Fiche de cours

L’étude des fonctions numériques est importante dans tous les domaines des mathématiques pures et appliquées, y compris les mathématiques appliquées à l'économie, à la finance et aux affaires. Par exemple, le langage de l'analyse économique regorge de termes tels que les fonctions d'offre et de demande, les fonctions de coût, les fonctions de production et les fonctions de consommation.

Donc, dans ce chapitre, nous allons introduire quelques concepts majeurs tels que les asymptotes, les branches paraboliques, la convexité et l'axe de symétrie, qui nous sont utiles pour étudier le comportement de n'importe quelle fonction.

Asymptotes

Asymptote verticale

تعريف

Soit $~a \in \mathbb{R}$, lorsque $\lim\limits _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\pm \infty ~~$ ou $~~\lim\limits _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=\pm \infty $.

La droite d'équation $~x=a ~$ est une asymptote verticale à $\left(\mathcal{C}_{f}\right) $

مثال

Soit la fonction définie par :

$$f(x)=\frac{2 x-3}{x-5}$$

Déterminons $\lim\limits _{x \rightarrow 5^{+}} f(x)$ et $\lim\limits _{x \rightarrow 5^{-}} f(x)$ et interprétons géométriquement les résultats.

$\bullet$ $\lim\limits _{x \rightarrow 5^{+}} x-5=0^{+}\quad$ et $\quad\lim\limits _{x \rightarrow 5^{-}} x-5=0^{-}$

$\bullet$ $\lim\limits _{x \rightarrow 5} 2 x-3=5$

$\bullet$ Alors $\lim\limits _{x \rightarrow 5^{+}} \frac{2 x-3}{x-5}=+\infty \quad$ et $\quad\lim\limits _{x \rightarrow 5^{-}} \frac{2 x-3}{x-5}=-\infty$

Donc la droite d'équation $x=5$ est asymptote à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$.

Asymptote horizontale

تعريف

Soit $l \in \mathbb{R}$, lorsque $~\lim\limits _{x \rightarrow \pm \infty} f(x)=l$.

La droite d'équation $y=l$ est une asymptote horizontale à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au voisinage de $+\infty~$ ou de $~-\infty$.

مثال

Soit la fonction définie par:

$$f(x)=\frac{2 x-3}{x-5}$$

Déterminons $\lim\limits _{x \rightarrow \pm \infty} f(x)~$ ou $~\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} f(x)$ et interprétons géométriquement les résultats.

$\bullet$ $\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x)=2\quad$ et $\quad\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} f(x)=2$

Donc la droite $~y=2~$ est asymptote horizontale à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$.

Asymptote oblique

تعريف

Si $~\lim\limits _{x \rightarrow \pm \infty}(f(x)-(a x+b))=0 ~$ tels que $a \in \mathbb{R}^{*} ~$ et $~b \in \mathbb{R}~$.

Alors la droite d'équation $~y=a x+b ~$ est une asymptote à $\left(\mathcal{C}_{f}\right) $ au voisinage de $~+\infty~$ ou $~-\infty $

مثال

Soit la fonction :

$$f(x)=\frac{-x^{2}+3 x+1}{x+1}$$

On a :

$$\begin{aligned}f(x)-(-x+4)&=\frac{-x^{2}+3 x+1}{x+1}-(-x+4) \\[0.2cm]&=\frac{-x^{2}+3 x+1-(-x+4)(x+1)}{x+1} \\[0.2cm]&=\frac{-x^{2}+3 x+1-\left(-x^{2}-x+4 x+4\right)}{x+1} \\[0.2cm]&=\frac{-x^{2}+3 x+1+x^{2}-3 x-4}{x+1}=-\frac{3}{x+1}\end{aligned}$$

Et on a $\quad \lim\limits _{x \rightarrow \pm \infty}-\frac{3}{x+1}=0 .$

Donc, $~\Delta: y=-x+4~$ est asymptote à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$.

حيلة

Soit $\Delta$ la droite d'équation $y=a x+b .$

$(\Delta)$ est une asymptote à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ si et seulement si elle existe une fonction $h$ tel que :

$f(x)=a x+b+h(x)\quad$ et $\quad\lim\limits _{x \rightarrow \pm \infty} h(x)=0$

مثال

Soit la fonction définie sur $\mathbb{R}^{*}$ par :

$$f(x)=x-1+\frac{1}{x}$$

On a $~\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x}=0,~$ donc la droite d'équation $~y=x-1~$ est une asymptote à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au voisinage de $+\infty\\[0.2cm]$

On a $~\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} \frac{1}{x}=0,~$ donc la droite d'équation $~y=x-1~$ est une asymptote à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au voisinage de $-\infty$.

خاصية

La droite d'équation $y=a x+b$ est une asymptote à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ si et seulement si :

$\bullet$ $\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=a\quad $ et $\quad \lim\limits _{x \rightarrow+\infty}(f(x)-a x)=b$

ou :

$\bullet$ $\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{x}=a\quad $ et $\quad \lim\limits _{x \rightarrow-\infty}(f(x)-a x)=b$

حيلة

Pour étudier la position de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ par rapport à son asymptote il suffit d'étudier le signe de $f(x)-(a x+b)$

مثال

Si on prend l'exemple précédent :

$$f(x)=\frac{-x^{2}+3 x+1}{x+1}$$

$f(x)-(-x+4)=-\frac{3}{x+1}$

$\bullet$ Si $x>-1: \quad \quad x+1>0 \Rightarrow f(x)-(-x+4)<0$

Alors $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au-dessous de la droite $(D): y=-x+4$

$\bullet$ Si $x<-1:$ $\quad \quad x+1<0 \Rightarrow f(x)-(-x+4)>0$

Alors $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au-dessus de la droite $(D): y=-x+4$

Branches paraboliques

Branches paraboliques de direction (OX) et (OY)

تعريف

1. Si $~\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\pm \infty\quad $ et $\quad \lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=0$

(ou $~\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\pm \infty\quad $ et $\quad \left.\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{x}=0\right.)$

On dit que $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ présente une branche parabolique de direction asymptotique $(OX)$.

2. Si $~\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\pm \infty \quad$ et $\quad\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=\pm \infty $

(ou $~\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\pm \infty \quad$ et $\quad \left.\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{x}=\pm \infty\right.)$

On dit que $\left(\mathcal{C}_{f}\right) $ présente une branche parabolique de direction asymptotique $(OY).$


3. Si $~\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\pm \infty \quad$ et $\quad \lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=a \neq 0\quad$ et $\quad\lim\limits _{x \rightarrow+\infty}(f(x)-a x)=b$

(ou $\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\pm \infty\quad$ et $\quad\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{x}=a \neq 0\quad$ et $\quad\left.\lim\limits _{x \rightarrow-\infty}(f(x)-a x)=b\right.)$

On dit que la droite $(\Delta)$ d'équation $y=a x+b$ est une asymptote à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au voisinage de $+\infty$ (ou au voisinage de $-\infty)$.

4. Si $\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\pm \infty\quad$ et $\quad\lim\limits _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{f(x)}{x}=a \neq 0$

et $~\lim\limits _{x \rightarrow+\infty}(f(x)-a x)=\pm \infty$

(ou $\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\pm \infty\quad$ et $\quad\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{x}=a \neq 0$

et $\left.\lim\limits _{x \rightarrow-\infty}(f(x)-a x)=\pm \infty\right.)$

on dit que $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ admet une branche parabolique de direction la droite $(\Delta)$ d'équation $y=a x$.

مثال

1. $f(x)=\sqrt{x}$ :

$\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x}=+\infty$

Et $~\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x}}{x}=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}}=0$

Donc $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ admet une branche parabolique de direction asymptotique $(O X)$ au voisinage de $+\infty\\[0.2cm]$

2. $f(x)=x^{2}$

$\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} x^{2}=+\infty$

Et $~\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} x=+\infty$

Donc $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ admet une branche parabolique de direction asymptote $(OY)$ au voisinage de $+\infty\\[0.2cm]$

3. $f(x)=x-\sqrt{x}$

On a $D_{f}=\mathbb{R}^{+}$

et $\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)=+\infty$

Et $\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{x-\sqrt{x}}{x}=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} 1-\frac{1}{\sqrt{x}}=1$

Or $\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x)-x=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty}-\sqrt{x}=-\infty$

Donc $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ admet une branche parabolique de direction la droite d'équation $y=x$

Vidéo Les Branches infinies
15 min
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Convexité – Point d’inflexion

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Etude et représentation graphique d'une fonction numérique
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