Proposition

تعريف

On appelle une proposition un énoncé mathématique qui a un sens pouvant être vrai ou faux mais pas les deux en même temps.

تطبيق

$P_1$: (15 nombre paire) $\\$ $P_2$: $(-3  \times 5=-15)$ $\\$ $P_3: (-2 \times 2<4)$ $\\$ $P_2$ et $P_3$ deux propositions vraies.$\\$ $P_1$ proposition fausse.

Fonction propositionnelle

تعريف

On appelle une fonction propositionnelle, tout énoncé contenant une ou plusieurs variables et qui appartiennent à des ensembles déterminés.$\\$ Et chaque fois on remplace cette variable par un élément de l’ensemble on obtient une proposition.$\\$ On note:  P(x), P (x, y, z). 

تطبيق

$P(x):$ Pour tout $x$ de $\mathbb{R} x \ge 5$ est une fonction propositionnelle. $\\$ $x=6$ on obtient une proposition Vraie$\\$ $ x=-1$ on obtient une proposition fausse $\\$ $P(x, y):$ Pour tout $x$ et $y$ de $\mathbb{Z}$ on a:$ x^{2}-y=3$ $\\$ $ x=2$ et $y=1$ la proposition est vraie. $\\$ $ x=2$ et $y=2$ la proposition est fausse.

Quantificateurs

Soit P(X) pour x de E une expression propositionnelle.

Quantificateur universel

تعريف

L’expression:

(pour tout x de E la proposition q(x) est vraie)

On la note:

$( \forall x \in E, P(x) )$

$\forall $ s’appelle quantificateur universel et il se lit : pour tout ou quel que soit .

تطبيق

$( \forall x \in \mathbb{R}: x^{2} \ge 0) $ $\\$ $ ( \forall x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}:|x+y| \le |x|+|y| ) $

ما يجب معرفته

  • Les écritures suivantes sont équivalentes : $ \forall x \in \mathbb{E}$, $\forall y \in \mathbb{E}$ $\forall x, y \in \mathbb{E}$ $\forall(x, y) \in \mathbb{E} \times \mathbb{E} $
  • Les écritures suivantes sont équivalentes : $\exists x \in \mathbb{E}$, $\exists y \in \mathbb{E}$ $\exists x, y \in \mathbb{E}$ $\exists(x, y) \in \mathbb{E} \times \mathbb{E}$

انتباه

  • L’ordre des quantificateurs identiques (universel ou bien existentiel) ne change pas le sens de la fonction propositionnelle.
  • L’ordre des quantificateurs non identiques (universel ou existentiel) change l’ordre de la fonction propositionnelle.

Quantificateur existentiel

تعريف

L’expression: (il existe un x de E la proposition P(x) est vraie) On la note:

$\ll \exists x \in E, P(x) \gg $

$\exists$ s’appelle quantificateur existentiel et il se lit : il existe.

تطبيق

$ (\exists x \in \mathbb{Z}: \frac{x}{4} \in \mathbb{Z})$ $\\$ $(\exists x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}: x^{2}=y^{2}+2) $

Quantificateur $ \exists ! $

تعريف

L’expression:

(il existe un unique x de E la proposition P(x) est vraie)

On la note:

$$(\exists ! x \in E, P(x))$$

تطبيق

$(\exists ! x \in \mathbb{R}: x-1=2) $

ما يجب معرفته

-La négation du quantificateur : $\forall$ est le quantificateur $\exists$. $\\$ -La négation du quantificateur : $\exists$ est le quantificateur $\forall$.

Les opérations sur les propositions

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