La fonction Exponentielle Népérienne

1. La fonction $\exp$ est une bijection de $$\mathbb{R}$$ vers $$\mathbb{R}^*_+ \\$$
2.  ($$\forall x \in \mathbb{R}$$) $$\quad \exp(x)>0 \\$$
3.  ($$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$$) $$\quad \exp(x)=\exp(y) \Leftrightarrow x=y \\$$
4.  La fonction $\exp$ est continue et strictement croissante sur $$\mathbb{R}\\$$
5.  ($$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$$) $$\quad \exp(x)>\exp(y) \Leftrightarrow x>y \\$$
6.  ($$\forall x \in \mathbb{R}$$) $$\quad \ln(\exp(x))=x \\$$
7.  ($$\forall x > 0$$) $$\quad \exp(\ln(x))=x$$

Soient $x$ et $y$ des éléments de $$\mathbb{R}$$ et $r$ un élément de $$\mathbb{Q}$$

1.  $$\exp(x+y)=\exp(x).\exp(y)\\[0.2cm]$$
2.  $$\exp(-x)=\frac{1}{\exp(x)}\\[0.2cm]$$
3.  $$\exp(x-y)=\frac{\exp(x)}{\exp(y)}\\[0.2cm]$$
4.  $$\exp(r.x)= (\exp(x))^r$$

Avec cette nouvelle notation, on résume les résultats vus précédemment par:

1.  ($$\forall x \in \mathbb{R}$$) $$\quad e^x>0\\[0.2cm]$$
2.  ($$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$$) $$\quad e^x=e^y \Leftrightarrow x=y \\[0.2cm]$$
3.  ($$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$$) $$\quad e^x>e^y \Leftrightarrow x>y \\[0.2cm]$$
4.  ($$\forall x \in \mathbb{R}$$) $$\quad \ln(e^x)=x \\[0.2cm]$$
5.  ($$\forall x > 0$$) $$\quad e^{\ln(x)}=x \\[0.2cm]$$
6.  $$e^{x+y}=e^x.e^y \\[0.2cm]$$
7.  $$e^{-x}=\frac{1}{e^x} \\[0.2cm]$$
8.  $$e^{x-y}=\frac{e^x}{e^y}\\[0.2cm]$$
9.  $$e^{r.x}= (e^x)^r$$