Produit Vectoriel

Un repère de l'espace est un quadruplet $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ formé :

- D'un point $O$ appelé origine du repére.

- D'un triplet $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ de vecteurs non coplanaires.

Un trièdre est la figure formée par trois demi-droites non coplanaires de même origine. Les 3 plans $xOy$, $yOz$ et $zOx$ sont appelés les faces du trièdre. Si $Ox$, $Oy$, $Oz$ sont deux à deux perpendiculaires, le trièdre est dit trirectangle.

Une base $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ de $V_3$ est directe si le repère $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ est direct quelque soit le point $O$ dans l'espace.

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs dans $v_3$.

Le produit vectoriel des deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le vecteur $~\vec{w}=\vec{u} \wedge \vec{v}$ tel que :

- Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires alors : $~\vec{u} \wedge \vec{v}=\overrightarrow{0}$

- Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont non colinéaires :

• Le vecteur $~\vec{u} \wedge \vec{v}~$ est orthogonal à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$
• La base $~(\vec{u}, \vec{v}, \vec{u} \wedge \vec{v})~$ est une base directe
• $\|\vec{u} \wedge \vec{v}\|=\|\vec{u}\| \cdot|| \vec{v}|| \sin \theta~$ où $~\theta~$ est la mesure de $\widehat{A O B}$