Les structures algébriques

1. $(+ ~\text{et}~ \times )$ sont des lois de composition interne sur $\mathbb{R}$ et $\mathbb{R}^+$
2. $(-)$ est une loi de composition interne sur $\mathbb{R}$, mais pas sur $\mathbb{R}^+$
3. $(\div )$ n'est pas une loi de composition interne sur $\mathbb{R}$
4. $(\div )$ est une loi de composition interne sur $\mathbb{R}^*$
5. $(+ ~\text{et} ~\times )$ sont des lois de composition interne sur $\mathbb{R}$ et sur l'ensemble des matrices $\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \\ \end{pmatrix}$ avec $a, b, c$ et $d$ de $\mathbb{R} \\[0.2cm]$ $\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \\ \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} x & z \\ y & t \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+x & c+z \\ b+y & d+t \\ \end{pmatrix} \\[0.2cm] \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x & z \\ y & t \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} ax+cy & az+ct \\ bx+dy & bz+dt \\ \end{pmatrix}\\[0.2cm]$
6. $(+ ~\text{et}~ \times )$ sont des lois de composition interne sur $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \quad (n\in \mathbb{N}^* )$

1. $\mathbb{R}^+$ est une partie stable par $+$ dans $\mathbb{R}\\$
2. $\mathbb{R}^+$ n'est pas stable par la loi $-$ dans $\mathbb{R}\quad (7-10 \notin \mathbb{R}^+ )$

1. $+ ~$ est commutatif dans $U_n(\mathbb{R})$
2. $\times ~$ n'est pas commutatif dans $U_n(\mathbb{R})$

Contre exemple: $\\[0.2cm]$ $A= \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \\ \end{pmatrix} \quad \quad \text{et} \quad\quad B= \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 3 \\ \end{pmatrix} \\[0.3cm]$ $A\cdot B= \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ 2 & -7 \\ \end{pmatrix} \quad \quad\text{et} \quad \quad B \cdot A= \begin{pmatrix} -3 & 5 \\ 6 & -3 \\ \end{pmatrix}\\[0.3cm]$ Donc $\quad AB \neq BA$ 

1. $(\times)$ est associative dans $U_n(\mathbb{R})$
2. $(0)$ est associative dans l'ensemble des applications sur $E$
3. $(-)$ n'est pas associative dans $\mathbb{R}$: $\\  (5-3)-7=-5 \quad \text{et} \quad 5-(3-7)=9$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} ~$ est neutre pour $~\times$ dans $~U_2(\mathbb{R})$

1. Tout élément dans $\mathbb{R}$ est symétrisable par la multiplication sauf $0$.
2. Tout élément de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} ~\backslash ~ \{0\}$ tel que $p$ un premier  positif

Soit dans $(\mathcal{A} (E), 0)$ , l'ensemble des applications de $E$ vers $E \\[0.2cm]$ $0$ est associative dans $\mathcal{A} (E)$ et $Id_E$ est l'élément neutre tel :

$(Id_E : X \rightarrow X)$

Soient $f$ et $g$ deux bijections de $\mathcal{A} (E) \\[0.2cm]$ Le symétrique de $f$ et $f^{-1}$ dans $(\mathcal{A} (E), 0) \\[0.2cm]$ Le symétrique de $g$ est $g^{-1}$ dans $(\mathcal{A} (E), 0)\\[0.2cm]$ Le symétrique de $g \circ f$ est $f^{-1} \circ g^{-1}$

$(g \circ f)^{-1}=g^{-1} \circ f^{-1}$

Soient $x$ et $y$ de $E \\[0.2cm]$ $a*x=x*a \Rightarrow a'*(a*x)=a'*(a*y) \Rightarrow (a'*a)*x=(a'*a)*y \\[0.2cm]$ $x*a=y*a \Rightarrow (x*a)*a'=(y*a)*a' \Rightarrow x*(a*a')=y*(a*a')$

$\ln (\mathbb{R}^{*}_{+} , \times) \rightarrow (\mathbb{R}, +)\\[0.2cm]$ c'est un isomorphisme : $\\[0.2cm]$ $(\forall (x, y)\in \mathbb{R}^{*2}_{+}) \quad \ln (x \times y)=\ln (x) + \ln (y)$