Produit scalaire dans l espace et ses applications

Si $\vec{u}, \vec{v}$ et $\vec{w}$ sont des vecteurs de l'espace et $\lambda$ est un nombre réel on a :

1) $~\vec{u} \cdot \vec{v}=\vec{v} \cdot \vec{u}~~$ (la symétrie)

2) $~\vec{u} \cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{u} \cdot \vec{w}$

3) $~(\lambda \vec{u}) \cdot \vec{v}=\lambda \cdot(\vec{u} \cdot \vec{v})$

4) $~(\vec{u}+\vec{v}) \cdot \vec{w}=\vec{u} \cdot \vec{w}+\vec{v} \cdot \vec{w}$ ;

$\bullet ~\vec{u} \cdot(\lambda \vec{v})=\lambda(\vec{u} \cdot \vec{v})$

$\bullet ~(\vec{u}+\vec{v})^2=\vec{u}^2+2 \vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v}^2 ;$

$\bullet ~(\vec{u}-\vec{v})^2=\vec{u}^2-2 \vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v}^2$

$\bullet ~(\vec{u}+\vec{v}) \cdot(\vec{u} - \vec{v})=\vec{u}^2-\vec{v}^2$

Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs de l'espace alors:

$\vec{u} \cdot \vec{v}=\frac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2-\|\vec{u}-\vec{v}\|^2\right)$

Si $A, B, C$ et $D$ sont des points de l'espace ; $C'$ et $D'$ sont les projetés orthogonaux respectifs des points $C$ et $D$ sur la droite (AB) alors :

$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{C'D'}$$

L'espace vectoriel est rapporté à la base orthonormée $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

Si $~\vec{u}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}~$ et $~\vec{v}=x^{\prime} \vec{i}+y^{\prime} \vec{j}+z^{\prime} \vec{k}$

alors : $~\vec{u} \cdot \vec{v}=x x^{\prime}+y y^{\prime}+z z^{\prime}~$ et $~\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Soient $~A\left(x_A, y_A, z_A\right)~$ et $~B\left(x_B, y_B, z_B\right)~$ deux points de l'espace rapporté au repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

on a: $\quad A B=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2+\left(z_B-z_A\right)^2}$