérivation
DÉRIVABILITÉ ET CONTINUITÉ
خاصية
Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle $I$ et $x_{0}$ un élément de $I.\\$ Si $f$ est dérivable en $x_{0}$, alors $f$ est continue en $x_{0}$.
Remarque
- Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.$\\[0.2cm]$ - La réciproque de la proposition précédente est fausse. Par exemple, la fonction $\\ x \mapsto|x|$ est continue en $0$ mais n'est pas dérivable en $0$ .
DÉRIVÉE DE LA FONCTION COMPOSÉE
Proposition
Soit $I$ et $J$ deux intervalles ouverts, et $f: I \rightarrow \mathbb{R}~$ et $~g: J \rightarrow \mathbb{R}$ deux fonctions numériques, avec $f(I) \subset J .\\[0.2cm]$ Soit $x_{0}$ un élément de $I$ . Si : $\\[0.2cm]$
- La fonction $f$ est dérivable en $x_{0}.\\[0.2cm]$
- La fonction $g$ est dérivable en $y_{0}=f\left(x_{0}\right).\\[0.2cm]$
Alors la fonction $g \circ f$ est dérivable en $x_{0}$ et de plus:
$\\(g \circ f)^{\prime}\left(x_{0}\right)=f^{\prime}\left(x_{0}\right) \times g^{\prime}\left(f\left(x_{0}\right)\right)$
Corollaire
Si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ et $g$ est dérivable sur un intervalle $J\\$ tel que $f(I) \subset J\\[0.2cm]$ Alors $g \circ f$ est dérivable sur $I$ et de plus, pour tout $x \in I: \\$
$(g \circ f)^{\prime}(x)=f^{\prime}(x) \times g^{\prime}(f(x))$.
Dérivée de la fonction racine n-ième
خاصية
Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2 .\\[0.2cm]$
- La fonction $x \mapsto \sqrt[n]{x}~$ est dérivable sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$ et on a pour tout $x \in \mathbb{R}{+}^{}$ : $\\$
$(\sqrt[n]{x})^{\prime}=\left(x^{\frac{1}{n}}\right)^{\prime}=\frac{1}{n} x^{\frac{1}{n}-1}=\frac{1}{n \cdot \sqrt[n]{x^{n-1}}}\\[0.2cm]$
- Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ alors la fonction $x \mapsto \sqrt[n]{u(x)}~$ est dérivable sur $I$ et sa fonction dérivée est donnée par: $\\$
$(\sqrt[n]{u(x)})^{\prime}=\frac{1}{n} u^{\prime}(x)(u(x))^{\frac{1}{n}-1}=\frac{u^{\prime}(x)}{n(\sqrt[n]{u(x)})^{n-1}}$
مثال
1) La fonction $x \mapsto \sqrt[3]{x}$ est dérivable sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$, et on a pour tout $x \in \mathbb{R}_{+}^{*}:$
$\\[0.2cm](\sqrt[3]{x})^{\prime}=\frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{x^{2}}}\\[0.3cm]$
2) On considère la fonction $f$ définie par: $f(x)=\sqrt[3]{8 x-5}\\[0.2cm]$ La fonction $u: x \mapsto 8x-5$ est dérivable et strictement positive sur l'intervalle $] \frac{5}{8} ;+\infty[.\\[0.2cm]$ Par conséquent La fonction $f$ est dérivable sur $\left]\frac{5}{8} ;+\infty[\right.$ et on a pour tout $x \in] \frac{5}{8} ;+\infty[$ : $\\[0.2cm]f^{\prime}(x)=\frac{1}{3} u^{\prime}(x)(u(x))^{\frac{1}{3}-1}=\frac{8}{3}(8x-5)^{-\frac{2}{3}}=\frac{8}{3 . \sqrt[3]{(8x-5)^{2}}}$
تطبيق
Calculer la dérivée de chacune des fonctions numériques suivantes: $\\[0.2cm]f(x)=\sqrt[4]{3+\cos ^{2} x} \quad ; \quad g(x)=x . \sqrt[7]{x^{2}-x} \\[0.2cm]$ $h(x)=\sqrt[3]{\left(x^{3}-1\right)^{4}} \quad ; \quad k(x)=\sin \left(\sqrt[3]{x^{2}+x+1}\right)$
خاصية
Soit $r$ un nombre rationnel non nul. $\\[0.2cm]$ - La fonction numérique $x \mapsto x^{r}$ est dérivable sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$, et sa dérivée est $\\$ la fonction $~x \mapsto r.x^{r-1}.\\[0.2cm]$ - Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$, alors la fonction numérique $x \mapsto(u(x))^{r}~$ est dérivable sur $I$ et sa fonction dérivée est donnée par la formule : $\\$
$((u(x))^{r})^{\prime}=r u^{\prime}(x) \cdot(u(x))^{r-1}$
Étude des fonctions numériques ( Rappels)
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