Le calcul de probabilités 2BAC

Fiche de cours

Vidéo Principe fondamental de l’analyse combinatoire

15 min

Vocabulaire des probabilités

Dans une expérience aléatoire on ne peut pas prévoir avec certitude quel en sera le résultat $\\[0.2cm]$ On associe alors l'ensemble $\Omega$ des résultats possibles appelé univers. Ses éléments sont appelés éventualités. $\\[0.2cm]$ Le nombre d'éléments distincts de $\Omega$ est appelé le cardinal de $\Omega$, on le note : $Card ( \Omega)\\[0.2cm]$
Un événement correspond à une partie de l'univers et les événements formés d'un seul élément sont appelés événements élémentaires. $\\[0.2cm]$

Si $A$ et $B$ sont deux événements, $\bar{A}$ est l'événement contraire de $A$ , $~A \cup B$ est la réunion de $A$ et $B$, $~A \cap B$ est l'intersection de $A$ et $B . \\[0.2cm]$ $A$ et $B$ sont incompatibles si et seulement si $~A \cap B =\empty .\\[0.2cm]$ L'événement $G= \Omega$ est l'événement certain. L'événement $M= \empty$ est l'événement impossible, et on a : $~A \cap \bar{A}= \empty~$ et $~A \cup \bar{A} = \Omega$.

Arrangement avec répétition :

Vidéo Arrangements avec répétition

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Arrangement sans répétition

Vidéo Arrangements sans répétitions

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Combinaisons :

Vidéo Combinaisons

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La probabilité d'un événement

1) Une situation équiprobable est une expérience où toutes les éventualités ont la même probabilité d'être réalisées et si $A$ est un événement alors : $\\$

$P(A)=\frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}} \\[0.3cm]$

2) La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent. $\\[0.3cm]$ 3) La probabilité $P(A)$ d'un événement $A$ est telle :$\\$

$0 \leq P(A) \leq 1 ~~$ et $~~P(\Omega)=1 ~~$ et $~~P(\empty)=0 \\[0.3cm]$

4) $~p(\bar{A})= 1- p(A) \\[0.3cm]$ 5) Si deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles alors : $\\$

$P(A \cup B)=P(A)+P(B) \\[0.3cm]$

6) Si $A$ et $B$ sont deux événements d'une expérience aléatoire, alors : $\\$ $P( A \cup B)= P(A)+P(B)- P(A \cap B) \\[0.2cm]$ $P(B \backslash A)=P(B) -P(A)$

Vidéo Notion de probabilité

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Probabilité conditionnelle

Si $A$ un événement de probabilité non nulle $\\[0.2cm]$ La probabilité de $B$ sachant $A$ est : $\\$

$P_A (B)= \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \\[0.2cm]$

Si $A$ et $B$ sont tous deux de probabilité non nulle , alors les probabilités conditionnelles $~P( A /B )~$et $~P(B / A)~$ sont toutes les deux définies et on a :$\\$

$P(A \cap B)= P(A) \times P_A (B) = P(B) \times P_B (A) $

Vidéo Probabilité conditionnelle

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Probabilités totales

Si $~A_1 , A_2 , ... , A_n~$ forment une partition de l'univers $\Omega$ et si pour tout $i$ compris entre $1$ et $n$ , $~P(A_i) \neq 0 ~$ alors pour tout événement $B$ on a : $\\[0.2cm]$ $p(B)=p(B \cap A_1) + p(B \cap A_2)+ ... +p(B \cap A_n)\\[0.2cm]$ $p(B)=p(A_1)P_{A_1}(B)+p(A_2)P_{A_2}(B)+... + p(A_n)P_{A_n}(B)\\[0.2cm]$ Cette égalité est nommée loi de probabilités totales .