Rappel

Produit scalaire de deux vecteurs

L’expression du produit scalaire en utilisant la projection orthogonale:

تعريف

Soient $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$ et $\mathrm{C}$ trois points dans le plan et $\mathrm{H}$ la projection orthogonale du point $\mathrm{C}$ sur la droite (AB). $\\$ Alors le produit scalaire de $\overrightarrow{A B} ~\text { et }~ \overrightarrow{A C}$ est le nombre réel $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}$ tel que $\\$ $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=A B \times AH ~$ si $~ \overrightarrow{A B} ~\text { et }~ \overrightarrow{A H} \text { ont le même sens. }$

$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=-A B \times AH ~$ si $~ \overrightarrow{A B} ~\text { et } ~\overrightarrow{A H} \text { n'ont pas le même sens. }$

$$\text { Si } ~\overrightarrow{A B}=0 ~~(A=B) \text { ou } \overrightarrow{A C}=0 ~~(A=C) ~~\text { alors }~~ \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=0 $$

La formule trigonométrique du produit scalaire :

تعريف

Soient $\overrightarrow{A B}$ et $\overrightarrow{A C}$ deux vecteurs du plan, alors :

$$\begin{aligned} \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}&=\|A B\| \times\|A C\| \times \cos (\overline {\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}}) \\ &=A B \times A C \times \cos (\overline{\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}}) \end{aligned}$$

ما يجب معرفته

$$\text { Le nombre réel positif } \sqrt{\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A B}} \text { est appelé la norme du vecteur } \overrightarrow{A B} \\ \text { Et on note }\|\overrightarrow{A B}\|=A B \text { . }$$

خاصية

Linéarité du produit scalaire :

$$\begin{array}{l} (\vec{u}+\vec{v}) \cdot \vec{w}=\vec{u} . \vec{w}+\vec{v} \cdot \vec{w} \\ \vec{w} \cdot(\vec{u}+\vec{v})=\vec{w} \cdot \vec{u}+\vec{w} \cdot \vec{v} \\ \vec{u} .(\alpha \vec{v})=(\alpha \vec{u}) \cdot \vec{v}=\alpha(\vec{u} \cdot \vec{v}) \end{array} $$ 

Symétrie du produit scalaire : $$\quad \vec{u} \cdot \vec{v}=\vec{v} \cdot \vec{u} $$ 

Positivité du produit scalaire : $$\quad \vec{v}^{2}=\vec{v} \cdot \vec{v} \geq 0 $$

Le produit scalaire est non dégénéré, c'est-à-dire : $$\quad \vec{v} \cdot \vec{v}=0 \Leftrightarrow \vec{v}=0 $$

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonales : $$ \quad \vec{u} \perp \vec{w} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{w}=0 $$

Base orthonormée directe – Repère orthonormé directe

تعريف

On dit que le couple $(\vec{i}, \vec{j})$ constitue une base du plan $(P)$ si : $\\ \vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$ sont deux vecteurs non colinéaires du plan. $\\$ Et on dit que le plan $(P)$ est rapporté ou muni à la base $(\vec{\imath}, \vec{\jmath})$,

$(\vec{\imath}, \vec{j})$ une base de $(P)$ et $O$ est un point de $(P)\\$ Le triplet $(O, \vec{\imath}, \vec{j})$ s'appelle un repère de $(P)\\$ Et on dit que le plan $(P)$ est rapporté ou muni au repère $(O, \vec{\imath}, \vec{j})\\$ $(\vec{\imath}, \vec{j})$ est une base orthonormée si : $\vec{\imath} \cdot \vec{j}=0$ et $\|\vec{i}\|=\|\vec{\jmath}\|=1 \\$ $ \mathrm{Et}$ dans ce cas le repère $(O, \vec{\imath}, \vec{\jmath})$ est un repère orthonormé. $\\$ $(\vec{i}, \vec{j})$ est une base orthonormée directe si et seulement si $\\$ $(\vec{i}, \vec{j})$ est une base orthonormée et $~(\vec{\imath}, \vec{j}) \equiv \frac{\pi}{2}[2 \pi]\\$Et dans ce cas le repère $(O, \vec{\imath}, \vec{j})$ est un repère orthonormé directe.

image/svg+xml Remarque

Dans toute la suite de ce cours, on considère le plan muni à un repère orthonormé directe $(O, \vec{\imath}, \vec{j}) $

L’expression analytique du produit scalaire et la norme d’un vecteur dans un repère orthonormé directe

خاصية

Soient $~~\vec{u}(x, y)=x \vec{\imath}+y \vec{\jmath}~~$ et $~~\vec{v}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)=x^{\prime} \vec{\imath}+y^{\prime} \vec{\jmath}~~$ deux vecteurs du plan $(P)$, On a :

$\begin{aligned}\vec{u} . \vec{v}&=x x^{\prime}+y y^{\prime}\|\vec{u}\| \\ &=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \|\overrightarrow{A B}\|\\ &=A B\\&=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B} y_{A}\right)^{2}}\end{aligned}$

 

برهان

$\begin{aligned}\vec{u} . \vec{v}&=(x \vec{\imath}+y \vec{\jmath}) \cdot\left(x^{\prime} \vec{\imath}+y^{\prime} \vec{\jmath}\right)\\ &=x x^{\prime} \vec{\imath } . \vec{\imath}+x y^{\prime} \vec{\imath} \cdot \vec{j}+y x^{\prime} \vec{\jmath} \cdot \vec{\imath}+y y^{\prime} \vec{\jmath} \cdot \vec{\jmath}\\ &=x x^{\prime}+y y^{\prime}\end{aligned}$

Car $(O, \vec{\imath}, \vec{\jmath})$ est orthonormé directe, donc :

$$ \vec{\imath} \cdot \vec{\imath}=\vec{j} \cdot \vec{\jmath}=1 \quad\text { et } \quad \vec{\imath} . \vec{j}=\vec{\jmath} \cdot \vec{\imath}=0 . $$

$\|\vec{u}\|=\sqrt{\vec{u} . \vec{u}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\$ D'après (1), On a $~~A\left(x_{A}, y_{A}\right)$ et $B\left(x_{B}, y_{B}\right) : $

$$ A B=\|\overrightarrow{A B}\|=\sqrt{\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A B}}=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}} $$

مثال

On donne $~~\vec{u}=\vec{\imath}-2 \vec{\jmath}~~$ et $~~\vec{v}=-4 \vec{\imath}+2 \vec{\jmath}~~$ et $~~A(0,3)~~$ et $~~B(2,-1)\\[0.5cm]$ 1. Calculons $~~\vec{u} . \vec{v}$ : $$~~ \vec{u} . \vec{v}=1 \times(-4)+(-2) \times 2=-4-4=-8 $$ $\\[0.5cm]$ 2. Calculons $\|\vec{u}\|$ et $\|\vec{v}\|:$ $$~~ \begin{array}{l} \|\vec{u}\|=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{5} \\ \|\vec{v}\|=\sqrt{(-4)^{2}+2^{2}}=\sqrt{20} \end{array} $$ $\\[0.5cm]$ 3. Calculons AB : $$~~ A B=\sqrt{(2-0)^{2}+(-1-3)^{2}}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20} $$

 Formules de $~\cos (u,v)~$ et $~\sin (u,v)$

خاصية

Soient $~~\vec{u}(x, y)=x \vec{\imath}+y \vec{\jmath}~~$ et $~~\vec{v}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)=x^{\prime} \vec{\imath}+y^{\prime} \vec{\jmath}~~$ deux vecteurs non nuls dans le plan, et $~~(\overline{\vec{u}, \vec{v}}) \equiv \theta[2 \pi]$, on a :$\\$

1. $\cos \theta=\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times\|\vec{v}\|}=\frac{x x^{\prime}+y y^{\prime}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \times \sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}}\\$

2. $\sin \theta=\frac{\operatorname{det}(\vec{u} \cdot \vec{v})}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \times \sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}}=\frac{x y^{\prime}-x^{\prime} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \times \sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}}$

برهان

1. On a : $$\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{c} \vec{u} . \vec{v}=\|\vec{u}\| \times\|\vec{v}\| \times \cos \theta \\[0.2cm] \vec{u} \cdot \vec{v}=x x^{\prime}+y y^{\prime} \end{array}\right. \Rightarrow\left\{\begin{array}{c} \cos \theta=\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times\|\vec{v}\|} \\[0.2cm] \vec{u} . \vec{v}=x x^{\prime}+y y^{\prime} \end{array}\right. \end{array}$$

$\\$ Donc : $$\cos \theta=\frac{x x^{\prime}+y y^{\prime}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \times \sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}}$$ $\\$

2. Soit le vecteur $\vec{w}$ tel que :$\\$ $(\overline{\vec{u}, \vec{w}}) \equiv \frac{\pi}{2}[2 \pi]~~$ et $~~\|\vec{u}\|=\|\vec{w}\|$ $\\$

$ (\overline{\vec{v}, \vec{w}}) \equiv(\overline{\vec{v}, \vec{u}})+(\overline{\vec{u}, \vec{w}})[2 \pi] \equiv-\theta+\frac{\pi}{2}[2 \pi] \\$

$ \vec{v} \cdot \vec{w}=\|\vec{v}\| \times\|\vec{w}\| \times \cos \left(-\theta+\frac{\pi}{2}\right)=\|\vec{v}\| \times\|\vec{u}\| \times \sin \theta  \\$

$ \Rightarrow \sin \theta=\frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{\|\vec{v}\| \times\|\vec{u}\|} \\$

Et on a $~~\vec{w}(-y, x)\\$

Donc : $$ \sin \theta=\frac{x y^{\prime}-x^{\prime} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \times \sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}} $$ $\\$

Ou autrement : $$ \sin \theta=\frac{\operatorname{det}(\vec{u} . \vec{v})}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \times \sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}} $$

مثال

Soient les trois points $A(5,0), B(2,1)$ et $C(6,3)\\$

a- Calculons $\cos (\overline{\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}})$,

On a :$\\$ $ \cos (\overline{\overrightarrow {A B}, \overrightarrow{A C}})=\frac{\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}}{\|A B\| \times\|A C\|}=\frac{(-3 \vec{\imath}+\vec{\jmath})(\vec{\imath}+3 \vec{\jmath})}{A B \times A C} \\$

$ A B=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B} y_{A}\right)^{2}}=\sqrt{(-3)^{2}+1^{2}}=\sqrt{10} \\$

$ A C=\sqrt{\left(x_{C}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{C}-y_{A}\right)^{2}}=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10} \\$

Donc : $$ \cos (\overline{\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}})=\frac{-3+3}{10}=0 $$

$\\$ b- Calculons $~~\sin (\overline {\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}})$,

On a : $\\$ $$ \sin (\overline{\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}})=\frac{(-3) \times 3-1 \times 1}{10}=-\frac{10}{10}=-1 $$ $\\$

Donc : $$ (\overline{\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}}) \equiv-\frac{\pi}{2}[2 \pi] $$

L’air d’un triangle et d’un parallélogramme

Pour continuer cette fiche de cours, Inscris-toi gratuitement sur Kezakoo

Version gratuite de Kezakoo
  • Fiches de cours illimitées
  • Une vidéo gratuite par leçon
  • 2 exercices gratuits par leçon
  • Un test gratuit par leçon
S'inscrire gratuitement