En mathématique, les vecteurs sont des objets que nous pouvons tracer géométriquement grâce à leurs propriété (origine, direction, sens et norme). En plus, le vecteur constitue un élément important et le pilier de la branche mathématique : l’algèbre linéaire, par l’addition et la multiplication par des scalaires nous obtenons des résultats pertinents à titre d’exemple la relation de Chasles.

En physique classique ou moderne, le vecteur est un moyen efficace pour présenter des grandeurs tels que : la vitesse, la quantité de mouvement, la force, le moment... alors nous appelons ces grandeurs physiques par : Grandeurs Vectoriels.

Ce cours se focalisera sur la notion de vecteur dans l’espace comme un complément de tout ce qu’est vu en tronc commun dans le plan. Alors, nous ferons une transition vers l’espace et ajouter une dimension à notre étude mathématique.

Notion de vecteur dans l’espace

Extension d’un vecteur

Rappel :

$$\text { Soient } A \text { et } B \text { deux points dans un repère orthonormé }(O, \vec{\imath}, \vec{\jmath}) \text { . Le vecteur } \overrightarrow{A B} \text { se caractérise par les éléments suivants : }$$

  • L’origine : le point de commencent du vecteur, $$ \text { dans ce cas c'est } A $$
  • La direction : la droite $$ (A B) $$
  • Le sens : est déterminé par la flèche au-dessus de vecteur, dans ce cas $$ \text { de } A \text { à } B $$
  • La norme : correspondant à longueur du vecteur, c’est une grandeur qui toujours positif. $$ \text { On écrit }\|\overrightarrow{A B}\|=A B $$

Alors, toutes ces notions sont prolongeables à l’espace, ainsi que toutes les propriétés dans le plan restent valables dans l’espace.

مثال

Représentation graphique 

La figure ci-dessus illustre la propriété de Chasles dans l’espace :

$$\overrightarrow{A G}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C G}$$

image/svg+xml Remarque

  • Deux vecteurs sont égaux si et seulement s’ils ont la même direction (ou deux direction parallèles), le même sens et la même norme.
  • $$ \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D} \Leftrightarrow A B D C \text { est un parallélogramme } $$
  • $$\text { Si } A=B \text { alors le vecteur } \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A A}=\overrightarrow{0} \text { est nul. }$$
  • $$ \begin{aligned} &I \text { est le milieu }[A B]\\ &2 \overrightarrow{A I}=\overrightarrow{A B} \end{aligned} $$ $
  • $ \text { On note l'ensemble des vecteurs dans l'espace par } V_{3} $$

Les opérations sur les vecteurs dans l’espace

Les vecteurs de l'espace suivent les mêmes règles de construction et de calcule qu'en géométrie plane : l’addition, multiplication par un salaire, Relation de Chasles, propriétés en rapport avec la colinéarité, … restent valides

1. L’addition :

Soient $$\vec{u}, \vec{v}$$ et $$\vec{w}$$ trois vecteurs de l'espace tels que : $$\left\{\begin{array}{l}\vec{u}=\overrightarrow{O A} \\ \vec{v}=\overrightarrow{O B} \\ \vec{w}=\overrightarrow{O C}\end{array}\right. $$ avec $$A, B$$ et $$C$$ sont des points dans le repère orthonormé $$ (O, \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}) . $$ Alors $$\vec{w}$$ est le vecteur somme de $$\vec{u}$$ et $$\vec{v} \mathrm{~s}^{\prime} \mathrm{il}$$ vérifie la relation $$: \vec{w}=\vec{u}+\vec{v}$$, autrement $$\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}$$ et cela revient à dire que $$O A C B$$ est un parallélogramme.

Interprétation graphique :

  • Si les trois vecteurs n’ont pas la même origine :

  • Sinon :

خاصية

Les propriétés de l’addition :

  • Commutativité : soient $$\vec{u}, \vec{v}$$ deux vecteurs de l'espace, alors $$\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u} $$
  • Associativité : soient $$\vec{u}, \vec{v}$$ et $$\vec{w}$$ trois vecteurs de l'espace, alors $$ (\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w}) $$
  • L’élément neutre : soit $$\vec{u}$$ un vecteur de l'espace alors, $$\overrightarrow{0}$$ est un élément neutre $$\vec{u}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\vec{u}=\vec{u} $$

2. La multiplication par un scalaire :

Soit $$\vec{u}$$ un vecteur non nul de l'espace et soit $$k$$ un scalaire non nul $$\left(k \in I R^{*}\right) . $$ On suppose que $$\vec{u}=\overrightarrow{A B}$$ dans un repère orthonormé $$ (O, \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}) . $$ Alors, il existe un point $$M$$ sur la droite $$ (A B) $$ tel que, $$\overrightarrow{A M}=k \overrightarrow{A B}$$ Donc, le vecteur $$\vec{p}=\overrightarrow{A M}$$ est nommé le produit de $$\vec{u}$$ par le scalaire $$k$$

Interprétation graphique

$$ \begin{aligned} &\text { Alors le vecteur } \vec{p}=k \vec{u} \text { a la même direction que } \vec{u}, \text { mais le sens dépende du signe de }\\ &k: \end{aligned} $$

  • $$ \text { Si } k>0 \text { alors } \vec{p} \text { et } \vec{u} \text { ayant le même sens. } $$
  • $$ \text { Si } k<0 \text { alors } \vec{p} \text { et } \vec{u} \text { ayant des signes opposés. } $$

$$\text { En plus, on a la relation suivante }:\|\vec{p}\|=|k|\|\vec{u}\| $$

خاصية

  • $$\text { Pour tout vecteur } \vec{u}, \vec{u} \times 0=\overrightarrow{0} \text { et pour tout scalaire } \overrightarrow{0} \times k=\overrightarrow{0} $$
  • $$\text { Soient } \vec{u} \text { et } \vec{v} \text { deux vecteurs, soient } a \text { et } b \text { deux scalaires. Alors: }$$

$$ \begin{array}{r} (a+b) \vec{u}=a \vec{u}+b \vec{u} \\ a(\vec{u}+\vec{v})=a \vec{u}+a \vec{v} \\ a \times(b \vec{u})=b \times(a \vec{u})=(a \times b) \vec{u} \\ 1 \times \vec{u}=\vec{u} \end{array} $$

  • $$ \begin{aligned} &\text { Soient } \vec{u} \text { un vecteur dans l'espace et } k \text { un scalaire : }\\ &k \times \vec{u}=0 \quad \Leftrightarrow k=0 \text { ou } \vec{u}=\overrightarrow{0} \end{aligned} $$

مثال

On considère un cube $$ A B C D E F G H .$$

1.

a. $$ \text {Simplifier le vecteur } \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A E} $$

b. $$ \text { En déduire que } \overrightarrow{A G} \cdot \overrightarrow{B D}=0 . $$

c. $$ \begin{aligned} &\text { on admet que } \overrightarrow{A G} \cdot \overrightarrow{B E}=0 . \text { Démontrer que la droite }(A G) \text { est orthogonale au plan }\\ &(B D E) \end{aligned} $$ 

Corrigé :

1.

a) $$ \text { Simplifier le vecteur } \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A E} $$

$$ \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A E}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C G}=\overrightarrow{A G}$$

b) $$\text { En déduire que } \overrightarrow{A G} \cdot \overrightarrow{B D}=0 \text { . }$$

$$\overrightarrow{A G} \cdot \overrightarrow{B D}=(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A E}) \cdot \overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B D}+\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{B D} $$

$$ [A C] $$ et $[B D]$ sont les diagonales du carré $$A B C D$$ et donc $$\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B D}=0$$

En plus, La droite $$(A E)$$ est perpendiculaire aux droites $$(A B) $$ et $$ (A D) $$ qui sont deux droites sécantes du plan $$ (A B D) $$. Donc, La droite $$ (A E) $$ est perpendiculaire au plan $$ (A B D) . $$ Cela revient à dire que (AE) est perpendiculaire à tout droite de plan $$ (A B D) $$.

Alors,

$$ (A E) $$ est perpendiculaire à $$(B D) \Rightarrow \overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{B D}=0$$

D'où

$$ \overrightarrow{A G} \cdot \overrightarrow{B D}=0 $$

c) $$ \text { On admet que } \overrightarrow{A G} \cdot \overrightarrow{B E}=0 . \text { Démontrer que la droite }(A G) \text { est orthogonale au plan } $$ $$ (BDE) $$

La droite $$ (A G) $$ est orthogonale aux droites $$ (B D) $$ et $$ (B E) $$ qui sont deux droites sécantes du plan (BDE). Donc, La droite $$ (A G)$$ est orthogonale au plan $$(B D E)$$.

Les propriétés des vecteurs dans l’espace

Colinéarité

تعريف

Soient $$\vec{u}$$ et $$\vec{v}$$ deux vecteurs de l'espace, alors on dit que $$\vec{u}$$ et $$\vec{v}$$ sont colinéaires si et seulement si nous pouvons écrire un en fonction d'autre.

Formellement,

$$\vec{u}$$ et $$\vec{v}$$ sont colinéaires $$\Leftrightarrow \exists k \in I R, \vec{u}=k \vec{v}$$ ou $$\vec{v}=k \vec{u}$$

Corolaire :

  • $$ \text { Tout vecteur } \vec{u} \text { dans l'espace est colinéaire à lui-même car } \vec{u}=1 \times \vec{u}$$
  • $$\text { Le vecteur nul est colinéaire avec tous les vecteurs de l'espace. En effet, } $$

$$\text { Soit } \vec{u} \in V_{3} \text { alors } \overrightarrow{0}=0 \times \vec{u} $$

  • $$\begin{aligned} &\text { Soient } A, B, C \text { et } D \text { quatre points dans le repère orthonormé }(O, \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}) . \text { Alors les }\\ &\text { deux vecteurs } \overrightarrow{A B} \text { et } \overrightarrow{D C} \text { sont colinéaires } \Leftrightarrow(A B) / /(D C) \text { . } \end{aligned}$$
  • $$ \text { Soient } A, B \text { et } C \text { trois points dans le repère orthonormé }(O, \vec{\imath}, \vec{j}, \vec{k}) . \text { Alors }$$

$$ A, B \text { et } C \text { sont alignés } \Leftrightarrow \overrightarrow{A B} \text { et } \overrightarrow{A C} \text { sont colinéaires }$$

تعريف

vectorielle d’une droite : $$\text { Soient } A, B \text { deux points dans le repère orthonormé }(O, \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}) \text { . } $$

√ Tout vecteur $$\vec{u}$$ colinéaire avec $$\overrightarrow{A B}$$ est nommé un vecteur directeur de la droite $$(A B)$$.

√ L'ensemble des points $$M$$ vérifiant $$\overrightarrow{A M}=a \vec{u}$$ avec $$a \in I R$$ est une droite qui passe par $$A$$ et dirigée par $$\vec{u}$$, on la note $$D(A, \vec{u})$$.

Coplanarité

تعريف

(points et les vecteurs coplanaires) :

Nous disons que les quatre points $$A, B, C$$ et $$D$$ sont coplanaires si et seulement s'ils appartiennent tous au même plan.

Soient $$\vec{u}, \vec{v}$$ et $$\vec{w}$$ trois vecteurs de l'espace. Nous disons que $$\vec{u}, \vec{v}$$ et $$\vec{w}$$ sont coplanaires s'ils possèdent des représentant appartenant au même plan.

حيلة

$$ \begin{aligned} &\text { On pose } \vec{u}=\overrightarrow{A B}, \vec{v}=\overrightarrow{A C} \text { et } \vec{w}=\overrightarrow{A D}\\ &\vec{u}, \vec{v} \text { et } \vec{w} \text { sont coplanaires } \Leftrightarrow A, B, C \text { et } D \text { sont coplanaires } \end{aligned} $$

انتباه

Si les vecteurs sont constitués de 5 points, nous ne pouvons pas confirmer la coplanarité des points même si les vecteurs le sont.

خاصية

√ $$ \begin{aligned} &\text { Soient } \vec{\imath}, \vec{\jmath} \text { et } \vec{k} \text { trois vecteurs non coplanaires. Alors pour tout vecteur } \vec{u} \text { de }\\ &\text { l'espace, } \exists(x, y, z) \in I R^{3} \text { tel que } \vec{u}=x \vec{\imath}+y \vec{\jmath}+z \vec{k} \end{aligned} $$

√ $$\vec{u}, \vec{v}$$ et $$\vec{w}$$ sont coplanaires s'il existe deux réels $a$ et  $b$ tel que $$\vec{w}=a \vec{u}+b \vec{v}$$

√ $$ \text { Si deux vecteurs parmi } \vec{u}, \vec{v} \text { et } \vec{w} \text { sont colinéaire alors les trois sont coplanaires } $$

حيلة

Généralement, nous étudions la coplanarité de trois vecteurs $$ \vec{u}, \vec{v} \text { et } \vec{w} $$en suivant l’algorithme suivant :

Nous cherchons si deux vecteurs sont colinéaires parmi les trois ci-dessus.

Donc, nous regardons si leurs coordonnées sont proportionnelles.

- Si il y a deux vecteurs colinéaires alors les trois vecteurs sont automatiquement coplanaires.

- Sinon nous cherchons deux nombres a et b tels que $$ \vec{w}=a \vec{u}+b \vec{v}$$

Nous traduisons $$ \vec{w}=a \vec{u}+b \vec{v}$$ en coordonnées.

Nous obtenons un système d'inconnues $$ \text { a et } \mathbf{b} \text {. } $$

  • Si nous trouvons des solutions alors, $$ \vec{u}, \vec{v} \text { et } \vec{w} $$ sont coplanaires.
  • Sinon il n'y a pas de solution, $$ \vec{u}, \vec{v} \text { et } \vec{w} $$ne sont pas coplanaires.

Le plan vectoriel :

Nous rappelons qu’un plan est définie par trois façons :

  • Trois points non alignés
  • Deux droites sécantes ou strictement parallèles.
  • Une droite et un point extérieurs de cette droite.

L'ensemble des points $$M$$ de l'espace vérifiant $$\overrightarrow{A M}=x \vec{u}+y \vec{v}$$ avec $$(x, y) \in I R^{2}$$ est le plan contenant $$A$$ et orienté par $$\vec{u}$$ et $$\vec{v}$$ on note $$P(A, \vec{u}, \vec{v})$$

مثال

 Soit $$A B C D E F G H$$ un parallélépipède rectangle tel que $$: A B=2$$ et $$A D=3$$ et $$A E=1$$. On appelle respectivement $$I, J$$ et $$P$$ les milieux respectifs des segments $$ [C D],[E F]$$ et $$ [A B] . $$ On note $$Q$$ le point défini par, $$\overrightarrow{A Q}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A D}$$

En plus, On appelle plan médiateur d’un segment le plan perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu. L’objectif de l’exercice est de déterminer les coordonnées du centre d’une sphère circonscrite au tétraèdre $$ABIJ $$ (c’est-à-dire une sphère qui passe par les quatre points $$ A, B, I, J $$.

1. Tracer la figure correspondante aux données ci-dessus.

2. $$ \text { Justifier que les points } A, B, I \text { et } J \text { ne sont pas coplanaires. } $$

3. $$\text { Déterminer l'équation de plan médiateur }(P) \text { du segment }[A B] $$

Corrigé :

1. La figure : 

2. Les trois points $$A, B$$ et $$J$$ ne sont pas alignés. Ils définissent donc un unique plan, le plan $$ (A B J) $$ qui est aussi le plan $$(A B E) $$. Le point $$I$$ n'est pas dans ce plan et donc les points $$A, B, I$$ et $$J$$ ne sont pas coplanaires.

3. $$ \text { Le plan }(P) \text { est le plan passant par le point } M \text { et de vecteur normal } \overrightarrow{A P} $$

Le point $$P$$ a pour coordonnées $$ (1,0,0) $$ et le vecteur $$\overrightarrow{A P}$$ a pour coordonnées $$(1,0,0) $$. Donc une équation du plan $$ (P) $$ est $$1 \times(x-1)+0 \times(y-0)+0 \times(z-0)=0$$

$$\text { D'où, }(P): x=1 $$

Le parallélisme

  • Soient $$D(A, \vec{u})$$ et $$\Delta(B, \vec{v})$$ deux droites de l'espace. Alors on dit que $$(D) $$ est parallèle à (\Delta) si est seulement si $$\vec{u}$$ et $$\vec{v}$$ sont colinéaires.
  • Soit $$D(A, \vec{u})$$ une droite dans l'espace, soit $$P(B, \vec{v}, \vec{w})$$ un plan dans le même espace. On dit que $$(D) $$ est parallèle à $$(P) $$ si seulement si $$\vec{u}, \vec{v}$$ et $$\vec{w}$$ sont coplanaires.
  • Soient $$P(A, \vec{u}, \vec{v})$$ et $$P^{\prime}\left(A^{\prime}, \overrightarrow{u^{\prime}}, \overrightarrow{v^{\prime}}\right) $$ deux droites de l'espace. On dit que $$ (P) $$ est parallèle à $$\left(P^{\prime}\right) $$ si seulement si $$\vec{u}, \vec{v}, \overrightarrow{u^{\prime}} e t \overrightarrow{v^{\prime}}$$ sont coplanaires.

Exercice :

ABCD est un tétraèdre. I est le milieu de [AB]. En plus, $$C$$ est le milieu de $$[D E] $$ et soit $$F$$ unpoint tel que $$: \overrightarrow{A F}=\overrightarrow{D B}$$. L'espace est rapporté au repère orthonormal $$(A, \overrightarrow{A P}, \overrightarrow{A Q}, \overrightarrow{A E})$$

1. Tracer la figure correspondante aux données ci-dessus.

2. $$ \text { Démontrer que les droites }(I C) \text { et }(E F) \text { sont parallèles sans utiliser de repère. } $$

Corrigé :

1. La figure : 

حيلة

$$ \begin{aligned} &\text { Les droites (AB) et (CD) sont parallèles } \Leftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{AB}} \text { et } \overrightarrow{D C} \text { sont colinéaires }\\ &\Leftrightarrow \exists k \in I R, \text { tel que: } \overrightarrow{A B}=k \overrightarrow{D C} \end{aligned} $$

2. Pour montrer que (IC) et (EF) sont parallèles sans utiliser le repère, il suffit de montrer que $$\exists k \in I R$$, tel que : $$\overrightarrow{F E}=k \overrightarrow{I C}$$

$$ \text { On a: } \overrightarrow{F E}=\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{A I}+\overrightarrow{I C}+\overrightarrow{C E} $$

D'après l'énoncé, $$\overrightarrow{A I}=\overrightarrow{I B}$$ car $$I$$ est le milieu de $$[A B] $$ Aussi $$\overrightarrow{D C}=\overrightarrow{C E}$$ car $$C$$ est le milieu de $$ [D E] $$ En plus, $$\overrightarrow{F A}=\overrightarrow{B D}$$

Donc, $$\overrightarrow{F E}=\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{I B}+\overrightarrow{I C}+\overrightarrow{D C}=\overrightarrow{I B}+\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{D C}+\overrightarrow{I C}=\overrightarrow{I D}+\overrightarrow{D C}+\overrightarrow{I C}=2 \overrightarrow{I C}$$ $$\Rightarrow \overrightarrow{F E}=2 \overrightarrow{I C}$$ D'où le résultat.

ما يجب معرفته

√ Toutes les propriétés dans le plan restent valables dans l’espace : la somme, la multiplication par un scalaire, relation de Chasles

√ L’addition est commutative, associative et elle possède un élément neutre.

√ Un vecteur $\overrightarrow{A B}$ se caractérise par:

L'origine : le point de commencent du vecteur. Dans ce cas, c'est $A$

La direction : la droite $(A B)$

Le sens : est déterminé par la flèche au-dessus de vecteur, dans ce cas de $A$ à $B$

La norme : correspond à la longueur du vecteur, c'est une grandeur qui toujours positive. On écrit $\|\overrightarrow{A B}\|=A B$

√ $\vec{u} \underline{\underline{\text { et }}} \vec{v}$ sont colinéaires $\Leftrightarrow \exists k \in I R, \vec{u}=k \vec{v}$ ou $\vec{v}=k \vec{u}$ $\overrightarrow{A B}$ et $\overrightarrow{D C}$ sont colinéaires $\Leftrightarrow(A B) / /(D C)$ $A, B$ et $C$ sont alignés $\Leftrightarrow \overrightarrow{A B}$ et $\overrightarrow{A C}$ sont colinéaires

√ $D(A, \vec{u})=\{$ ensemble des points $M \in$ espace, $\overrightarrow{A M}=a \vec{u}$, avec $a \in I R\}$ la droite qui passe par $A$ et dirigé par $\vec{u}$

√ Nous disons que les quatre points $A, B, C$ et $D$ sont coplanaires si et seulement s'ils appartiennent tous au même plan.

$\vec{u}, \vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires s'ils existent deux réels $a$ et $b$ tel que

$$ \vec{w}=a \vec{u}+b \vec{v} $$

Si deux vecteurs parmi $\vec{u}, \vec{v}$ et $\vec{w}$ sont colinéaires alors les trois sont coplanaires

√ $P(A, \vec{u}, \vec{v})==\left\{\right.$ ensemble des points $M \in$ espace, $\overrightarrow{A M}=a \vec{u}+b \vec{v}$, avec $\left.(a, b) \in I R^{2}\right\}$ le plan contenant $A$ et orienté $\operatorname{par} \vec{u}$ et $\vec{v}$.

√ Soient $D(A, \vec{u})$ et $\Delta(B, \vec{v})$ deux droites et $P(A, \vec{u}, \vec{v})$ et $P^{\prime}\left(A^{\prime}, \overrightarrow{u^{\prime}}, \overrightarrow{v^{\prime}}\right)$ deux plans de l'espace. Alors,

$(D) / /(\Delta) \Leftrightarrow \vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires (D) $\underline{\text { est parallèle à }}(P) \Leftrightarrow \vec{u}, \vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires

(P) est parallèle à $\left(P^{\prime}\right) \Leftrightarrow \vec{u}, \vec{v}, \overrightarrow{u^{\prime}} e t \overrightarrow{v^{\prime}}$ sont coplanaires.

Conclusion :

En bref, ce cours restitue les éléments relatifs aux vecteurs dans l’espace. Alors, les vecteurs gardent la même construction géométrique de plan et les mêmes propriétés aussi tels que : l’addition, la multiplication par un scalaire, la colinéarité…en plus, l’arrivé de nouveaux concepts comme : la coplanarité ainsi que le parallélisme entre les plans, et entre un plan et une droite.

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