الاحتمالات : عموميات

الاحتمالات

بعض المصطلحات :

ما هي تجربة عشوائية ؟

نقصد بتجربة عشوائية كل تجربة يمكن أن تسفر عن أكثر من نتيجة

مثال :

نأخذ درهم واحد و نرمي هذا الدرهم 3 مرات على التوالي

ما هي النتائج الممكنة لهذه العملية ؟

إذا قصدنا بالحرف F الوجه الذي يوجد فيه الملك
إذا قصدنا بالحرف P الوجه الذي يوجد فيه العرش الملكي
هذه النتائج الممكنة :

كما يتبيّن فإن هذه التجربة يمكن أن تسفر على 8 نتائج مختلفة، و هذا ما يميز أي تجربة عشوائية

ما هو كون الإمكانيات ؟

هو مجموعة الإمكانيات الممكنة لتجربة عشوائية

نرمز له بالحرف اللاتيني Ω

ما هو حدث ؟

حدث A هو جزء من كون الإمكانيات Ω

ما هو حدث ابتدائي ؟

كل حدث يتضمن عنصرا واحدا

تحقق الحدث A∩B :

إذا تحقق الحدثان A و B في آن واحد نتكلم عن الحدث A∩B

تحقق الحدث A∪B :

إذا تحقق الحدث A أو B  نتكلم عن الحدث A∪B

الحدث المضاد للحدث A :

 

$\mathrm{هو} \mathrm{الحدث} \overline{A} \mathrm{بحيث} \Omega =A\cup \overline{A} و \varnothing =A\cap \overline{A}$

متى نتكلم عن حدثين غير منسجمين ؟

نقول أن الحدثين A  و B غير منسجمين عندما  A∩B=∅

 

 

تعريف احتمال و خاصيات

للمشاهدة على يوتيوب: https://youtu.be/Y0DZfD_lbf4

تعريف الاحتمال :

$$\begin{gathered} \mathrm{ليكن} \Omega \mathrm{كون} \mathrm{إمكانيات} \mathrm{تجربة} \mathrm{عشوائية} \\ \mathrm{عندما} \mathrm{يستقر} \mathrm{احتمال} \mathrm{حدث} \mathrm{ابتدائي} {\{}_i\omega \} \mathrm{في} \mathrm{قيمته} { }_{i}p \\ \mathrm{نقول} \mathrm{أن} \mathrm{احتمال} \mathrm{الحدث} {\{}_i\omega \} \mathrm{هو} { }_{i}p و \mathrm{نكتب} :{ }_{i}p=\left({\{}_i\omega \right\})P \\ \mathrm{احتمال} \mathrm{حدث} \mathrm{هو} \mathrm{مجموع} \mathrm{الاحتمالات} \mathrm{الابتدائية} \mathrm{التي} \mathrm{تكون} \mathrm{هذا} \mathrm{الحدث} \\ \mathrm{أي} \mathrm{اذا} \mathrm{كان} {\{}_n\omega .....{.}_3\omega {,}_2\omega {,}_1\omega \}=A \mathrm{حدثا} \mathrm{من} A \\ \mathrm{فإن} \mathrm{احتمال} \mathrm{الحدث} A \mathrm{هو} : { }_{n}p+.....{+}_{2}p{+}_{1}p=\left(A\right)P \end{gathered}$$

خاصيات الاحتمالات :

$$\begin{gathered} \mathrm{ليكن} \Omega \mathrm{كون} \mathrm{إمكانيات} \mathrm{تجربة} \mathrm{عشوائية} \\ 1=\left(\Omega \right)p \\ 0=(\varnothing )p \\ 1\ge \left(A\right)p\ge 0 \mathrm{لكل} \mathrm{حدث} A \mathrm{من} \Omega \end{gathered}$$

احتمال اتحاد حدثين :

$$\begin{gathered} (B\cap A)P-\left(B\right)P+\hspace{0.17em}\left(A\right) P=(B\cup A)P \\ \mathrm{أما} \mathrm{بالنسبة} \mathrm{لحدثين} \mathrm{غير} \mathrm{منسجمين} : \\ \left(B\right)P+\hspace{0.17em}\left(A\right) P=(B\cup A)P \end{gathered}$$

احتمال الحدث المضاد:

$\mathrm{لكل} \mathrm{حدث} A \mathrm{من} \Omega : \left(A\right)P-1=\left(\overline{A}\right)P$

فرضية تساوي الاحتمالات :

$$\begin{gathered} \mathrm{إذا} \mathrm{كانت} \mathrm{جميع} \mathrm{الأحداث} \mathrm{الابتدائية} \mathrm{متساوية} \mathrm{الاحتمال} \mathrm{في} \mathrm{كون} \mathrm{إمكانيتها} \Omega \\ \mathrm{فإن} \mathrm{احتمال} \mathrm{كل} \mathrm{حدث} A \mathrm{من} \Omega \mathrm{هو} : \frac{\left(A\right)drac}{\left(\Omega \right)drac}=\left(A\right)P \end{gathered}$$

طرق السحب

https://youtu.be/zsNOVxvBi6M

الاحتمال الشرطي

الاحتمالات الشرطية

---

الاحتمال الشرطي : استقلالية حدثين

تعريف :

ليكن  A و B حدثين مرتبطين بنفس التجربة العشوائية بحيث  احتمال A غير منعدم

احتمال الحدث B علما أن الحدث A محقق هو :

$P(B/A) = \frac{P(A\cap B)}{P\left(A\right)}$

---

نتيجة :

لكل حدثين A  و  B مرتبطين بنفس التجربة العشوائية بحيث P(A).P(B)≠0

$\mathrm{لدينا} : \left(A\right)P.(A/B)P=\left(B\right)P.(B/A)P=(B\cap A)P$

---

تعريف :

لكل حدثين A و B مرتبطين بنفس التجربة العشوائية

$\left(B\right)P.\left(A\right)P=(B\cap A)P \iff A\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}و B\hspace{0.17em}\mathrm{حدثان} \mathrm{مسقلان}$

---

خاصية :

$$\begin{gathered} \mathrm{ليكن} \Omega \mathrm{كون} \mathrm{إمكانيات} \mathrm{تجربة} \mathrm{عشوائية} و{ }_1\Omega و{ }_2\Omega \mathrm{تجزيئا} ل \Omega \\ \mathrm{يعني} \Omega {=}_2\Omega {\cup }_1\Omega و \varnothing {=}_2\Omega {\cap }_1\Omega \\ \mathrm{لكل} \mathrm{حدث} A \mathrm{من} \Omega : \\ {(}_2\Omega \cap A)P+{(}_1\Omega \cap A)P=\left(A\right)P \end{gathered}$$

المتغيرات العشوائية، الامل الرياضي،المغايرة،القانون الحداني

المتغيرات العشوائية، المغايرة و الأمل الرياضي

https://youtu.be/ekYmT7FnxCg

التعداد

المبدأ الأساسي للتعداد

الترتيبات بتكرار

الترتيبات بدون تكرار