FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIENNE

DÉFINITION DE LA FONCTION $~\ln$

تعريف

La primitive de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $] 0 ;+\infty[$ et qui s'annule en $1$ est appelée la fonction logarithme népérienne, et on la note $\mathrm{\ln}$.

image/svg+xml Remarque

- L'ensemble de définition de la fonction $\ln$ est $] 0 ;+\infty[~$ et $~\ln (1)=0$.

- La fonction $\ln$ est dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ et de plus:

$(\forall x \in] 0 ;+\infty[) \quad \ln ^{\prime}(x)=\frac{1}{x}$

Rappel

On rappelle que toute fonction continue sur un intervalle admet une primitive définie sur cet intervalle.

مثال

On considère les fonctions numériques $f, g$ et $h$ définies par:

$f(x)=\ln x+\ln (x-1) \quad ; \quad g(x)=\ln \left(x^{2}-x\right) \\[0.2cm] h(x)=\ln\left(\frac{x-4}{x+1}\right)$

Déterminons leurs ensembles de définition :

- L'expression $f(x)$ a un sens si $x>0$ et $x-1>0$, c'est-à-dire si $x>1$. Par suite: $\left.D_{f}=\right] 1 ;+\infty[$

- L'expression $g(x)$ a un sens si $x^{2}-x>0 .\\$ Donc: $\left.D_{g}=\right]-\infty ; 0[\cup] 1 ;+\infty[$.

- L'expression $h(x)$ a un sens si $\frac{x-4}{x+1}>0 .\\$ Donc: $\left.D_{h}=\right]-\infty ;-1[\cup] 4 ;+\infty[.$

تطبيق

Déterminer le domaine de définition de chacune des fonctions $f, g$ et $h$ définies par:

$f(x)=\ln (x+4)-\ln \left(25-x^{2}\right) \\$

$g(x)=\ln \left(x^{2}-8x+7\right)\\$

$h(x)=\sqrt{(x-1) \ln x}$

MONOTONIE DE LA FONCTION $~\ln$

Proposition 1

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $] 0 ;+\infty[.$ On a alors :

- Pour tout $(x ; y) \in(] 0 ;+\infty[)^{2}: \quad \ln x<\ln y \Leftrightarrow x$

- Pour tout $x \in] 0 ;+\infty[:\\$ $\ln x=0 \Leftrightarrow x=1 \quad$ et $\quad \ln x>0 \Leftrightarrow x>1 \quad$ et $\quad \ln x<0 \Leftrightarrow x<1$

مثال

1) Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante: $\quad \ln \left(x^{2}-4\right)=\ln(4 x-6)$

Cette équation est définie si $~x^{2}-x>0~$ et $~4 x-6>0\\[0.2cm]$ c'est-à-dire si $~\left.x\in\right] \frac{3}{2} ;+\infty[$.

On a maintenant pour tout $x \in] \frac{3}{2} ;+\infty[$ :

$\ln \left(x^{2}-x\right)=\ln (4 x-6) \Leftrightarrow x^{2}-x=4 x-6 \Leftrightarrow x^{2}-5 x+6=0$

Les solutions de l'équation $x^{2}-5 x+6=0$ sont $2$ et $3$ .

Comme $\left.2 \in\right] \frac{3}{2} ;+\infty[$ et $3 \in] \frac{3}{2} ;+\infty[$, alors $S=\{2 ; 3\}$.

2) Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'inéquation suivante :

$\ln (14-x)>\ln \left(10+7 x-3x^{2}\right)$

Cette inéquation est définie si $~14-x>0~$ et $~10+7 x-3 x^{2}>0$,

c'est-à-dire si $\left.x \in\right]-1 ; \frac{10}{3}[$.

On a maintenant pour tout $x \in]-1 ; \frac{10}{3}[:$

$\begin{aligned}\ln (14-x)>\ln \left(10+7 x-3 x^{2}\right) &\Leftrightarrow 14-x>10+7 x-3 x^{2} \\[0.2cm] &\Leftrightarrow 3 x^{2}-8 x+4>0 \\[0.2cm] & \Leftrightarrow(x-2)(3 x-2)>0\end {aligned}$

L'ensemble des solutions de l'inéquation $\\ (x-2)(3 x-2)>0$ dans $\mathbb{R}$ est

$\left.S_{1}=\right]-\infty ; \frac{2}{3}[\cup] 2 ;+\infty[.$

Par suite, l'ensemble solution de l'inéquation $\\ \ln (14-x)>\ln \left(10+7 x-3 x^{2}\right)$ est:

$\left.S=S_{1} \cap\right]-1 ; \frac{10}{3}[=]-1 ; \frac{2}{3}[\cup] 2 ; \frac{10}{3}[$

تطبيق

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et les inéquations suivantes:

$\ln (2 x-3)=\ln (4-x) $

$\ln \left(x^{2}+x\right)=\ln (-2 x-2) $

$\ln \left(3 x^{2}+4 x+2\right)=0$

$\ln (4 x-5)>\ln (2 x+3)$

$\ln \left(x^{2}+3 x\right)-\ln (x+2) \geq 0$

$\ln \left(3 x^{2}-4 x+1\right) \geq 0$

2. Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes :

$f(x)=\sqrt{\ln \left(\frac{x+1}{1-x}\right)} \quad ; \quad g(x)=\frac{1}{\ln (|x-2|-1)}\quad ; \quad h(x)=\frac{1}{(\ln x)^{3}}+\frac{x}{\ln (x+2)}$

Vidéo Fonction logarithme népérien
15 min
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PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES

Proposition

Pour deux réels strictement positifs $x$ et $y$ on a :

$\ln (x y)=\ln x+\ln y \quad$ (Propriété fondamentale).

Dans cette propriété fondamentale on peut déduire les propriétés algébriques suivantes:

Proposition 

1) Pour tout réel strictement positif $x$, on a : $~\ln \left(\frac{1}{x}\right)=-\ln x$

2) Pour tout $(x ; y) \in(] 0 ;+\infty[)^{2}$ on a :$~ \ln \left(\frac{x}{y}\right)=\ln x-\ln y$

3) Pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$ et pour tous réels strictement positifs $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$, on a :

$\ln \left(x_{1} x_{2} \ldots . x_{n}\right)=\ln \left(x_{1}\right)+\ln\left(x_{2}\right)+\ldots+\ln \left(x_{n}\right)$

4) Pour tout $x \in] 0 ;+\infty\left[\right.$ et pour tout $r \in \mathbb{Q}$, on a: $~\ln \left(x^{r}\right)=r \ln x$

image/svg+xml Remarque

- Soit $a$ et $b$ deux réels strictement négatifs. On a alors $a b>0~$ et $~\frac{a}{b}>0 .$

Il s'ensuit donc:

$\ln (a b)=\ln |a|+\ln |b| \quad \text { et } \quad \ln \left(\frac{a}{b}\right)=\ln |a|-\ln |b|$

- On a pour tout $x \in] 0,+\infty\left[\right.$ et pour tout entier $n \geq 2:$

$\ln (\sqrt{x})=\frac{1}{2} \ln (x)\quad $ et $\quad \ln (\sqrt[n]{x})=\frac{1}{n} \ln (x)$

مثال

soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. On pose : $\alpha=\ln (a)\\$ et $\beta=\ln (b)$.

Exprimons $\ln \left(a^{2} b^{5}\right)$ et $\ln \left(\frac{1}{\sqrt[6]{a^{7} b}}\right)$ en fonction de $\alpha$ et $\beta$ :

$\ln \left(a^{2} b^{5}\right)=\ln \left(a^{2}\right)+\ln \left(b^{5}\right)=2 \ln (a)+5\ln (b)=2 \alpha+5 \beta$

$\ln \left(\frac{1}{\sqrt[6]{a^{7} b}}\right)=\ln \left(a^{-\frac{7}{6}} \cdot b^{\frac{1}{6}}\right)=\ln \left(a^{-\frac{7}{6}}\right)+\ln \left(b^{-\frac{1}{6}}\right)=-\frac{7}{6} \alpha-\frac{1}{6} \beta$

LIMITES USUELLES

Proposition

$\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \ln (x)=+\infty \quad$ et $\quad \lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} \ln (x)=-\infty$

Proposition

- $\ln (] 0 ;+\infty[)=\mathbb{R}$

- L'équation $\ln (x)=1$ admet une unique solution dans $] 0 ;+\infty[.~$ On la note

$e: \ln (x)=1 \Leftrightarrow x=e$

image/svg+xml Remarque

- A l'aide de la calculatrice, on trouve comme valeur approchée de $e : $

$e \approx 2,718281828$

- On a pour tout $r \in Q: \quad \ln \left(e^{r}\right)=r$

تطبيق

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:

$\begin{aligned}\ln (2 x-1)=-\frac{3}{5} \quad \quad &; \quad \quad \ln \sqrt{x}=3 \ln 2 \\[0.2cm] (\ln x)^{2}-5\ln x+4=0 \quad \quad &; \quad \quad \frac{\ln x+2}{\ln x-1}=3\end{aligned}$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :

$\begin{aligned}\ln x \geq 3 \quad \quad &; \quad \quad \ln ^{2} x-5 \ln x+6>0 \\[0.2cm] -2 \ln ^{2} x+3 \ln x+5\geq 0 \quad \quad  &; \quad \quad \frac{\ln x-1}{\ln x+2} \leq 0\end{aligned}$

3. Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes:

$\begin{aligned}f(x)=\frac{3 \ln x-4}{\ln x+5} \quad \quad &; \quad \quad g(x)=\sqrt{\ln x-2}\\[0.2cm] h(x)=\frac{\sqrt{1-\ln x}}{1+\ln x} \quad \quad &; \quad \quad k(x)=\sqrt{\frac{1-\ln x}{1+\ln x}}\end{aligned}$

4. Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ les systèmes suivants :

$\left(S_{1}\right):\left\{\begin{array}{l} \ln x-\ln y=2 \\ 2 \ln x-3 \ln y=5 \end{array}\right.\quad ; \quad \left(S_{2}\right):\left\{\begin{array}{l}x+y=4 \\ \ln x+ \ln y=\ln 3 \end{array}\right. \\[0.2cm] \left(S_{3}\right):\left\{\begin{array}{l} \ln x-\ln y=-1 \\ \ln^2 x+ \ln^2 y=5 \end{array}\right. \quad ; \quad \left(S_{4}\right):\left\{\begin{array}{l} x^2 +y^2 = 218\\ \ln x+\ln y=\ln 91 \end{array}\right. \\[0.2cm] \left(S_{5}\right):\left\{\begin{array}{l}\ln \sqrt{x}-\ln y^{2}=1 \\ -\ln x+4 \ln y=6 \end{array}\right. \quad ; \quad \left(S_{6}\right):\left\{\begin{array}{l}x y=e^{3} \\ 3 \ln x-4 \ln y=2\end{array}\right. \\[0.2cm] $

Proposition

Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $\ln$ dans un repère orthonormé. Alors:

- La courbe $\mathcal{C}$ admet l'axe des ordonnées comme asymptote :

$\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} \ln (x)=-\infty$.

- La courbe $\mathcal{C}$ admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses:

$\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln x}{x}=0$.

- La courbe $\mathcal{C}$ est concave sur $] 0 ;+\infty[$

LIMITES FONDAMENTALES

Proposition 7

- On a: $~\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} x \ln x=0~~$ et $~~\lim\limits _{x \rightarrow 1} \frac{\ln x}{x-1}=1 ~~$ et $~~\lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{x}=1$

- On a pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}: ~\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln (x)}{x^{n}}=0~~$ et $~~\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} x^{n} \ln (x)=0$.

تطبيق

Calculer les limites suivantes:

$\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt[3]{x} \ln x \quad ; \quad \lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln x}{\sqrt[5]{x}}\quad  ;\quad \lim\limits _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{2}-7 x-5 \ln x\right) $

$\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln \left(x^{2020}+x+1\right)}{x} \quad  ; \quad \lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln x}{\ln x+3}\quad  ;\quad\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} x^{2} \ln \left(1+\frac{4}{x^{2}}\right)$

$\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln x}{\ln \left(x^{2}-1\right)} \quad ; \quad \lim\limits _{x \rightarrow 3} \frac{2 x}{x-3} \ln \left(\frac{x}{3}\right) \quad ;\quad \lim\limits _{x \rightarrow+\infty} x \ln \left(\frac{x-1}{x+1}\right) $

$\lim\limits_{x \rightarrow 0^{-}} x \ln \left(x^{2}-3 x\right)$

DÉRIVÉE LOGARITHMIQUE

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