Les ensembles finis

تعريف

On dit qu'un ensemble $\mathrm{E}$ est fini s'il est vide ou s'il existe une bijection de $E$ dans $\{1,2,3, \ldots, n\}$ où $n$ est un entier naturel non nul.

Vocabulaire :

  • Le nombre entier naturel $n$ s'appelle cardinal de $\mathrm{E}$ et noté $\operatorname{card} ~\mathrm{E}$.
  • $\operatorname{card} ~\mathrm{E}$ est le nombre d'éléments de $\mathrm{E}$.
  • $\operatorname{card}~\varnothing=0$

image/svg+xml Remarque

- Les ensembles $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$ sont des ensembles infinis ;

- L'intervalle $[0 ; 1]~$ (inclus dans $\mathbb{R}$) est infini ;

انتباه

L'existence d'une bijection d'un ensemble $\mathrm{E}$ vers $\mathbb{N}$, ne signifie pas que $\mathrm{E}$ est fini.

Propriétés des cardinaux des ensembles finis

خاصية

Soit $E$ un ensemble fini.

Si $~A \subset E$, alors $A$ est fini et on a : $~\operatorname{card} A \leq \operatorname{card} E$.

Si $~A \subset E$ et $A \neq E~$ alors $~\operatorname{card}A< \operatorname{card}E$.

Si $~A \subset E~$ et $~\operatorname{card}A=\operatorname{card} E~$, alors $~A=E$.

خاصية

Quels que soient les ensembles finis $A$ et $B$,

$\operatorname{card}(A \cup B)=\operatorname{card} A+\operatorname{card} B-\operatorname{card}(A \cap B)$.

image/svg+xml Remarque

Soient $A$ et $B$ deux ensembles finis,

Si A et $B$ sont disjoints, alors $~\operatorname{card}(A \cup B)=\operatorname{card} A+\operatorname{card} B$.

خاصية

Quels que soient les ensembles finis $A_1, A_2, A_3 \ldots, A_n$ deux à deux disjoints,

$\operatorname{card}\left(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \ldots \cup A_n\right)=$ $\operatorname{card} A_1+\operatorname{card} A_2+\operatorname{card} A_3+\ldots+\operatorname{card} A_n$

autrement $~\operatorname{card}\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right)=\sum_{i=1}^n \operatorname{card} A_i$.

Le principe fondamental du dénombrement

Soit $\mathrm{S}$ une situation de dénombrement qui nécessite $p$ choix $\mathrm{C}_1, \mathrm{C}_2, \mathrm{C}_3, \ldots, \mathrm{C}_p$ Si le choix $C_1$ est réalisé de $n_1$ façons différentes, le choix $C_2$ est réalisé de $n_2$ façons différentes, le choix $C_3$ est réalisé de $n_3$ façons différentes, .. et le choix $C_p$ est réalisé de $n_p$ façons différentes, alors la situation $S$ est réalisée de $n_1 \times n_2 \times n_3 \times \ldots \times n_p$ façons différentes.

خاصية

Quels que soient les ensembles finis $A_1, A_2, A_3, \ldots, A_n$ : $\operatorname{card}\left(A_1 \times A_2 \times A_3 \times \ldots A_n\right)=$ $\operatorname{card} A_1 \times \operatorname{card} A_2 \times \operatorname{card} A_3 \times \ldots \times \operatorname{card} A_n$

autrement $~\operatorname{card} \left(\prod_{i=1}^n A_i\right)=\prod_{i=1}^n \operatorname{card} A_i$.

image/svg+xml Remarque

Pour tout entier naturel non nul $n$ : $\operatorname{card}\left(E^n\right)=(\operatorname{card}E)^n$.

Le nombre d'applications d'un ensemble vers un autre

خاصية

Soit $E$ et $F$ deux ensembles finis non vides tels que $\operatorname{card} E=p~$ et $~\operatorname{card} F=n$.

Le nombre d'applications de $E$ dans $F$ est $n^p$.

L'ensemble de toutes les parties d'un ensemble fini

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