Solide en mouvement de rotation

تعريف

Un solide possède un mouvement de rotation autour d'un axe fixe si le mouvement de chacun de ses points est un cercle centré sur l'axe de rotation.

Les caractéristiques du mouvement rotationnel

Tous les points du solide situés sur l’axe de rotation sont immobiles tous les autres points du solide décrivent des arcs de cercle centrés sur l’axe de rotation. Donc chaque point d’un solide en rotation autour d’un axe fixe a une trajectoire circulaire.

Abscisse angulaire et abscisse curviligne

تعريف

La position d’un point M d’un solide (S) en rotation autour d’un axe fixe ($$\Delta$$) est repérée, à chaque instant t, par son abscisse angulaire ou par son abscisse curviligne

Abscisse angulaire

On peut aussi repérer la position du mobile sur le cercle trajectoire par la donnée de l'angle θ(t) orienté au centre du cercle : $$\theta(\mathrm{t})=\left(O \widehat{M_{0} ; O M}\right)$$, l’unité de l’abscisse angulaire est le radian (rad)

Abscisse curviligne

Soit M un point quelconque choisi sur le cercle trajectoire. On oriente la trajectoire dans un sens arbitraire, la position du mobile est repérée par son abscisse curviligne : $$\mathrm{s}(\mathrm{t})=\widehat{\mathrm{M}_{0} \mathrm{M}}$$, l’unité de l’abscisse curviligne est le mètre (m)

Relation entre abscisse curviligne et abscisse angulaire

Il existe une relation géométrique simple entre abscisse curviligne et abscisse angulaire : $$s(t)=R . \theta(t)$$ tel que R le rayon de la trajectoire circulaire

Vitesse angulaire et vitesse linéaire

Vitesse angulaire

Vitesse angulaire Moyenne

Soit M un point du solide décrit un mouvement circulaire centré sur l’axe ($$\Delta$$) de centre O
- à l’instant $$\mathrm{t}_{1}$$ la position du point M est noté $$\mathrm{M}_{1}$$
- à l’instant $$\mathrm{t}_{2}$$ la position du point M est noté $$\mathrm{M}_{2}$$
Au cours de la durée $$\Delta \mathrm{t}=\mathrm{t}_{2}-\mathrm{t}_{1}$$ le point M parcours l’arc $$\widehat{M_{1} M_{2}}$$ et le solide tourne d’un angle $$\Delta \theta=\theta_{2}-\theta_{1}$$
On appelle vitesse angulaire moyenne le quotient de l'angle $$\theta_{2}-\theta_{1}$$ dont a tourné le point M par le temps $$\mathrm{t}_{2}-\mathrm{t}_{1}$$ mis pour effectuer cette rotation Par définition la vitesse angulaire moyenne du point M est donnée par la relation :
$$\dot{\theta}=\frac{\theta_{2}-\theta_{1}}{t_{2}-t_{1}}$$
Unité de la vitesse angulaire dans SI : rad/s

Vitesse angulaire instantané

La vitesse angulaire instantanée d'un solide à la date t se définit comme la vitesse angulaire moyenne du solide pendant une brève durée autour de la date t.
$$\dot{\theta}=\frac{\theta_{2}-\theta_{1}}{t_{2}-t_{1}}=\frac{\Delta \theta}{\Delta t}$$
La vitesse angulaire \omega est la même pour tous les points du solide en rotation et qui est donc la vitesse angulaire du solide en rotation

Vitesse linéaire

La vitesse linéaire du point M à l’instant t est le quotient de la longueur de l’arc $$\widehat{M_{1} M_{2}}$$ de son parcours par la durée Δt correspondante :
$$v_{\mathrm{t}}=\frac{\mathrm{M}_{1} \mathrm{M}_{2}}{\mathrm{t}_{2}-\mathrm{t}_{1}}$$

انتباه

Si $$\Delta t$$ est grand, on a les vitesses moyennes, si $$\Delta t$$ est petit on a les vitesses instantanées.

Relation entre la vitesse linéaire et la vitesse angulaire

Pour un point M d’un solide en rotation autour d’un axe fixe, situé à une distance r de l’axe de rotation, la distance parcourue pendant une durée $$\Delta \mathrm{t}=\mathrm{t}_{2}-\mathrm{t}_{1}$$ est $$\mathrm{M}_{1} \mathrm{M}_{2}$$ avec $$\Delta \mathrm{s}=\mathrm{M}_{1} \mathrm{M}_{2}=\mathrm{r} \cdot \Delta \theta$$
On a
$$v_{\mathrm{t}}=\frac{\mathrm{M}_{1} \mathrm{M}_{2}}{\mathrm{t}_{2}-\mathrm{t}_{1}}=\frac{\mathrm{r} \cdot \Delta \theta}{\mathrm{t}_{2}-\mathrm{t}_{1}}=\mathrm{r} \cdot \frac{\Delta \theta}{\Delta \mathrm{t}}$$
Et comme $$\frac{\Delta \theta}{\Delta \mathrm{t}}=\dot{\theta} \text { alors } v=\mathrm{r} \cdot \dot{\theta}$$

Accélération angulaire

تعريف

L’accélération angulaire est la dérivée de la vitesse angulaire par rapport au temps $$\ddot{\theta}=\frac{d \dot{\theta}}{d \mathrm{t}}$$ son unité dans le système international est $$\text { rad. } s^{-2}$$


Le vecteur accélération dans la base de Frenet
$$\overrightarrow{\mathrm{a}}=\mathrm{a}_{\mathrm{t}} \overrightarrow{\mathrm{u}}+\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \overrightarrow{\mathrm{n}}=\frac{d \mathrm{v}}{d \mathrm{t}} \overrightarrow{\mathrm{u}}+\frac{\mathrm{v}^{2}}{\mathrm{r}} \overrightarrow{\mathrm{n}}$$
Avec
$$\mathrm{a}_{\mathrm{t}}=\frac{d \mathrm{v}}{d \mathrm{t}} \text { et } v=\mathrm{r} \cdot \dot{\theta} \text { Alors } \mathrm{a}_{\mathrm{t}}=\frac{d(\mathrm{R} \cdot \dot{\theta})}{d \mathrm{t}} \text { donc } \mathrm{a}_{\mathrm{t}}=\mathrm{r} \cdot \frac{d(\dot{\theta})}{d \mathrm{t}}=\mathrm{r} \cdot \ddot{\theta}$$
$$\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{v}^{2}}{\mathrm{r}} \text { et } \mathrm{v}=\mathrm{r} . \dot{\theta} \text { Alors } \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\frac{(\mathrm{r} \cdot \dot{\theta})^{2}}{\mathrm{r}} \text { donc } \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\mathrm{r} . \ddot{\theta}^{2}$$

Relation fondamentale de la dynamique

Moment d’une force

Moment d’une force $$\vec{F}$$ par rapport à un axe de rotation fixe ($$\Delta$$) est donné par la relation suivante :
$$\mathcal{M}_{\Delta}(\vec{F})=\pm \mathbf{F . d}$$
- F : L’intensité de la force (N)
- d : La distance minimale qui sépare la droite d’action de la force et l’axe de rotation
Le moment d’une force est une grandeur algébrique et son unité dans le (S I) est N.m

انتباه

Si la droite d’action de la force coupe l’axe de rotation, le moment de la force par rapport à l’axe est nul

Énoncé de la loi : RFD

Dans un repère lié au référentiel terrestre, la somme algébrique des moments des forces extérieures appliquées à un solide en rotation autour d’un axe fixe ($$\Delta$$) est égale, à chaque instant, au produit du moment d’inertie $$\mathrm{J}_{\Delta}$$ de ce solide par son accélération angulaire $$\ddot{\theta}$$ : $$\sum \mathrm{M}_{\Delta}(\overrightarrow{\mathrm{F}})=\mathrm{J}_{\Delta} \cdot \ddot{\theta}$$ Avec
-$$J_{\Delta}$$ : Moment d’inertie du solide en ($$\mathrm{Kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$$)
- $$\ddot{\theta} :$$ Accélération angulaire en ($$\text { rad. } s^{-2}$$)

Expression du moment d’inertie de quelques solides particuliers

Nature du mouvement et les équations horaires 

La nature du mouvement

Si $$\sum \mathrm{M}_{\Delta}(\overrightarrow{\mathrm{F}})=0$$, alors $$\ddot{\theta}=0$$, donc le solide est animé d’un mouvement de rotation uniforme autour de l’axe.
Si $$\sum \mathrm{M}_{\Delta}(\overrightarrow{\mathrm{F}})=\text { Cste }$$ , alors $$\ddot{\theta}=\text { Cste }$$, alors le solide est en mouvement de rotation uniformément varié autour de l’axe.

Les équations horaires

L’équation horaire de la vitesse angulaire

On a
$$\ddot{\theta}=\frac{d \dot{\theta}}{d t}$$
Par intégration, on obtient :
$$\dot{\theta}(\mathrm{t})=\ddot{\theta} \mathrm{t}+\dot{\theta}_{0}$$

L’équation horaire du mouvement de rotation

On a
$$\dot{\theta}=\frac{d \theta}{d t}$$
Alors par intégration, on obtient :
$$\theta(\mathrm{t})=\frac{1}{2} \ddot{\theta} \mathrm{t}^{2}+\dot{\theta}_{0} \mathrm{t}+\theta_{0}$$

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