Généralités sur les fonctions

La fonction $f$ est un procédé qui à chaque nombre $x$ appartenant à l’ensemble $ D_{f} $ associe un nombre $ f(x) \in F. $ 

On note :

$\begin{aligned} f :~ D_{f} &\rightarrow F\\ x &\rightarrow f(x)\end{aligned}$

On dit que $~ f(x)$  est l'image de $x$ par la fonction $f$.

On dit que $x$ est l'antécédent de $f(x)$ par la fonction $f$.

Le domaine de définition d’une fonction $f $ est l’ensemble de nombres réels qui possèdent une image calculable par cette fonction. On note $ D_{f} $ l’ensemble de définition de la fonction $f$.

Une fonction $f $ de domaine de définition $D_{f}$ est paire si et seulement si $\\$ pour tout $ x \in D_{f} $ :

• $-x \in D_{f} $
• $f(-x)=f(x)$

Une fonction $f$  de domaine de définition $D_{f}$ est impaire si et seulement si $\\$ pour tout $ x \in D_{f}$ :

• $ -x \in D_{f} $
• $ f(-x)=-f(x) $

Soit $f$ une fonction numérique de domaine définition $D_{f}$, soit $m$  et $M$ deux réels. Alors,

$\bullet$ $f $ est majorée par $ ~M \Leftrightarrow \forall x \in D_{f} ,~ f(x) \leq M \\[0.2cm]$

$\bullet$ $f$ est minorée par $ ~m \Leftrightarrow \forall x \in D_{f} , ~f(x) \geq m \\[0.2cm] $

$\begin{aligned} \bullet~ f ~\text{est bornée} ~&\Leftrightarrow ~f~ \text{est majorée et minorée}\\ ~&\Leftrightarrow \forall x \in D_{f}, ~m \leq f(x) \leq M \end{aligned}$

Soit $f$ et $g$ deux fonctions numériques à variable réelle définie, respectivement sur $D$ et $D'$ ; et soit $E$ une partie commune de $D$ et $D'\\[0.2cm]$ On dit que la fonction $f$ est plus petite ou égale à la fonction $g$ , si pour tout élément $x$ de $E$ : $~f(x) \leq g(x) \\[0.2cm]$ On écrit alors : $~f \leq g~$ sur $E~$ ( ou $~g \geq f ~$ sur $E$ )

Soit $f$ et $g$ deux fonctions numériques à variable réelle. $\\[0.2cm]$ On dit que les deux fonctions $f$ et $g$ sont égales à : $\\[0.2cm]$ - $f$ et $g$ ont le même ensemble de définition $D\\[0.2cm]$ - et $~\forall x \in D : ~f(x) =g(x) \\[0.2cm]$ On écrit alors : $~f=g$

Soit $ f $ une fonction numérique de domaine définition $ D_{f}$,  soit $ \alpha \in D_{f} $

• On dit que la fonction $ f$ admet un maximum absolu en $ \alpha$ ou le nombre $f(\alpha)$  est un maximum absolu si et seulement si

$\forall x \in D_{f}, \quad f(x) \leq f(\alpha)\\$

On écrit, $ \quad\max _{x \in D_{f}} f(x)=f(\alpha)\\[0.2cm]$

• On dit que la fonction $f$ admet un minimum absolu en $\alpha$ ou le nombre $f(\alpha)$ est un minimum absolu si et seulement si

$\forall x \in D_{f}, \quad f(x) \geq f(\alpha)\\$

On écrit, $\quad \min _{x \in D_{f}} f(x)=f(\alpha)$

Soit $f $ une fonction numérique de domaine définition $D_{f} $

• On dit que la fonction $f $ admet un maximum relatif en $\alpha$ s'il existe un intervalle ouvert $I \subset D_{f} $ contenant $\alpha$ tel que :

$\forall x \in I,~~ f(x) \leq f(\alpha) \\[0.2cm]$

• On dit que la fonction $f$ admet un minimum relatif en $\alpha$ s'il existe un intervalle ouvert $I \subset D_{f}$ contenant $\alpha$ tel que :

$\forall x \in I, ~~f(x) \geq f(\alpha)$

Soit $ f $ une fonction numérique de domaine de définition $ D_{f}$  et $I \subset D_{f}$  un intervalle.

• $f$ est une fonction croissante sur l'intervalle $I$  cela revient à écrire:

$\forall(x, y) \in I^{2}, \quad x \leq y \Rightarrow f(x) \leq f(y) $

• $f $ est une fonction strictement croissante sur l'intervalle $ I$  cela revient à écrire:

$\forall(x, y) \in I^{2}, \quad x<y \Rightarrow f(x)<f(y) $

Soit $ f $ une fonction numérique de domaine de définition $ D_{f}$  et $ I \subset D_{f}$  un intervalle.

• $ f$  est une fonction décroissante sur l'intervalle $I$  cela revient à écrire: 

$\forall(x, y) \in I^{2}, \quad x \leq y \Rightarrow f(x) \geq f(y) $

• $ f$ est une fonction strictement décroissante sur l'intervalle $I$ cela revient à écrire :

$\forall(x, y) \in I^{2}, \quad x<y \Rightarrow f(x)>f(y) $

Soit $f$ une fonction numérique de domaine définition $D_{f}$ et $I \subset D_{f} $ un intervalle.

• On dit que $f$  est monotone sur l'intervalle $ I$  si elle est croissante ou décroissante sur $I $.
• On dit que $f$  est strictement monotone sur l'intervalle $I $ si elle est strictement croissante ou strictement décroissante sur $I.$ 

Soit $f$ une fonction numérique de domaine définition $D_{f}, ~I \subset D_{f}$ un intervalle et $(a, b) \in I^{2}$ tel que $a \neq b .\\[0.2cm]$ Alors, le nombre $T_{(a, b)}=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$ s'appelle le taux d'accroissement ou de variation de la fonction $f$ entre $a$ et $b$.

Soit $f$ et $g$ deux fonctions numériques à variable réelle définies, respectivement, sur $D$ et $D'$ tels que : $D \cap D' \neq \empty \\[0.2cm]$ Soit $E$ l'ensemble des points réels communs à $D$ et $D'. \\[0.2cm]$ Soit $F$ l'ensemble des nombres réels $x$ communs à $D$ et $D'$, tels que $~g(x) \neq 0 \\[0.2cm]$ Soit $\lambda$ un nombre réel. $\\[0.2cm]$ 1) La fonction qui à tout élément $x$ de $E$ associe le nombre $f(x)+g(x)~$ est appelée somme des deux fonctions $f$ et $g$ et est notée : $~f+g \\[0.2cm]$ 2) La fonction qui à tout élément $x$ de $D$ associe le nombre $\lambda f(x)$ est appelée produit de $f$f par $\lambda$ et est notée : $~\lambda f \\[0.2cm]$ 3) La fonction qui à tout élément $x$ de $F$ associe le nombre $f(x)\cdot g(x)~$ est appelée produit des deux fonctions $f$ et $g$ et est notée : $~f \cdot g ~$ ou $~fg\\[0.2cm]$ 4) La fonction qui à tout élément $x$ de $F$ associe le nombre $\frac{f(x)}{g(x)}~$ est appelée quotient de la fonction $f$ par la fonction $g$ et est notée : $~\frac{f}{g} \\[0.2cm]$

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $I$ et $g$ la fonction définie sur l'intervalle $J\\$ tel que : $f(I) \subset J,$  autrement dit $(\forall x \in I, ~~f(x) \in J)\\$ La composée de $f$ et $g$ est la fonction notée: $g \circ f$ définie sur $I$ par:

$\forall x \in I, \quad g\circ f(x)=g(f(x))\\[0.2cm]$

Le schéma suivant illustre bien les trois fonctions $f, g$ et $g\circ f$ :