Limite d'une fonction en un point (Rappels)

Limites usuelles

خاصية

Soit $n$ un entier naturel non nul et $k$ un nombre réel. Alors:

  • $\lim_{x \rightarrow 0}~ k x^{n}=0$
  • $\lim_{x \rightarrow 0} ~k \sqrt{|x|}=0 $
  • $\lim {x \rightarrow x_{0}} ~k\left(x-x_{0}\right)^{n}=0$
  • $\lim{x \rightarrow x_{0}} ~k \sqrt{\left|x-x_{0}\right|}=0$
  • $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} ~\frac{1}{x^{n}}=+\infty ~~$ et $~~\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty$
  • $\lim _{x \rightarrow 0^{-}}~ \frac{1}{x^{n}}=+\infty~$ si l'entier $n$ est pair. 
  • $\lim _{x \rightarrow 0^{-}} ~\frac{1}{x^{n}}=-\infty~$ si l'entier $n$ est impair.

خاصية

Soit $n$ un entier naturel non nul et $k$ un nombre réel. Alors:

  • $\lim_{x \rightarrow+\infty} x^{n}=+\infty ~~$ et $~~\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x}=+\infty$
  • $\lim _{x \rightarrow-\infty} x^{n}=+\infty~$ si l'entier $n$ est pair $\\$ et $~\lim _{x \rightarrow-\infty} x^{n}=-\infty~$ si l'entier $n$ est impair.
  • $\lim _{x \rightarrow+\infty} ~\frac{k}{x^{n}}=0 $
  • $ \lim _{x \rightarrow-\infty}~ \frac{k}{x^{n}}=0 $ 
  • $ \lim _{x \rightarrow+\infty} ~\frac{k}{\sqrt{x}}=0 $
  • $ \lim _{x \rightarrow-\infty} ~\frac{k}{\sqrt{-x}}=0.$

image/svg+xml Remarque

- La limite d'une fonction en un point est une notion locale ; c'est-à-dire que cette notion ne dépend de la fonction qu'au voisinage de ce point.$\\[0.2cm]$ - Soit $\ell \in \mathbb{R} .\\[0.2cm]$ En posant $x-x_{0}=h$, on obtient: $\\ \lim {x \rightarrow x_{0}} f(x)=\ell \Leftrightarrow \lim {h \rightarrow 0} f\left(x_{0}+h\right)=\ell.\\[0.2cm]$ - Si la limite d'une fonction numérique $f$ existe en un point, alors elle est unique. $\\[0.2cm]$ - Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$. On a les limites suivantes:

  • $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}~ \frac{1}{x-x_{0}}=+\infty $
  • $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}} ~\frac{1}{x-x_{0}}=-\infty$
  • $\lim_{x \rightarrow x_{0}} ~\frac{1}{\left(x-x_{0}\right)^{2}}=+\infty$
  • $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}~ \frac{1}{\sqrt{x-x_{0}}}=+\infty$
  • $\lim_{x\rightarrow x_{0}} ~\frac{1}{\left(x-x_{0}\right)^{n}}=+\infty~$ si $~n$ est un entier pair.
  • $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}} ~\frac{1}{\left(x-x_{0}\right)^{n}}=+\infty~$ et $~\lim {x \rightarrow x_{0}^{-}} \frac{1}{\left(x-x_{0}\right)^{n}}=-\infty~$ si $~n$ est un entier impair.

Limites Des Fonctions Usuelles

Proposition

Soit $P$ et $Q$ deux fonctions polynomiales et $x_{0} \in \mathbb{R}.$ Alors: $\\[0.2cm]$ (1) $~\lim_{x \rightarrow+\infty} P(x)=P\left(x_{0}\right)\\[0.2cm]$ (2) Si $~Q\left(x_{0}\right) \neq 0~$ alors $\lim_{i \rightarrow n} \frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P\left(x_{0}\right)}{Q\left(x_{0}\right)}\\[0.2cm]$ (3) $\lim_{x \rightarrow x_{0}} \sin x=\sin x_{0}\\[0.2cm]$ (4)si $x_{0} \neq \frac{\pi}{2}+k \pi~$ avec $~k \in \mathbb{Z},~$ alors $\lim{x \rightarrow x_{0}} \tan x=\tan x_{0}\\[0.2cm]$ (5) $\lim_{x \rightarrow x_{0}} \cos x=\cos x_{0}\\[0.2cm]$ (6) Si $x_{0} \geq 0~$ alors $~\lim {x \rightarrow 4} \sqrt{x}=\sqrt{x_{0}}\\[0.2cm]$ (7) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1\\[0.2cm]$ (8) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x}{x}=1\\[0.2cm]$ (9) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac{1}{2}$

Opérations sur les limites

Proposition

Soit $f$ et $g$ deux fonctions numériques et $x_{0} \in \mathbb{R} .\\[0.2cm]$ Si $~\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\ell~$ et $~\lim {x \rightarrow x_{0}} g(x)=\ell^{\prime}~$ alors: $\\[0.2cm]$ (1) $~\lim_{x \rightarrow x_{0}}(f+g)(x)=\ell+\ell^{\prime}\\[0.2cm]$ (2) $~\lim_{x \rightarrow x_{0}}(f g)(x)=\ell \ell^{\prime}\\[0.2cm]$ (3) $~\lim_{x \rightarrow x_{0}}|f(x)|=|\ell|\\[0.2cm]$ (4) Si $~\ell '\neq 0~$ alors $~\lim_{x\rightarrow x_{0}}(\frac{1}{g})(x)= \frac{1}{\ell '}~ $ et $~\lim_{x\rightarrow x_{0}}(\frac{f}{g})(x)= \frac{\ell}{\ell '} \\[0.2cm]$ (5) Si $~k \in \mathbb{R}~$ alors $~\lim_{x \rightarrow x_{0}}(k f)(x)=k l.\\[0.2cm]$ (6) Si $~\ell \geq 0~$ alors $~\lim_{x \rightarrow x_{0}} \sqrt{f(x)}=\sqrt{\ell}$.

image/svg+xml Remarque

Ces propriétés restent aussi valables quand $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ ou vers $x_{0}$ à droite ou à gauche.

Proposition

Soit $P$ et $Q$ deux fonctions polynômes définies par : $\\[0.2cm]P(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{1} x+a_{0} \\[0.2cm]$ et $Q(x)=b_{p} x^{p}+b_{p-1} x^{p-1}+\ldots+b_{1} x+b_{0}\\[0.2cm]$ où $a_{n}, \ldots, a_{1}, a_{0}, b_{p}, \ldots, b_{0}$ des réels tels que : $a_{n} \neq 0$ et $b_{p} \neq 0.\\[0.2cm]$ - La limite d'une fonction polynôme en $+\infty$ et $-\infty$ est la limite du monôme de plus haut degré : $\\[0.2cm]\lim_{x \rightarrow+\infty} P(x)=\lim_{x \rightarrow+\infty} a_{n} x^{n} \quad \text { et } \lim_{x \rightarrow-\infty} P(x)=\lim_{x \rightarrow-\infty} a_{n} x^{n}\\[0.2cm]$ - La limite d'une fonction rationnelle en $+\infty$ et $-\infty$ est la limite du quotient des monômes de plus haut degré: $\\[0.2cm] \lim_{x \rightarrow+\infty} \frac{P(x)}{Q(x)}=\lim_{x \rightarrow+\infty} \frac{a_{n} x^{n}}{b_{p} x^{p}} \quad$ et $\quad \lim_{x \rightarrow-\infty} \frac{P(x)}{Q(x)}=\lim_{x \rightarrow-\infty} \frac{a_{n} x^{n}}{b_{p} x^{p}}$

Opérations sur les limites infinies

On admet toutes les opérations suivantes. Dans ce qui suit, $x_{0}$ est un nombre réel ou $+\infty$ ou $-\infty ; \ell$ et $\ell^{\prime}$ sont deux nombres réels. Ces opérations restent valables pour les limites à droite et à gauche en $x_{0}\\[0.2cm]$ L'abréviation $F.I$ " signifie « Forme indéterminée ", c'est-à-dire qu'on ne peut pas déterminer la limite immédiatement et tout résultat est possible.

Limite d'une somme de deux fonction:

$\lim _{x \rightarrow a} f(x)$ $l$ $l$ $l$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$
$\lim _{x \rightarrow a} g(x)$ $l^{\prime}$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$
$\lim _{x \rightarrow a} (f+g)(x)$ $l+l^{\prime}$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $FI$

Limite d'un produit de deux fonctions :

$\lim _{x \rightarrow a} f(x)$ $l$ $l<0$ $l>0$ $l<0$ $l>0$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $-\infty ~$ ou $~+\infty$
$\lim _{x \rightarrow a} g(x)$ $l^{\prime}$ $+\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $0$
$\lim _{x \rightarrow a} (f.g)(x)$ $l.l^{\prime}$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $+\infty$ $+\infty$ $+\infty$ $FI$

Limite d'un quotient de deux fonctions:

$\lim _{x \rightarrow a} f(x)$ $l$ $l$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty ~$ ou $~ +\infty$
$\lim _{x \rightarrow a} g(x)$ $\ell' \neq 0$ $-\infty$ ou $+\infty$ $\ell>0$ ou $0^{+}$ $\ell>0$ ou $0^{+}$ $\ell<0$ ou $0^{-}$ $\ell<0$ ou $0^{-}$ $-\infty ~$ ou $~+\infty$
$\lim _{x \rightarrow a} (f.g)(x)$ $\frac{\ell}{\ell'}$ $0$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $FI$

Limite de l'inverse d'une fonction:

$\lim _{x \rightarrow a} f(x)$ $\ell \neq 0$ $0^{+}$ $0^{-}$ $-\infty ~$ ou $~+\infty$
$\lim _{x \rightarrow a}\left(\frac{1}{f}\right)(x)$ $\frac{1}{\ell}$ $+\infty$ $-\infty$ $0$

Limite et ordre

Proposition

Soit $f, g$ et $h$ des fonctions numériques définies sur un intervalle $I$ et $\ell \in \mathbb{R}\\[0.2cm]$ (1) Si $f(x) \geq g(x)$ au voisinage de $x_{0}~$ et $~\lim_{x \rightarrow x_{0}} g(x)=+\infty$, alors:

$ \\ \lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=+\infty\\[0.2cm]$

(2) Si $f(x) \leq g(x)$ au voisinage de $x_{0}~$ et $~\lim_{x \rightarrow x_{0}} g(x)=-\infty$, alors:

$ \\ \lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=-\infty\\[0.2cm]$

(3) Si $h(x) \leq f(x) \leq g(x)$ au voisinage de $x_{0}\\$ et $~\lim_{x \rightarrow x_{0}} g(x)=\lim_{x \rightarrow x_{0}} h(x)=\ell$, alors:

$\\ \lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\ell \\[0.2cm]$

(4) Si $|f(x)-\ell| \leq g(x)$ au voisinage de $x_{0}~$ et $~\lim_{x \rightarrow x_{0}} g(x)=0$, alors:

$\\ \lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\ell$.

image/svg+xml Remarque

- Les résultats de la proposition 6 restent aussi valables quand $x$ tend vers $x_{0}$ à droite ou à gauche ou vers $+\infty$ ou $-\infty\\[0.2cm]$ - Si $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$, alors $~\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{f(x)}=+\infty$

 

Ensemble de définition

Un petit rappel de cette notion qui nous suivra tout au long de ce cours sur la vidéo suivante 🙂 

Vidéo Ensemble de définition
15 min
Voir la vidéo

Continuité d'une fonction numérique

Continuité d'une fonction en un point

تعريف

Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert $I$ et $x_{0}$ un élément de $I$. On dit que la fonction $f$ est continue au point $x_{0}$ si :

$\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=f(x_{0})$.

image/svg+xml Remarque

Si la fonction $f$ est définie au point $x_{0}$ et n'admet pas de limite en $x_{0}$ ou sa limite est infinie au point $x_{0}$. on dit que $f$ est discontinue au point $x_{0}$.

مثال

1) Soit $n \in \mathbb{N}^{*}\\[0.2cm]$ La fonction $f: x \mapsto x^{n}$ est continue en zéro $\\[0.2cm]$ car: $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} x^{n}=0=f(0)\\[0.5cm]$ 2) Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par:

$\\[0.2cm]\left\{\begin{array}{l}f(x)=\frac{x^{2}-6 x+5}{x-1} \text { si } x \neq 1 \\ f(1)=-4\end{array}\right.\\[0.2cm]$

Montrons que la fonction $f$ est continue au point $x_{0}=1\\[0.2cm]$  On a: $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)(x-5)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1}(x-5)=-4 .\\[0.2cm]$ D'où : $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=f(1)\\[0.2cm]$ Par suite, la fonction $f$ est continue au point $x_{0}=1\\[0.5cm]$ 3) Soit $g$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$ par :

$\\[0.2cm]\left\{\begin{array}{l}g(x)=\frac{\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{2 x}}{x-\sqrt{x}} \text { si } x \neq 1 \\[0.2cm] g(1)=m\end{array}\right.$ où $m$ un paramètre réel. $\\[0.2cm]$

Déterminons la valeur de $m$ pour que la fonction $g$ soit continue en 1 : $\\[0.2cm]$ Soit $x$ un élément de l'intervalle $] 0 ;+\infty[$ distinct de $1 .$ On a : $\\[0.2cm] g(x)=\frac{\left(\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{2 x}\right)\left(\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{2 x}\right)(x+\sqrt{x})}{\left(\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{2 x}\right)(x-\sqrt{x})(x+\sqrt{x})}=\frac{\left(1+x^{2}-2 x\right)(x+\sqrt{x})}{\left(\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{2 x}\right)\left(x^{2}-x\right)}\\[0.2cm]$ Par conséquent: $\\[0.2cm]g(x)=\frac{(x-1)^{2}(x+\sqrt{x})}{x(x-1)\left(\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{2 x}\right)}=\frac{(x-1)(x+\sqrt{x})}{x\left(\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{2 x}\right)}\\[0.2cm]$ Il s'ensuit donc que: $\\[0.2cm]\lim _{x \rightarrow 1} g(x)=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)(x+\sqrt{x})}{x\left(\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{2 x}\right)}=\frac{0 \times 2}{1(\sqrt{2}+\sqrt{2})}=\frac{0}{2 \sqrt{2}}=0\\[0.2cm]$ Pour que la fonction $g$ soit continue en $1$ , il faut et il suffit que $\lim _{x \rightarrow 1} g(x)=g(1)$, c'est-à dire : $m=0. \\[0.5cm]$ 4) Soit $h$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}^{*}$ par :

$\\[0.2cm]\left\{\begin{array}{l}h(x)=x^{2} \sin \left(\frac{1}{x}\right) \text { si } x \neq 0 \\[0.2cm] h(0)=0\end{array}\right.\\[0.2cm]$

Montrons que la fonction $h$ est continue en $0: \\[0.2cm]$  On sait que pour tout $x \in \mathbb{R}^{}: \sin \left(\frac{1}{x}\right) \leq 1 ;\\[0.2cm]$ donc $\left|x^{2} \sin \left(\frac{1}{x}\right)\right| \leq x^{2} .\\[0.2cm]$ D'où $:\left(\forall x \in \mathbb{R}^{}\right)|h(x)| \leq x^{2}. \\[0.2cm]$ Comme $\lim _{x \rightarrow 0} x^{2}=0$, alors: $\lim _{x \rightarrow 0} h(x)=0=h(0). \\[0.2cm]$ Ainsi, la fonction $h$ est continue en $0.\\[0.5cm]$ 5) Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par:

$\\[0.2cm]\left\{\begin{array}{l}f(x)=\frac{(1-\cos (3 x)) \sin (2 x)}{x^{3}} \text { si } x \neq 0 \\[0.2cm] f(0)=\frac{35}{4}\end{array}\right.\\[0.2cm]$

Étudions la continuité de $f$ en $0$ : On a: $\\[0.2cm]\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 0} f(x) &=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos (3 x)) \sin (2 x)}{x^{3}} \\[0.2cm] &=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (3 x)}{(3 x)^{2}} \times(3 x)^{2} \times \frac{\sin (2 x)}{2 x} \times \frac{2 x}{x^{3}} \end{aligned}\\[0.2cm]$ Donc: $\\[0.2cm] \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} 18 \times \frac{1-\cos (3 x)}{(3 x)^{2}} \times \frac{\sin (2 x)}{2 x}=18 \times \frac{1}{2} \times 1=9\\[0.2cm]$ Puisque $\lim _{x \rightarrow 0} f(x) \neq f(0)$, alors la fonction $f$ n'est pas continue en $0$ .

تطبيق

1. Dans chacun des cas suivants, étudier la continuité de la fonction $f$ au point $x_{0}:\\[0.2cm]$

a) $\left\{\begin{array}{l}f(x)=\frac{-2 x^{2}-x+1}{x+1} ~~\text { si } ~x \neq-1 \\f(-1)=1 \;\;~\text{ et }~ x_{0}=-1 \end{array}\right .\\[0.2cm]$ b) $\left\{\begin{array}{l}f(x)=\frac{x+\tan (2 x)}{\sin (3 x)} ~~\text { si } ~x \neq 0 \\[0.2cm] f(0)=1\end{array}\right.\\[0.2cm]$ $c)\left\{\begin{array}{l}f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+x+2}-2}{x-1} ~~\text { si }~ x \neq 1 \\ f(1)=\frac{3}{4}\end{array}\right.\\[0.2cm]$ d) $\left\{\begin{array}{l}f(x)=\frac{\sin x}{\sqrt{x+1}-1} ~~\text { si } ~x \neq 0 \\f(0)=2\;\;~\text{ et }~ x_{0}=0\end{array}\right.\\[0.5cm]$ 2. Soit $g$ la fonction numérique définie par: $\\[0.2cm] \left\{\begin{array}{l}g(x)=\frac{x^{3}-2 x^{2}-x+2}{x^{2}-4}~~ \text { si }~ x \neq 2 \\[0.2cm] g(2)=\lambda\end{array}\right.\\[0.2cm]$ où $\lambda \in \mathbb{R}. \\[0.2cm]$ Déterminons la valeur du réel $\lambda$ pour que la fonction $g$ soit continue au point $x_{0}=2$.

Continuité à droite et à gauche

تعريف

1) Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $\left[x_{0}, x_{0}+\alpha\left[\right.\right.$ où $\alpha \in \mathbb{R}_{+}^{*}\\[0.2cm]$ On dit que $f$ est continue à droite en $x_{0}$ si : $\lim_{x \rightarrow x_{0} \atop x>x_{0}} f(x)=f\left(x_{0}\right)\\[0.3cm]$ 2) Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $\left.] x_{0}-\alpha, x_{0}\right]$ où $\alpha \in \mathbb{R}_{+}^{*}.\\[0.2cm]$ On dit que $f$ est continue à gauche en $x_{0}$ si :$\lim _{x \rightarrow x_{0} \atop x \leq x_{0}} f(x)=f\left(x_{0}\right)$

Proposition

Une fonction numérique $f$ est continue au point $x_{0}$ si, et seulement si elle est continue à droite et à gauche au point $x_{0} .\\[0.2cm]$ En d'autres termes : $\left(f\right.$ est continue au point $\left.x_{0}\right)\\[0.2cm]$ $\Leftrightarrow \lim _{x \rightarrow x_{0} \atop x<x_{0}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0} \atop x>x_{0}} f(x)=f\left(x_{0}\right)$

مثال

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par: $\left\{\begin{array}{l}f(x)=\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}~~ \text { si } ~x>0 \\[0.2cm] f(x)=\frac{\cos x+\sin x-1}{4 x} ~~\text { si }~ x<0 \\[0.2cm] f(0)=\frac{1}{4}\end{array}\right.\\[0.2cm]$ Montrons que la fonction $f$ est continue en $0 :\\[0.2cm]$ Continuité à droite en $0 : \\[0.2cm]$ On a : $\begin{aligned}\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x} &=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{x(\sqrt{x+4}+2)}\\ &=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)} \end{aligned} \\[0.2cm]$ Donc: $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x+4}+2}=\frac{1}{4}\\[0.2cm]$ Puisque $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=f(0)$, alors la fonction $f$ est continue à droite $\\$ en $0 .\\[0.2cm]$ - Continuité à gauche en $0.\\[0.2cm]$ On a: $\\[0.2cm] \begin{aligned}\lim _{x \rightarrow 0^{\circ}} f(x)& =\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\cos x+\sin x-1}{4 x} =\lim _{x \rightarrow 0^{-}}\left(\frac{\sin x}{4 x}-\frac{1-\cos x}{4 x}\right) \\[0.2cm] &=\lim _{x \rightarrow 0^{-}}\left(\frac{1}{4} \times \frac{\sin x}{x}-\frac{1-\cos x}{x^{2}} \times \frac{x}{4}\right)\end{aligned} \\[0.2cm]$ Donc: $~\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\frac{1}{4} \times 1-\frac{1}{2} \times \frac{0}{4}=\frac{1}{4} .\\[0.2cm]$ Puisque $\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=f(0)$, alors $f$ est continue à gauche en $0 .\\[0.2cm]$ Puisque la fonction $f$ est continue à droite et à gauche en 0 , alors elle est continue en ce point.

Continuité d'une fonction sur un intervalle

تعريف

1) Une fonction $f$ est continue sur un intervalle ouvert $I$ si elle est continue en tout point de $I$.$\\[0.2cm]$ En particulier: $f$ est continue sur $] a ; b[$ si elle est continue en tout point de $] a ; b[. \\[0.3cm]$ 2) Une fonction $f$ est continue sur $[a ; b]$ si elle est continue sur $] a ; b[$ et continue à droite en $a$ et à gauche en $b.\\[0.3cm]$ 3) Une fonction $f$ est continue sur $[a ; b[$ si elle est continue sur $] a ; b[$ et continue à droite en $a.\\[0.3cm]$ 4) Une fonction $f$ est continue sur $] a ; b]$ si elle est continue sur $] a ; b[$ et continue à gauche en $b$.

Exemples

1) Toute fonction constante est continue sur $\mathbb{R}.\\[0.2cm]$ 2) Toute fonction polynomiale $P$ est continue sur $\mathbb{R}$ car pour tout $x_{0} \in \mathbb{R}: \lim_{x \rightarrow x{0}} P(x)=P\left(x_{0}\right)\\[0.2cm]$ 3) Toute fonction rationnelle est continue sur son ensemble de définition.$\\[0.2cm]$ 4) Les fonctions $x \mapsto \sin x$ et $x \mapsto \cos x$ sont continues sur $\mathbb{R}.\\[0.2cm]$ 5) La fonction $x \mapsto \tan x$ est continue sur tout intervalle inclus dans son ensemble de définition.$\\[0.2cm]$ 6) La fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ est continue sur $\mathbb{R}^{+}$

Vidéo Continuité sur un point, continuité sur un intervalle
15 min
Voir la vidéo

Fonction partie entière

تعريف

Soit $x$ un nombre réel. La partie entière de $x$ est le plus grand entier relatif $n$ qui est inférieur ou égal à $x$. On la note $: E(x)$

مثال

$ E(4,2)=4 \quad ; \quad E(-3,75)=-4 \quad ; \quad E(\sqrt{3})=1 \quad ;  E\left(-\frac{9}{4}\right)=-3 ; \\[0.2cm] E\left(\frac{1}{2}\right)=0 \quad ; \quad E(\pi)=3 \quad ; \quad E(-0,1457)=-1 \\[0.2cm] E(\sqrt{3}+\sqrt{2})=3 \quad  ; \quad E(-1)=-1$

Proposition

1) Pour tout $x \in \mathbb{R}: E(x) \leq x< E(x)+1$ et $x-1< E(x) \leq x . \\[0.3cm]$ 2) Pour tout $x \in \mathbb{R}: E(x)=x \Leftrightarrow x \in \mathbb{Z} \\[0.3cm]$ 3) Pour tout $x \in \mathbb{R}$ et pour tout $p \in \mathbb{Z}: E(x+p)=E(x)+p. \\[0.3cm]$ 4) Pour tout $n \in \mathbb{Z}$, la fonction partie entière est continue à droite en $n$ et discontinue à gauche en $n. \\[0.3cm]$ 5) La fonction partie entière est continue sur tout intervalle du type $[n ; n+1[$ où $n \in \mathbb{Z}.\\[0.3cm]$ 6) La fonction partie entière n'est pas continue sur $\mathbb{R}$.

Opérations sur les fonctions continues

Proposition

Soit $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $I$ et $k$ un nombre réel. Alors: $\\[0.2cm]$

(1) Les fonctions $f+g, k . f$ et $f . g$ sont continues sur $I. \\[0.2cm]$

(2) Pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$, la fonction $f^{n}: x \mapsto(f(x))^{n}$ est continue sur $I.\\[0.2cm]$

(3) Si la fonction $g$ ne s'annule pas sur $I$, alors $\frac{1}{g}$ et $\frac{f}{g}$ sont continues sur $1.\\[0.2cm]$ (4) La fonction $|f|$ est continue sur $I.\\[0.2cm]$ (5) Si la fonction $f$ est positive sur $I$, alors $\sqrt{f}$ est continue sur $I$.

Continuité de la composée de deux fonctions

Proposition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $g$ une fonction définie sur un intervalle $J$ tel que $f(I) \subset J$, et soit $x_{0}$ un élément de $I.\\[0.2cm]$ Si $f$ est continue au point $x_{0}$ et $g$ est continue au point $f\left(x_{0}\right)$, alors la fonction $\\g \circ f$ est continue en $x_{0}$.

Corollaire

Si $f$ est continue sur un intervalle $I$ et $g$ est continue sur un intervalle $J$ tel que $f(I) \subset J$ alors la fonction go $f$ est continue sur l'intervalle $I$.

مثال

1) Soit $f$ la fonction numérique définie par: $f(x)=\cos \left(2 x^{2}-3 x+4\right)\\[0.2cm]$ Montrons que la fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ :$\\[0.2cm]$ Puisque les fonctions $f_{1}: x \mapsto 2 x^{2}-3 x+4$ et $f_{2}: x \mapsto \cos x$ sont continues sur $\mathbb{R}$ et $f_{1}(\mathbb{R}) \subset \mathbb{R}$, alors la fonction $f=f_{2} \circ f_{1}$ est continue sur $\mathbb{R}\\[0.2cm]$ Soit $g$ la fonction numérique définie par: $g(x)=\sqrt{\frac{x}{1+\sin ^{2} x}}\\[0.2cm]$ Etudions la continuité de $g$ sur $\mathbb{R}^{*}: \\[0.2cm]$ La fonction $g_{1} : ~x \mapsto \frac{x}{1+\sin ^{2} x}$ est continue sur $\mathbb{R}^{+}$et $g_{1}\left(\mathbb{R}^{+}\right) \subset \mathbb{R}^{+}, \\[0.2cm]$ et la fonction $g_{2} :~ x \mapsto \sqrt{x}$ est continue sur $\mathbb{R}^{+}. \\[0.2cm]$ Il s'ensuit donc que la fonction $g=g_{2} \circ g_{1}$ est continue sur $\mathbb{R}^{+}$.

Vidéo Opérations et composition sur les fonctions continues
15 min
Voir la vidéo

Image d'un intervalle par une fonction continue

لمواصلة هذا الملخص، قم بالتسجيل بالمجان في كيزاكو

النسخة المجانية لكيزاكو:
  • ملخصات الدروس غير محدودة
  • فيديو مجاني في كل درس
  • تمرين مصحح مجاني
  • اختبار تفاعلي
إنشاء حساب مجاني

Ma b9a walou lBAC : -30% sur les offres premium ! #NJIBOUHA