Le terme « fonction » revient à décrire une relation existante entre deux ensembles de nombres. Concrètement, la fonction est une machine mathématique qui transforme un nombre à une autre dans certaine logique (double, tribale, racine, quotient…). Nous présentons les figures ci-dessous illustrant cette définition : Donc, nous avons toujours deux ensembles : ensemble de départ et ensemble d’arrivée et la fonction c’est le lien mathématique entre les deux ensembles.

تطبيق

La fonction : $ f(x)=2 x\\$ L’élément de l’entrée : $-9\\$ Le résultat : $-18$

Notion de fonction numérique : Définitions et propriétés

Notion de fonction et Domaine de Définition

تعريف

La fonction $f$ est un procédé qui à chaque nombre $x$ appartenant à l’ensemble $ D_{f} $ associe un nombre $ f(x) \in F. \\ $ 

$\text{On note :} ~\begin{aligned} f :~ & D_{f} \rightarrow F\\\boldsymbol{x} &\mapsto f(x)\end{aligned}$

On dit que $~ \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$  est l'image de $\boldsymbol{x}$ par la fonction $\boldsymbol{f}\\[0.2cm]$

On dit que $\boldsymbol{x}$ est l'antécédent de $\boldsymbol{f(x)}$ par la fonction $\boldsymbol{f}$

تعريف

Le domaine de définition d’une fonction $f $ est l’ensemble de nombres réels qui possèdent une image calculable par cette fonction. On note $ D_{f} $ l’ensemble de définition de la fonction $f$.

تطبيق

$\begin{aligned} \text{1-} ~f: D_{f} &\mapsto F\\x &\mapsto x^{2}+x+1 \end{aligned}\\$

est une fonction dite polynomiale avec $~D_{f}=\mathbb{R}\\[0.3cm]$ 2- $g(x)=\frac{2 x}{x-1}\quad$ est une fonction sous forme d'une fraction $\\$ avec $D_{g}=\mathbb{R} \backslash\{1\}\\[0.2cm]$ En effet, $g$ est bien défini si et seulement si le dominateur est non nul . $\\$ Donc $ D_{g}=\{x \in \mathbb{R}~ / ~x-1 \neq 0\}=\{x \in \mathbb{R} ~ / ~x \neq 1\}$  d'où le résultat . $\\[0.3cm]$ 3- $h(x)=\frac{1}{\sqrt{2 x+1}} \quad $ est une fonction irrationnelle avec $D_{h}= ]\frac{-1}{2},+\infty]$ $\\$ En effet, $ h$  est bien défini si et seulement $ \sqrt{2 x+1} \neq 0~$ et $ ~2 x+1 \geq 0\\[0.2cm]$ Donc $D_{h} =\{x \in \mathbb{R} / \sqrt{2 x+1} \neq 0 \}~$  et  $~2 x+1 \geq 0 \\ ={x \in \mathbb{R}~/ ~2 x+1 \neq 0 ~~\text{et} ~~2 x+1 \geq 0} \\ \left.={x \in \mathbb{R}~~ / ~~2 x+1>0}= \frac{-1}{2},+\infty\right.$

ما يجب معرفته

  • Pour toutes les fonctions polynomiales $ D_{f}=\mathbb{R}$
  • Pour les fonctions de type $\frac{Q(x)}{P(x)} : \quad D_{f}=\{x \in \mathbb{R} / P(x) \neq 0\}$
  • Pour les fonctions de type $ \sqrt{P(x)} : \quad D_{f}=\{x \in \mathbb{R} / P(x) \geq 0\}$

Représentation graphique d’une fonction

La représentation graphique ou courbe d'une fonction est l'ensemble, noté $\left(C_{f}\right),$  des points $M(x, f(x))~$ tel que $x\in D_{f} .\\$ On écrit $\left(C_f\right)=\left\{M(x, f(x)) ~/ ~x \in D_{f}\right\}$.

تطبيق

1- La représentation graphique de la fonction $\text { la fonction } f(x)=2 x $ est une droite passant par l’origine. $\\[0.2cm]$ 2- La représentation graphique de $ \text { la fonction } g(x)=\frac{x^{2}}{2}$ est une parabole :$\\$ 3- La représentation graphique de $ \text { de } h(x)=\frac{2 x-1}{\sqrt{x^{2}+1}} $

La parité

Fonction paire

تعريف

Une fonction $f $ de domaine de définition $D_{f}$ est paire si et seulement si $\\$ pour tout $ x \in D_{f} $ :

  • $-x \in D_{f} $
  • $f(-x)=f(x)$

خاصية

Une fonction $f$ est paire si et seulement si sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

تطبيق

$ f(x)=x^{2} $: $\\$ En utilisant la définition , $~D_{f}=\mathbb{R} $ car $ f $ est polynomiale. $\\$ Soit $ x \in \mathbb{R} $ alors évidement $-x \in \mathbb{R} \\$ Alors ,$ ~f(x)=(-x)^{2}=x^{2}=f(x) $

d'où la fonction est paire .$\\$

Graphiquement, la fonction est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées comme l’illustre la figure ci-dessous :$\\$

La fonction impaire

تعريف

Une fonction $f$  de domaine de définition $D_{f}$ est impaire si et seulement si $\\$ pour tout $ x \in D_{f}$ :

  • $ -x \in D_{f} $
  • $ f(-x)=-f(x) $

خاصية

  Une fonction $f$ est paire si et seulement si sa courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère.

تطبيق

$ f(x)=x^{3} : \\$ En utilisant la définition, $D_{f}=\mathbb{R}$  car $ f $ est polynomiale. $\\$ Soit $ x \in \mathbb{R}~ $ alors évidement $-x \in \mathbb{R} \\$

Alors, $~ f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-f(x)$ d'où la fonction est impaire. $\\$

Graphiquement, la fonction est symétrique par rapport à l’origine du repère comme l’illustre la figure ci-dessous : $\\$

انتباه

Il faut toujours vérifier la première condition qui consiste à assurer l’appartenance du $$-x $$ au domaine d’étude. Par exemple, $$ f(x)=x^{3}$$ est impaire sur $$\mathbb{R} $$ mais elle n’a pas de parité sur $$ [0,+\infty[ $$.

La fonction majorée, minorée, bornée

تعريف

Soit $f$ une fonction numérique de domaine définition $D_{f}$, soit $m$  et $M$ deux réels. Alors,

  • $f $ est majorée par $ ~M \Leftrightarrow \forall x \in D_{f}, f(x) \leq M $
  • $ f$ est minorée par $ ~m \Leftrightarrow \forall x \in D_{f}, f(x) \geq m $
  • $ \begin{aligned}f ~\text{est bornée}~ &\Leftrightarrow f~\text{est majorée et minorée}~ \\ &\Leftrightarrow \forall x \in D_{f}, ~m \leq f(x) \leq M \end{aligned}$

ما يجب معرفته

Parfois le nombre $m$ ou $M$ n’est pas donné explicitement, c’est aux étudiants de le déterminer, dans ce cas la définition est :

  • $f $ est majorée $\Leftrightarrow \exists ~M \in \mathbb{R}, ~\forall x \in D_{f}, ~f(x) \leq M \\$
  • $ f $ est minorée $\Leftrightarrow \exists ~m \in \mathbb{R}, ~\forall x \in D_{f}, ~f(x) \geq m \\$
  • $\begin{aligned} f ~\text{est bornée}~  &\Leftrightarrow f ~\text{est majorée et minorée} \\ &\Leftrightarrow \exists ~(m, M) \in {\mathbb{R}} \times {\mathbb{R}} , \forall {x} \in {D}_{f},~m \leq f(x) \leq M \end{aligned}$

تطبيق

1- $f(x)=x^{2}$ est minorée par $0$ car $\forall x \in \mathbb{R} , ~x^{2} \geq 0 \\[0.3cm]$ 2- Soit $ g $ la fonction définie sur $[1,+\infty[$ par $~g(x)=\frac{1}{x} \\[0.2cm]$  Alors, $g $ est majorée par $ 1$  puisque $\forall x \in\left[1,+\infty\left[, ~x \geq 1 \Rightarrow \frac{1}{x} \leq 1\right.\right. \\[0.3cm]$ 3- Les deux fonctions: $h_{1}(x)=\sin (x)$ et ${h}_{2}(x)=\cos (x) $ sont bornées car :

$ \forall x \in \mathbb{R} ,~-1 \leq \sin (x) \leq 1 \quad$  et $\quad-1 \leq \cos (x) \leq 1 $

Interprétation géométrique :

1- Le graphe d’une fonction majorée par $M$ situé au-dessous de la droite $y=M $ $\\$La fonction ici c'est $ f(x)=-x^{2}$ est majorée par $1$ car $-x^{2} \leq 0 \leq 1 \\[0.3cm]$ 2- Le graphe d’une fonction minorée par $m$ situé au-dessus de la droite $y=m $ $\\$La fonction ici c'est $ f(x)=x^{2}$ est minorée par $-1$  car $x^{2} \geq 0 \geq-1 \\[0.3cm]$ 3- Le graphe d’une fonction bornée situé entre deux droites $ y=M$ et $y=m $ $\\$La fonction ici c'est $ f(x)=\sin (x) $

Les extremums d’une fonction

Extremums absolus

تعريف

Soit $ f $ une fonction numérique de domaine définition $ D_{f}$ $\\$ soit $ \alpha \in D_{f} $

  • On dit que la fonction $ f$ admet un maximum absolu en $ \alpha$ ou le nombre $f(\alpha)$  est un maximum absolu si et seulement si $\\ \forall x \in D_{f}, f(x) \leq f(\alpha)\\$ On écrit, $ ~\max _{x \in D_{f}} f(x)=f(\alpha)\\[0.2cm]$
  • On dit que la fonction $f$ admet un minimum absolu en $\alpha$ ou le nombre $f(\alpha)$ est un minimum absolu si et seulement si $\\ \forall x \in D_{f}, f(x) \geq f(\alpha)\\$ On écrit, $~\min _{x \in D_{f}} f(x)=f(\alpha)$

Résultats :
  • $ \text { Si } \boldsymbol{f} \text { admet un maximum absolu en } \alpha \text { alors } \boldsymbol{f}(\boldsymbol{\alpha}) \text { est un majorant de } \boldsymbol{f} \text { sur } \boldsymbol{D}_{\boldsymbol{f}} $
  • $ \text { Si } \boldsymbol{f} \text { admet un minimum absolu en } \alpha \text { alors } \boldsymbol{f}(\boldsymbol{\alpha}) \text { est un minorant de } \boldsymbol{f} \text { sur } \boldsymbol{D}_{\boldsymbol{f}} $

Extremums relatifs

تعريف

$ \text { Soit } f \text { une fonction numérique de domaine définition } D_{f} $

  • $ \text { On dit que la fonction } f \text { admet un maximum relatif en } \alpha \text { s'il existe un }$ $ \text { intervalle ouvert } I \subset D_{f} \text { contenant } \alpha \text { tel que }: \\ \forall x \in I, f(x) \leq f(\alpha) \\[0.2cm]$
  • $ \text { On dit que la fonction } f \text { admet un minimum relatif en } \alpha \text { s'il existe un } $ $ \text { intervalle ouvert } I \subset D_{f} \text { contenant } \alpha \text { tel que }: \\ \forall x \in I, f(x) \geq f(\alpha)$

Résultats

Un extrême absolu est relatif mais le contraire ce n’est pas toujours correct.

حيلة

  • $M$ est un maximum de la fonction $f \Leftrightarrow $ ($f$ est majorée par $M$ et l'équation $f(x) = M$  admet une solution)
  • $m$ est un minimum de la fonction $f \Leftrightarrow $ ($f$ est minorée par $m$ et l'équation $f(x) = m$ admet une solution)

تطبيق

Soit $f$ la fonction définie par $ f(x)=\frac{2 x^{2}+7 x+7}{x^{2}+3 x+3} $

  1. Déterminer $ D_{f} $
  2. Montrer que $f$ est majorée par $ \frac{7}{3} $ et minorée par$1$
  3. En déduire que $\frac{1}{3}$ est un maximum et $ 1 $ est un minimum

حيلة

Pour montrer que la fonction $f$ est majorée par $M$ ou minorée par $m$ on effectue la différence entre le nombre et la fonction puis on vérifie le signe du résultat obtenu 

Corrigé de l’exercice

1- La fonction est une fraction alors, $D_{f}=\left\{x \in \mathbb{R} / x^{2}+3 x+3 \neq 0\right\}\\[0.2cm]$ Puisque $~\Delta=3^{2}-4 \times 3=-3<0~$ donc $~x^{2}+3 x+3>0~$ (signe de coefficient de $x^{2}$ ) $\\[0.2cm]$ D'où $D_{f}=\mathbb{R}\\[0.3cm]$ 2- L’astuce de cette question c’est d’effectuer à chaque fois la différence entre le nombre et la fonction puis on vérifie le signe du résultat obtenu.

  • $f(x)-1=\frac{2 x^{2}+7 x+7}{x^{2}+3 x+3}-1=\frac{x^{2}+4 x+4}{x^{2}+3 x+3}=\frac{(x+2)^{2}}{x^{2}+3 x+3} \geq 0\\[0.2cm]$ car $(x+2)^{2} \geq 0~$  et  $~x^{2}+3 x+3>0\\$  donc $\forall x \in \mathbb{R}, ~f(x) \geq 1$  d'où le résultat $\\[0.2cm]$
  • $\frac{7}{3}-f(x)=\frac{7}{3}-\frac{2 x^{2}+7 x+7}{x^{2}+3 x+3}=\frac{x^{2}}{3\left(x^{2}+3 x+3\right)} \geq 0\\[0.2cm]$ car $x^{2} \geq 0$  et $ x^{2}+3 x+3>0$  donc $\forall x \in \mathbb{R}, f(x) \leq \frac{7}{3} \\$ d'où le résultat.$\\[0.3cm]$

3- $1$ est minimum car l'équation $f(x)=\frac{2 x^{2}+7 x+7}{x^{2}+3 x+3}=1~$ admet une solution dans $\mathbb{R}\\[0.2cm]$ En effet, $\\$

$\begin{aligned} \frac{2 x^{2}+7 x+7}{x^{2}+3 x+3}=1 & \Leftrightarrow 2 x^{2}+7 x+7=x^{2}+3 x+3 \\ & \Leftrightarrow x^{2}+4 x+4=(x+2)^{2}=0\\ & \Leftrightarrow x=-2 \end{aligned}$ $\\[0.2cm]$ Donc $\forall x \in \mathbb{R}, ~f(x) \geq f(-2)$ $\\[0.2cm]\frac{7}{3}$ est un maximum puisque $f(0)=\frac{7}{3}~$ donc $~\forall x \in \mathbb{R} \quad f(x) \leq f(0)$ 

Les variations d’une fonction

تعريف

Soit $ f $ une fonction numérique de domaine de définition $ D_{f}$  et $I \subset D_{f}$  un intervalle.

  • $f$ est une fonction croissante sur l'intervalle $I$  cela revient à écrire: $\\ \forall(x, y) \in I^{2}, \quad x \leq y \Rightarrow f(x) \leq f(y) $
  • $f $ est une fonction strictement croissante sur l'intervalle $ I$  cela revient à écrire: $\\ \forall(x, y) \in I^{2}, \quad x<y \Rightarrow f(x)<f(y) $

ما يجب معرفته

La fonction croissante garde le même ordre des éléments.

Interprétation géométrique :

 

تطبيق

  1. $ f(x)=2 x,\quad$ fonction strictement croissante sur $\mathbb{R}$
  2. $ f(x)=\frac{x^{4}}{2},\quad$ fonction strictement croissante sur $\mathbb{R}^{+} $
  3. $f(x)=\sqrt{x},\quad$ fonction strictement croissante sur $\mathbb{R}^{+} $

تعريف

Soit $ f $ une fonction numérique de domaine de définition $ D_{f}$  et $ I \subset D_{f}$  un intervalle.

  • $ f$  est une fonction décroissante sur l'intervalle $I$  cela revient à écrire:  $\\ \forall(x, y) \in I^{2}, \quad x \leq y \Rightarrow f(x) \geq f(y) $
  • $ f$ est une fonction strictement décroissante sur l'intervalle $I$ cela revient à écrire : $ \\ \forall(x, y) \in I^{2}, \quad xf(y) $

ما يجب معرفته

La fonction décroissante ne garde pas le même ordre des éléments

Interprétation géométrique :

تطبيق

  1. $ f(x)=-x,~$  fonction strictement décroissante sur $\mathbb{R}$
  2. $ f(x)=\frac{1}{x},~$ fonction strictement décroissante sur $\mathbb{R}^{*+}$

تعريف

Soit $f$ une fonction numérique de domaine définition $D_{f}$ et $I \subset D_{f} $ un intervalle.

  • On dit que $f$  est monotone sur l'intervalle $ I$  si elle est croissante ou décroissante sur $I $.
  • On dit que $f$  est strictement monotone sur l'intervalle $I $ si elle est strictement croissante ou strictement décroissante sur $I.$ 

ما يجب معرفته

Une fonction qui s'écrit sous forme $f(x)=a$  avec $a \in \mathbb{R}$  est dite constante.

Le taux de variation

تعريف

Soit $f$ une fonction numérique de domaine définition $D_{f}, ~I \subset D_{f}$ un intervalle et $(a, b) \in I^{2}$ tel que $a \neq b .\\[0.2cm]$ Alors, le nombre $T_{(a, b)}=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$ s'appelle le taux d'accroissement ou de variation de la fonction $f$ entre $a$ et $b$.

نظرية

Soit $f$ une fonction numérique de domaine définition $D_{f},~ I \subset D_{f}$ un intervalle.

  • $f$  est croissante sur  $I \quad \Leftrightarrow \quad \forall(a, b) \in I^{2} ~/ ~a \neq b, T_{(a, b)} \geq 0 \\$
  • $f$  est décroissante sur $I \quad \Leftrightarrow \quad \forall(\alpha, b) \in I^{2} ~/ ~a \neq b, T_{(a, b)} \leq 0$

تطبيق

1- Soit $f$ la fonction définie par $\forall x \in R^{*}, f(x)=\frac{1}{x}\\$ On considère l'intervalle $: I=R^{*+}$ alors $f$ est décroissante sur $I\\[0.2cm]$ En effet, soit $(a, b) \in I^{2}$ avec $a \neq b, \\[0.2cm]T_{(a, b)}=\frac{f(a)-f(b)}{a b}=\frac{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}{a-b}=-\frac{1}{a b} \leq 0\\[0.5cm]$ 2- Soit $g$ la fonction définie par $\forall x \in \mathbb{R}^{+}, ~g(x)=\sqrt{x}\\$ On considère l'intervalle $: J=\mathbb{R}^{+}$ alors la fonction est croissante sur $J\\[0.2cm]$ En effet, $(a, b) \in J^{2},~ a \neq b$,

$T_{(a, b)}=\frac{g(a)-g(b)}{a-b}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(a-b)(\sqrt{a}+\sqrt{b})}=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \geq 0\\[0.5cm]$ 3- Soit $g$ la fonction définie par $h(x)=4 x^{2}+1\\$ On considère l'intervalle $: k=\mathbb{R}^{+}~$ alors la fonction $g$ est croissante sur $k\\$ En effet, $(a, b) \in k^{2} ,~a \neq b$ $\\[0.2cm] \begin{aligned}T_{(a, b)}=\frac{h(a)-h(b)}{a-b} &=\frac{4 a^{2}+1-4 b^{2}-1}{a-b} \\&=\frac{4(a-b)(a+b)}{(a-b)}=4(a+b) \geq 0\end{aligned}$

La variation et la parité

خاصية

Soit $f$ une fonction numérique paire de domaine définition $D_{f} .\\$  soit $I \subset D_{f} \cap \mathbb{R}^{+}$ un intervalle et $I^{\prime}$ son symétrique par rapport l'origine.

  • Si $f$ est croissante sur $I$ alors elle est décroissante sur $I^{\prime} .$
  • Si $f$ est décroissante sur $I$ alors elle est croissante sur $I^{\prime} .\\[0.2cm]$

Soit $f$ une fonction numérique impaire de domaine définition $D_{f}.\\$ soit $I \subset D_{f} \cap \mathbb{R}^{+}$ un intervalle et $I^{\prime}$ son symétrique par rapport l'origine.

  • Si $f$ est croissante sur $I$ alors elle est croissante sur $I^{\prime} .$
  • Si $f$ est décroissante sur $I$ alors elle est décroissante sur $I^{\prime} .$

ما يجب معرفته

Un intervalle $ I^{\prime}$  est symétrique par rapport à l'origine de  $I $ revient à tracer le schéma suivant: Par exemple, si $\boldsymbol{I}=[\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}] $ alors $\boldsymbol{I}^{\prime}=[-\boldsymbol{b},-\boldsymbol{a}] $

برهان

Nous allons montrer la proposition dans le cas où la fonction $f$ est pair, l'autre cas se fait par le même raisonnement. $\\[0.2cm]$ En effet, on suppose que $\boldsymbol{f}$ une fonction numérique paire de domaine définition $D_{f} .\\$ soit $I \subset$ $D_{f} \cap \mathbb{R}^{+}$ un intervalle et $I^{\prime}$ son symétrique par rapport l'origine.$\\$ Soit $\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right) \in I^{\prime} \times I^{\prime}$ alors $\\\exists(a, b) \in I \times I \text { tels }$ que $: a^{\prime}=-a$ et $b^{\prime}=-b\\[0.2cm]$ $T_{f}^{\prime}=\frac{f\left(a^{\prime}\right)-f\left(b^{\prime}\right)}{a^{\prime}-b^{\prime}}=\frac{f(-a)-f(-b)}{b-a}$ $\quad=-\frac{f(a)-f(b)}{a-b}=-T_{f}\\[0.2cm]$ Donc si $f$ est croissante sur $I$  alors $T_{f} \geq 0$ donc $\\[0.2cm]T_{f}^{\prime} \leq 0 \Rightarrow f$ est décroissante sur $I^{\prime}$  et vice versa.

Composée de deux fonctions

تعريف

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $I$ et $g$ la fonction définie sur l'intervalle $J\\$ tel que : $f(I) \subset J,$  autrement dit $(\forall x \in I, f(x) \in J)\\$ La composée de $f$ et $g$ est la fonction notée: $gof$ définie sur $I$ par:

$\forall x \in I, \text { gof }(x)=g(f(x))\\[0.2cm]$

Le schéma suivant illustre bien les trois fonctions $f, g$ et $gof$ : 

ما يجب معرفته

Le domaine de définition d’une fonction composée est :

$\\[0.2cm]D_{g o f}=\left\{x \in \mathbb{R} / ~x \in D_{f} \text { et } f(x) \in D_{g}\right\}$

خاصية

Soient $f$ et $g$ deux fonctions dont les ensembles des définitions respectifs $D_{f}$ et $D_{g}$

soient $I$ un intervalle de $D_{f}$ et $J$ un intervalle de $D_{g}$ tels que $f(I)=J$

  • Si $f$ est croissante sur $I$ et $g$ est croissante sur $J=f(I) $ alors $gof$ est croissante sur $I$.
  • Si $f$ est décroissante sur $I$ et $g$ est décroissante sur $J=f(I)$ alors $gof$ est croissante sur $I$.
  • Si $f$ est croissante sur $I$ et $g$ est décroissante sur $J=f(I)$ alors $gof$ est décroissante sur $I$.
  • Si $f$ est décroissante sur $I$ et $g$ est croissante sur $J=f(I)$ alors $gof$ est décroissante sur $I$.

تطبيق

Soit les fonctions $ g(x)=x^{2}+5 x-1$  et $f(x)=3 x+2 $

  1. Déterminer $ D_{f}, D_{g}$  et  $D_{fog }$  et $D_{gof } $
  2. Calculer $fog$  et  $gof $
  3. Soit $h(x)=\sqrt{x^{2}+1}$  , alors déterminer la monotonie de $h$  sur $\mathbb{R}^{+} $

Corrigé

1- Les fonctions $f$ et $g$ sont polynomiales alors $D_{f}=\mathbb{R}~$ et $~D_{g}=\mathbb{R}\\[0.2cm]$ En plus, $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}~$ et $~g(\mathbb{R})=\mathbb{R}$ donc on a le droit de parler de $fog$ et $gof\\[0.2cm]$ D'après la remarque ci-dessus, $ D_{fog }=\mathbb{R}=D_{gof } \\[0.5cm]$ 2- Soit $ x \in \mathbb{R},~$  alors

$fog(x)=f(g(x))=f\left(x^{2}+5 x-1\right)=3 x^{2}+15 x-1 \\$ Soit $x \in \mathbb{R}, $  alors : $\\ gof(x)=g(f(x))=g(3 x+2) =(3 x+2)^{2}+5(3 x+2)-1=9 x^{2}+27x+13$

حيلة

Nous déterminons la monotonie d’une fonction non usuelle en cherchant à l’écrire comme une composée de deux fonctions dont la monotonie est connue

3- L'astuce c'est de remarquer que la fonction $h$ est une composée de deux fonctions usuelles : $\\[0.2cm] \forall x \in \mathbb{R}^{+},~ h_{1}(x)=\sqrt{x}\quad$ et $\quad\forall x \in \mathbb{R}, ~h_{2}(x)=x^{2}+1\\[0.2cm]$ Puisque $x^{2}+1 \geq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}~$ donc $h_{2}(\mathbb{R}) \subset \mathbb{R}^{+}\\[0.2cm]$ Donc, on a le droit de définir la fonction: $h(x)=h_{1} oh_{2}(x), ~\forall x \in \mathbb{R}\\[0.2cm]$ Or, $h_{2}$ est croissante sur $\mathbb{R}^{+}, \\[0.2cm]$ en effet $\forall(x, y) \in \mathbb{R}^{+},$

$x \leq y \Rightarrow x^{2} \leq y^{2}$ $\Rightarrow x^{2}+1 \leq y^{2}+1 \Rightarrow h_{1}(x) \leq h_{2}(y)$

et $~h_{2}\left(\mathbb{R}^{+}\right)=\left[1,+\infty\left[\right.\right.\\[0.2cm]$ en effet : soit $x \in \mathbb{R}^{+} \Rightarrow x^{2}+1 \geq 1$ $\Rightarrow h_{2}(x) \in[1,+\infty[\\[.2cm]$ Inversement, soit $x \in[1,+\infty[$ on pose $y=\sqrt{x-1}\\$ Donc $x=y^{2}+1$ avec $y \in \mathbb{R}^{+}$

$\Rightarrow x \in h_{2}\left(\mathbb{R}^{+}\right) \\$ Par la suite, $h_{1}$ est croissante sur $[1,+\infty[\\$ Donc, $h$ est croissante sur $\mathbb{R}^{+}$

Les fonctions périodiques

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