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Maths
Les suites numériques
2ème année bac Sciences Math A Mathématiques Les suites numériques fiche de cours
Rappels
Commençons par une définition simple et amusante des suites numériques $\\$ Suite Arithmétique ! 
Suite Géométrique ! 
Le principe des suites numériques.. simple et énervant ! merci "Les Maths en Tongs" pour la caricature 😀
Suite Arithmétique et suite Géométrique
Et maintenant les choses sérieuses commencent 😀
| Suite Arithmétique | Suite Géométrique |
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1-Définition : On dit que $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ est une suite arithmétique s'il existe un réel $$r$$ (appelé raison de la suite ($$U_n$$)) tel que $$ \forall n \ge n_0 \quad U_{n+1}=U_n+r $$ |
1-Définition : On dit que: $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ est une suite Géométrique s'il existe un réel $$q$$ (appelé raison de la suite ($$U_n$$)) tel que $$\forall n \ge n_0\quad U_{n+1}= U_n.q$$ |
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2- $$U_n$$ en fonction de $n$ : $$ \forall n \in \mathbb{N} ~~~ U_n= U_0+n \cdot r $$ $$\forall n,p \in \mathbb{N}~~~U_n=U_p +(n-p)\cdot r $$ |
2- $$U_n$$ en fonction de $n$: $$\forall n \in \mathbb{N} ~~~U_n= U_0 \cdot q^n $$ $$\forall n,p \in \mathbb{N} ~~~ U_n= U_p \cdot q^{n-p}$$ |
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3-propriété caractéristique : $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ Arithmétique $$ \Leftrightarrow \forall n> n_0~ 2U_n=U_{n-1}+U_{n+1}$$ |
3-propriété caractéristique : $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ Géométrique $$ \Leftrightarrow \forall n> n_0~U^2_n=U_{n-1}\cdot U_{n+1}$$ |
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4-La somme : $$q \ne 1 $$ $$U_p+U_{P+1}+....+U_n= \frac{n-p+1}{2 }(U_p+U_n)$$ |
4-La somme : $$ U_p+U_{p+1}+...+U_n=U_p \cdot \frac{1- q^{n-p+1}}{ 1-q}$$ |
La monotonie
Soit $$a$$ un nombre réel tel que: $$~U_{n+1}-U_n = a\\[0.2cm]$$ Si $$~~a>0 \Rightarrow (U_n)_{n \ge n_0}~$$ est strictement croissante $\\[0.2cm]$ si $$~~a< 0 \Rightarrow (U_n)_{n \ge n_0}~$$ est strictement décroissante $\\[0.2cm]$ Si $$~~a=0 \Rightarrow (U_n)_{n \ge n_0}~$$ est constante.
Suite Minorée, Suite Majorée, suite Bornée
1- On dit que la suite $$(U_n)_{n \ge n_0}~$$ est minorée s'il existe un réel $$m$$ tel que:
$$\\ \forall n\in \mathbb{N} \quad U_n \ge m \\[0.2cm]$$
2- On dit que la suite $$(U_n)_{n \ge n_0}~$$ est majorée s'il existe un réel $$M$$ tel que:
$$\\ \forall n \in \mathbb{N} \quad U_n \le M \\[0.2cm]$$
3- On dit que la suite $$(U_n)_{n \ge n_0}~$$ est bornée si elle est à la fois minorée et majorée
Limite d'une suite numérique
Suite divergente
تعريف
Soit $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ une suite numérique $\\$ 1- On dit que la suite $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ diverge vers $$+\infty$$ (quand $n$ tend vers +$$\infty$$) si elle vérifie:
$$(\forall A>0) (\exists p \in \mathbb{N})~$$ tq (si $$n\ge p \Rightarrow U_n > A$$)
Et on écrit:
$$\lim\limits_{n \to +\infty}U_n= +\infty \\$$
2-On dit que la suite $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ diverge vers $$-\infty$$ (quand $n$ tend vers $$+\infty$$) si elle vérifie:
$$(\forall A >0) (\exists p \in \mathbb{N})~$$ tq $$~ ( n\ge p \Rightarrow U_n < -A)$$
Et on écrit:
$$\lim\limits_{n\to +\infty}U_n = -\infty$$
ما يجب معرفته
- L'expression ( quand $n$ tend vers $$+\infty$$ ) est superflu car l'étude de la limite d'une suite c'est toujours quand $n$ tend vers $$+\infty$$ et on se contente d'écrire :
$$\lim U_n= +\infty$$
- On a les équivalences suivantes:
$$\lim U_n= +\infty \Leftrightarrow \lim(-U_n)= -\infty\\$$
$$\lim U_n= -\infty \Leftrightarrow \lim(-U_n)= +\infty$$
Suite convergente
تعريف
On dit que $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ est une suite convergente s'il existe un réel $l$ tel que:
$$ \lim U_n= l$$
c-à-d:
$$ ( \forall \epsilon > 0) (\exists p \in \mathbb{N})$$ tel que $$(n \ge p \Rightarrow |U_n -l| <\epsilon)$$
ما يجب معرفته
- Une suite qui n'est pas convergente est une suite divergente.
- Dire qu'une suite est divergente signifie qu'elle n'admet pas de limite ou qu'elle tend vers l'infini.
Les limites de références
خاصية
Les suites du terme générale $$\sqrt{n}~; ~n~; ~n^2~;~ n^3...$$ divergent vers $$+\infty$$
برهان
$$\lim~\sqrt{n}=+\infty$$
Montrons que: $$~\lim \sqrt{n}= +\infty\\[0.2cm]$$ c'est à dire on doit montrer que: $$ ~(\forall A>0) (\exists p \in N) ~(n \ge p \Rightarrow \sqrt{n} >A)$$
Soit $$A > 0$$, il suffit de trouver un élément $$p$$ de $$\mathbb{N}$$ tel que
$$(n \ge p \Rightarrow \sqrt{n} >A)$$
Posons $$~p = E(A^2)+1 ,~$$ d'où $$~p>A^2$$.
On a alors: $$~n \ge p \Rightarrow n>A^2~$$ avec $$~n\in \mathbb{N} \Rightarrow \sqrt{n}>A$$
d'où le résultat: $$~\lim \sqrt{n} = +\infty$$
خاصية
Soient $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ et $$(V_n)_{n \ge n_0}$$ deux suites numériques tels que:
$$\forall n \ge n_0 \quad \quad U_n \le V_n$$
Alors on a:
- $$\lim U_n = +\infty ~\Rightarrow ~\lim V_n = +\infty$$
- $$\lim V_n = -\infty ~\Rightarrow ~\lim U_n= -\infty $$
برهان
1- Soient $$(U_n)_{n \ge n_0}~$$ et $$~(V_n)_{n \ge n_0}~$$ deux suites numériques telles que: $$\\ \forall n \ge n_0\quad$$ $$U_n \le V_n \quad$$ et $$\quad \lim U_n = +\infty \\[0.2cm]$$ Montrons que: $$~\lim V_n = +\infty~$$ c'est à dire on doit montrer que :$$\\ (\forall A>0) (\exists p \in N)~ (n \ge p \Rightarrow V_n >A)\\[0.2cm]$$ Soit $$~A>0~$$ puisque $$~\lim~U_n= +\infty~$$ donc
$$(\exists q \in N)~ (n\ge q \Rightarrow U_n >A$$)
et puisque $$~\forall n \ge n_0$$ $$\quad U_n \le V_n \\$$
Alors: posons $$p= \sup(n_0, q) \\$$
$$\left\{ \begin{array}{lll} n \ge p \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{lcl} n\ge n_0\\ n \ge q \\ \end{array} \right. \Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl} V_n \ge U_n\\ U_n > A \end{array} \right. \Rightarrow\left\{ \begin{array}{lcl} V_n > A\\ \end{array} \right.$$
d'où le résultat: $$~\lim\limits_{V \rightarrow n}= \infty$$
خاصية
Soit $$a$$ un réel :
- $$\forall ~a>1~~$$ on a $$~~\lim a^n= +\infty$$
- $$\forall ~ |a|<1~~$$ on a $$~~\lim a^n = 0$$
- $$\forall ~ a\le-1~~$$ la suite ($$a^n)$$ n'admet pas de limite
برهان
Preuve des deux premier résultats:
1- Soit $$~a>1~$$ donc $$~a-1> 0~$$, on a : $$~a= 1+ (a-1) \\[0.2cm]$$ Posons : $$~a-1 = \alpha \Rightarrow a= 1+\alpha \\[0.2cm]$$ Par Récurrence on peut montrer facilement le résultat suivant:
$$\forall n \in \mathbb{N}\quad \quad (1+ \alpha)^n \ge 1+n.\alpha$$
(ce résultat s'appelle l'inégalité de Bernoulli)
d'où : $$~~\forall n \in \mathbb{N} \quad a^n \ge 1+n.\alpha$$
on a : $$~~\lim~1+n.\alpha = +\infty$$
Alors : $$ ~~\lim~ a^n = +\infty \\[0.2cm]$$
2- Si $$~a=0 \Rightarrow a^n=0 \Rightarrow \lim \,\,a^n=0 \\[0.2cm]$$ $$\begin{aligned}0<a<1 &\Rightarrow \frac{1}{a}>1 \\ &\Rightarrow \lim \left(\frac{1}{a}\right)^n = +\infty\\ &\Rightarrow \lim \frac{1}{a^n} = +\infty \\ &\Rightarrow \lim~~ a^n= 0\end{aligned} \\[0.2cm]$$ Si $~-1<a<0\\$ Alors :$~~\exists b>1~$ tel que : $~~a=-\frac{1}{b}\\[0.2cm]$ puisque $~~0<\frac{1}{b}<1\\$ Alors : $~~\lim \frac{1}{b} = 0~ \Rightarrow ~\lim - \frac{1}{b}=0 \quad $ d'où le résultat
مثال
- $$\lim~ (\sqrt{5})^n = +\infty \quad \quad$$ car $$~ \sqrt{5}>1$$
- $$\lim~ 8^n = +\infty \quad \quad$$ car $$~8>1$$
- $$\lim~ (\frac{2}{5})^n = 0 \quad \quad$$ car $$~ -1<\frac{2}{5}<1$$
Limites des suites usuelles :
خاصية
Les suites de terme général $$~\frac{1}{\sqrt{n}}~;~\frac{1}{n}~; ~\frac{1}{n^2}~;~\frac{1}{n^3}...$$ convergent vers $$0$$
برهان
$${\lim \frac{1}{n^2}= 0}\\[0.2cm]$$ Montrons que: $$~\lim \frac{1}{n^2}= 0 \quad $$ c'est à dire on doit montrer que:
$$ (\forall \epsilon>0) (\exists p \in N) \quad (n \ge p \Rightarrow |\frac{1}{n^2}|< \epsilon)$$
Soit $$\epsilon > 0$$, il suffit de trouver un élément $$p$$ de $$\mathbb{N}$$ tel que :
$$(n \ge p \Rightarrow |\frac{1}{n^2}|< \epsilon)$$
Posons $$~p = E(\frac{1}{\sqrt{\epsilon}})+1 $$,
d'où $$~p>\frac{1}{\sqrt{\epsilon}} $$.
On a alors: $$~n \ge p \Rightarrow n>\frac{1}{\sqrt{\epsilon}} ~(n\in \mathbb{N}^*) \Rightarrow n^2 > \frac{1}{\epsilon} \Rightarrow \frac{1}{n^2}< \epsilon$$
d'où le résultat: $$~~\lim~ \frac{1}{n^2}=0$$
Proposition : Unicité de la limite
Soit $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ une suite convergente de limite $$l$$. Alors $$l$$ est unique
برهان
Raisonnement par l'absurde Supposons qu'il existe une suite $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ qui possède deux limites distinctes $$l_1$$ et $$l_2$$.
Posons $$\epsilon =\frac{|l_1 - l_2|}{2},~$$ en appliquant la définition de la limite, on obtiendra:
$$\left\{ \begin{array}{lcl} (\forall n \in N)~~(\exists p \in N)~~ (n\ge p \Rightarrow |U_n - l_1| < \frac{|l_1-l_2|}{2}) \\[0.2cm] (\forall n \in N)~~(\exists q \in N)~~ (n\ge q \Rightarrow |U_n - l_2| < \frac{|l_1-l_2|}{2}) \\ \end{array} \right. \ \\[0.3cm]$$
Cela implique: $$~\left\{ \begin{array}{lll} (n\ge p \Rightarrow |U_n - l_1| < \frac{|l_1-l_2|}{2}) \\[0.2cm] (n\ge q \Rightarrow |l_2- U_n| < \frac{|l_1-l_2|}{2}) \\ \end{array} \right. \ \\[0.2cm]$$
Soit $$~R= \sup( p,q) \cdot n \ge R \\[0.2cm]$$
$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{lcl} -\frac{|l_1-l_2|}{2}< U_n - l_1 < \frac{|l_1-l_2|}{2} \\ -\frac{|l_1-l_2|}{2}< -U_n + l_2 < \frac{|l_1-l_2|}{2} \\ \end{array} \right. \\[0.2cm]$$
$$\Rightarrow -|l_1-l_2|< l_2-l_1 < |l_1-l_2| \Rightarrow |l_2-l_1| < |l_1-l_2| \\[0.2cm]$$
Ce qui est absurde. D'où le résultat
ما يجب معرفته
- La suite $$U_n$$= $$(-1)^n$$ est divergente.
- Une suite peut être convergente sans qu'elle soit monotone.
- Si $$~~\lim \Vert U_n\Vert =0~~$$ Alors $~~\lim U_n= 0$
مثال
$$U_n=\frac{(-1)^n}{n}$$ n'est pas monotone mais elle est convergente.
Opérations sur les limites des suites
خاصية
Si $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ et $$(V_n)_{n \ge n_0}$$ sont deux suite convergentes et $$\alpha$$ un réel quelconque $\\$ Alors les suites: $$~ (U_n+V_n)_{n \ge n_0}~~$$; $$~~(U_n .V_n)_{n \ge n_0}~~$$; $$(\alpha U_n)_{n \ge n_0}~~$$ convergent. $$\\[0.2cm]$$ Si de plus $$~\lim (V_n)\ne 0 , ~$$ alors la suite: $$~(\frac{U_n}{V_n})_{n \ge n_0} ~$$ converge.$\\[0.2cm]$ Et on a:
- $$\lim (U_n + V_n)= \lim (U_n)+\lim(V_n) \\[0.2cm]$$
- $$\lim (U_n.V_n) = \lim (U_n)\cdot \lim(V_n) \\[0.2cm]$$
- $$\lim (\alpha U_n) = \alpha \lim(U_n)\\[0.2cm]$$
- $$\lim (\frac{U_n}{V_n}) = \frac{\lim U_n}{\lim V_n}$$
مثال
1-$$\lim \frac{3n^2-n+1}{2n^2+n-1} = \lim \frac{n^2(3-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})}{n^2(2+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2})} = \lim \frac{3-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{2+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}= \frac{3}{2}\\[0.2cm]$$ 2- $$\lim 4-\frac{3}{\sqrt{n}}+\frac{1}{2n}= \lim 4 - \lim \frac{3}{\sqrt{n}} + lim\frac{1}{2n} = 4$$
تطبيق
Montrer que: $$~\lim~(3^n-2^n) = +\infty \quad $$ et $$\quad \lim ~\frac{5^n+2^n}{3^n+4^n}= +\infty$$
Limites de la somme
| $$ \lim U_n$$ | $\ell$ | $$+\infty$$ | $$-\infty$$ | $\ell$ | $\ell$ | $$+\infty$$ |
| $$\lim V_n$$ | $\ell'$ | $$+\infty$$ | $$-\infty$$ | $$+\infty$$ | $$-\infty$$ | $$-\infty$$ |
| $$ \lim (U_n+V_n)$$ | $\ell + \ell '$ | $$+\infty$$ | $$-\infty$$ | $$+\infty$$ | $$-\infty$$ | $F.I$ |
Limites du produit
| $$\lim U_n$$ | $$ \ell \ne 0 $$ | $\ell$ | $$\infty$$ | 0 |
| $$\lim V_n$$ | $$\infty$$ | $\ell '$ | $$\infty$$ | $$\infty$$ |
| $$\lim U_n \cdot V_n$$ | $$\infty$$ | $\ell \cdot \ell '$ | $$\infty$$ | $F.I$ |
Limites du quotient
| $$\lim U_n$$ | $\ell$ | $\ell$ | $$\ell \ne 0 $$ | $$\infty$$ | $$\infty$$ | $0$ | $$\infty$$ |
| $$V_n$$ | $$\ell '\ne 0$$ | $$\infty$$ | $0$ | $0$ | $\ell$ | $0$ | $$\infty$$ |
| $$\lim \frac{U_n}{V_n}$$ | $$\frac{\ell}{\ell'}$$ | $0$ | $$\infty$$ | $$\infty$$ | $$\infty$$ | $F.I$ | $F.I$ |
Les limites et l'ordre
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